ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 456, № 4, с. 420-423
МЕХАНИКА
УДК 532.516:532.529
О ДВИЖЕНИИ СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ СУСПЕНЗИИ © 2014 г. О. Б. Гуськов
Представлено академиком Р.И. Нигматулиным 19.07.2013 г. Поступило 06.08.2013 г.
БО1: 10.7868/80869565214160129
Одним из важных направлений исследований в гидромеханике многофазных сред [1] является изучение динамики тел различной формы при их движении в дисперсной среде. Если в классической гидродинамике эта проблема изучена достаточно хорошо для тел различной формы в широком диапазоне определяющих параметров, то в динамике дисперсных сред она исследована очень фрагментарно и в основном экспериментально. Теоретически для решения этой проблемы необходимо учитывать влияние гидродинамического взаимодействия между огромным числом частиц дисперсной фазы на динамические характеристики тела при его движении в жидкости. По сути, эта задача является разновидностью одной из фундаментальных научных проблем, известной под названием "проблема многих тел", которая до сих пор не имеет точного решения.
Задача о движении тела в дисперсной среде теоретически не исследована даже в линейном приближении уравнений Навье—Стокса для несущей сплошной среды, в том числе для тел наиболее простых геометрических форм. Известные в литературе теоретические работы (см., например, [2—5] и др.) посвящены исследованию динамики сферических частиц в потоках монодисперсных сред, когда размер движущейся частицы идентичен размеру частиц суспензии.
В настоящей работе на основе метода самосогласованных полей [6] рассмотрена задача о движении сферического тела в монодисперсной однородной суспензии твердых сферических частиц при произвольном соотношении размеров частиц и тела. Задача рассмотрена в рамках приближения Стокса для несущей сплошной среды. В первом приближении по объемной концентрации частиц суспензии получена поправка к формуле Стокса для силы сопротивления, действующей на тело, в
виде явной аналитической зависимости от отношения размеров дисперсных частиц и тела.
Рассмотрим в приближении Стокса задачу о движении сферического тела радиуса Ь с заданной
скоростью Ца0) в вязкой несжимаемой жидкости в присутствии N сферических частиц радиуса а. Пронумеруем все частицы от 0 до N (индекс 0 относится к сферическому телу) и обозначим коор-
(О
динаты центров частиц как ха , а их линейные и
угловые скорости — как и О^ соответственно. Классическая граничная задача для определения поля скорости и давления (уа, р) в жидкости в приближении уравнений Стокса будет иметь вид
д ^а _ др д V,
, —а = 0,
д хв дха дха Vа ^ 0 при Я1 ^ВД, Vа = ба при Яо = Ю,
Институт прикладной механики Российской Академии наук, Москва
(1)
Vа = и() + еарМ'Х0 ПРИ Я = €, I = 1, 2, N
Ха> = Ха - , Я = ) , € = 2, Ю = 2,
где еару — символ Леви-Чивиты, еа — единичный вектор в направлении скорости тела .
Задача (1) записана в безразмерном виде, где в качестве масштабов величин приняты: характерное расстояние между центрами соседних частиц
Ь, скорость тела и0) и давление ^^ , где ц — вязкость жидкости. В (1) и далее приняты тензорные обозначения величин с условием о суммировании по повторяющимся нижним координатным индексам, принимающим значения от 1 до 3. Это условие не распространяется только на переменную Я. Верхние индексы относятся к частицам, и чтобы отличать их от показателя степени, они заключены в круглые скобки.
В рамках метода самосогласованного поля [6] классическая граничная задача о движении N
сфер в вязкой жидкости сведена к формальной процедуре решения линейной бесконечной системы алгебраических уравнений относительно тензорных коэффициентов, входящих в полученное точное решение этой задачи. Для случая, когда размер движущейся сферы отличен от размера дисперсных частиц, данная система имеет вид
N
но) = - ва+^ ^ о),
N
НО - IV ( Т и) + ) Нав\ - 2 X + Тв1а )
при ] - о, 1, • .., N,
' *} N
тМ V
п„
(2)
ар1 -в - XПРН П - 2 и ■> = 0' 1 N,
на + |Нуу - 0 при ' - 1, 2, •.., N,
где приняты следующие обозначения: » 2к + 1 А^-.р. - ^ Нап-Ук2 (к + 2) Х
к - 0
X (3^Ж+Д + (2к + 1)е2С) -
v - ( 2 к + 1) ( 2 к + 3) е' Х вУ1 -ук 2 ( к + 2 )
2к + 1
к - 0
2 к + 3) 2П( Ш 2к + 5) ,
Х (Уарг1-ук,р1-р„ - е'УарУ1 -Гк,Р1-Р„) +
+ ^ Н') к( 2к + 1 ) е '
х п аУ2-Ук 2 (к + 2 )
2к + 1
к - 1
„,п(',Л(2к + 1) 2„( Ш 2к + 3) , Х (УГ1-Гк,Р1-Р„ - е'Уу1-Ук,Р1 •р„) +
Хи('') е2к- 1 ((к - 1 ) 2 (2 к + 3) е 2а(Ш2к + 1) НвУУУз-Уке' У 2( к + 2 ) ^арГз-Ук,Р1-Р„-
к-2
X „а-
к (2к + 1)(к - 1 )е(- (',,)(2к + 3)
4 (к + 2 ) ^аРУ3-Уь Р1-Р."
(2к - 3)(к - 1 )п(',])(2к-1)
4 УарГ3-Гк,Р1-Р„
) 2 к - 1 к2 - к - 3 )(к - 1) е2 (;;у)(2к - 1)
аУУУ3— Ук'
к-2
2 (к + 2)
- а
У3-У*> Р1-Р» '
к(к - 1 )2е 4п(;;у)(2к + 1)
-аУ3-Гк,Р1-Р„-
4 (к + 2)
(к - 3)(к - 1 )п(Ш2к- 3) ^ ^
4 аУ3-Ук,Р1-Р„^ , (3)
а
,(Ш2* + г)
У1-У*. в1 -Рп
я! д хР1 -дхвп
Л 1 • ЛУ4 7^2 к + г Л,' у
Л, - о
е0 - ю, е, - е при ' - 1, 2, •.., N.
Последнее соотношение (2) представляет собой второй закон Ньютона, в котором для записи гидродинамической силы, действующей на произвольную 1-ю дисперсную частицу, использована теорема Факсена [7]. После определения всех неизвестных тензорных величин на основе системы уравнений (2) гидродинамическая сила сопротивления ^ и момент сил, действующих на тело, Т^ определяются формулами Факсена [7], которые в принятых обозначениях имеют вид
С<°) - Н0) + 1 ю2 Н0) т<0) - 2ю2^ „(0) (4)
^ а - „а + -;Ю Hаyy, Та - 4 Ю еаВуНуВ . (4)
В качестве масштаба силы в (4) выбрана величина бя^и^ а момента сил — 6яцйШ(0).
Решить систему (2), (3) в точном виде пока не представляется возможным. Однако несложно построить процедуру ее приближенного решения. Если принять предположение о малости характерного параметра задачи е 1, т.е. ограничиться случаем разбавленных суспензий, то все неизвестные функции можно искать в виде разложений по степеням этого параметра:
Н0а\1 -р„ - X
ттти)(т)
е НаР1-Р„.
(5)
т - 0
Подставляя представление (5) в систему (2), (3) и приравнивая члены при одинаковых степенях малого параметра е, получим рекуррентную линейную систему алгебраических уравнений, в которой каждое приближение для всех неизвестных функций вычисляется через предыдущие. Решая данную систему уравнений последовательно для разных значений т, начиная с т = 0, можно получить выражения для тензоров нор^т) в в аналитическом виде в любом заданном приближении по малому параметру е. Подставляя затем полученное решение в формулы (4), можно получить выражения для гидродинамической силы и момента сил, действующих на тело. Следуя этой процедуре, в приближении 0(е7) можно получить следующее выражение для силы сопротивления:
^0) - X
и^<°)(т) /0Х0) - -е
т-1
- /0)(2) - ^а0)(4) - 0
я
X
ж
X
422
ГУСЬКОВ
к
2.5
2.3
2.1
1.9
1.7
0.25
0.50
0.75
1.00 а
Рис. 1. График функции к(а), определяющей зависимость силы сопротивления сферического тела
() = —еа(1 + к(а) • с) от отношения размеров ча-
стиц и тела а =
Однако для больших систем целесообразен переход к осредненному описанию на основе известной процедуры осреднения [4, 8] по различным возможным конфигурациям дисперсных частиц в пространстве. Применение этой процедуры к (6) для случая безграничной разбавленной суспензии, в которой частицы статистически равномерно распределены в жидкости, с точностью до первой степени по объемной концентрации дисперсной фазы с приводит к следующему выражению для средней величины силы сопротивления, действующей на тело:
к (а)
</а0)> = -ба( 1 + к(а) • С) ,
= 5 Г -
(7)
1
1
- 25а
2 V 2 (1 + а) (1 + а)3 11
+
+
ч72( 1 + а)9 36( 1 + а)8 5 5 71
2 (1 + а)
_1_
72 (1 + а)7 7
16( 1 + а)5 8 (1 + а)4 163
+
48 (1 + а)3 3 (1 + а)2 35
24 (1 + а) 16 (2 + а)2 2 (2 + а)
а
223Г + — а -
32 V
12 1 + - а 1п -
2+а
N
= -X 5-Ю-(Г2Ю45а? +
I = 1
22
4г,1°
+ (3г;- - 6г; ю + 2Ю )х,
Л 0) (0)
),
N
*а°)(5) = - X ((17 г6 - 18г4 Ю2 + 105 г2 Ю4 )5а? + £ 16 Г
, ЛС 4 2 2 , ПС 4\ (', 0) (", 0)ч
+ (15Г1 - 246Г1 ю + 175Ю )ха х„ ),
N
^а0)(6)=- х
25 ю2е„
I = 116г14(г2 - Ю2)3
2 6 4 2 2 4
х (Г1 ю (8г1 - 3Г1 Ю + Ю )оа? +
/0 2 2ч/0 8 _ 4 4 8Ч (1,0) (1,0)ч
+ (3т1 - Ю )(3т1 - 7т1 Ю + Ю )ха х ),
(6)
N
^!0)(7) = -Х ^ (г2( 6 г4 - 9г2 Ю2 + 56 ю4 )5а, -" -18г1
- (6г4 + 71 г2Ю2 - 84Ю4)ха",0)0)),
Г = ^
(ху - ху ) , ха
Формулы (6) определяют силу сопротивления, действующую на тело, в приближении 0(е7) для любого конечного числа N дисперсных частиц при их заданном расположении в пространстве.
Л °) = х("") - х(°)
— Л™ .
+ а
2 Г 11
15
+
V 8( 1 + а)3 4 (1 + а)5 4 (1 + а)7
+ а
21
+
21
V10 (1 + а)5 4 (1 + а)7 2 (1 + а)
где а = - — отношение радиуса дисперсных ча-Ь
стиц к радиусу тела.
Выражение (1 + к(а) • с) в формуле Стокса (7) для силы сопротивления в данной задаче имеет смысл вязкости среды, сквозь которую движется тело. График зависимости коэффициента к, входящего в полученную формулу, от параметра а в интервале значений 0 < а < 1 представлен на рис. 1. Для "точечных" дисперсных частиц в пределе при а ^ 0, когда к суспензии в наибольшей степени применимо понятие сплошной среды, коэффициент принимает значение к(0) = 2.5, что точно соответствует результату Эйнштейна [2] для эффективной вязкости однородной суспензии твердых сферических частиц. Однако при а Ф 0 значения коэффициента к(а) могут существенно отличаться от результата Эйнштейна. Например, в случае, когда размер тела совпадает с размером дисперсных частиц (а = 1), коэффициент к(1) ~ 1.8. Этот факт, однако, не противоречит результату Эйнштейна. Он просто является следствием того, что по мере роста размера дисперсных частиц, т.е. с увеличением значения параметра а, суспензия
+
0
+
перестает соответствовать понятию сплошной среды. В этом случае теряет смысл само понятие вязкости суспензии, и коэффициент (1 + к(а) • с) в формуле Стокса для силы сопротивления тела описывает результат гидродинамического взаимодействия дисперсных частиц конечного размера и тела в жидкости. Очевидно, похожие результаты, в том числе для разбавленных суспензий, должны получаться в задачах, в которых помимо расстояния между д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.