УДК 524.47+524.7-42+521.1
О ДВИЖЕНИИ ЗВЕЗДЫ В ОКРЕСТНОСТИ ШАРОВОГО СКОПЛЕНИЯ
В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ГАЛАКТИКЕ
© 2014 г. С. А. Гасанов*
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва Поступила в редакцию 08.04.2013 г.; принята в печать 11.06.2013 г.
Рассмотрена задача о пространственном движении звезды в окрестности шарового скопления (ШС), принадлежащего неоднородной вращающейся эллиптической галактике (ЭГ). В движении звезды в окрестности ШС учтены возмущения, вызываемые притяжением ЭГ, которая с гало представляет собой двухслойное тело: первый слой — это внутренний эллипсоид или светящаяся часть ЭГ, а второй — это гомеоид, заполненное темной материей пространство между внутренним и внешним эллипсоидами. Эллипсоиды считаются гомотетическими с общим центром, а граница внешнего эллипсоида совпадает с границей гало галактики. При этом светящаяся часть ЭГ и гомеоид имеют различные плотности. Движение звезды вблизи ШС происходит вне светящейся части ЭГ, но внутри гомеоида. Уточнено и конкретизировано понятие "в окрестности ШС", используя понятие "сфера действия" (сфера тяготения и гравитационная сфера Хилла). В связи с введением понятий сферы действия рассмотрены два варианта движения звезды, а именно внутри и вне сферы действия шарового скопления, и определены области возможности движения. Найдены квазиинтеграл и поверхности минимальной энергии, которые при определенных условиях преобразуются в аналог интеграла Якоби и поверхности нулевой скорости, соответственно. Установлена устойчивость в смысле Ляпунова найденных стационарных решений. Полученные результаты применены к модельным эллиптическим галактикам с параметрами, точно совпадающими с параметрами эллиптических галактик NGC 4472 (M49), NGC 4636 и NGC 4374, содержащих большое количество ШС, и приведены в виде рисунков и таблиц. На примере этих галактик показано, что для исследования движения звезды, а также для нахождения точек либрации и установления их устойчивости вместо приближенного выражения потенциала светящейся части ЭГ следует пользоваться его точным выражением.
DOI: 10.7868/S0004629914020017
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В работе [1] рассмотрена задача о стационарных решениях в движении пассивно-гравитирующего шарового скопления (ШС) внутри неоднородной вращающейся эллиптической галактики (ЭГ). Полагалось, что ЭГ с гало представляет собой двухслойное тело. Первый слой — это внутренний однородный эллипсоид, который представляет светящуюся часть галактики. Второй слой — это однородно заполненное темной материей пространство между внутренним и внешним эллипсоидами. Эллипсоиды считаются гомотетическими с общим центром, а пространство между ними называют го-меоидом. Внешняя граница гомеоида является границей гало галактики. Плотности светящейся части ЭГ р* и гомеоида pG считаются различными. Движение ШС происходит вне гравитирующей светящейся части ЭГ, но внутри гомеоида, принимаемого
E-mail: gasanov@sai.msu.ru
как возмущающее тело. Найдены стационарные решения (точки либрации) для ШС и установлена их устойчивость в смысле Ляпунова. На примере модельных эллиптических галактик МЭГ-1, МЭГ-2 и МЭГ-3 (аналоги ЭГ NGC 4472, NGC 4636 и NGC 4374, содержащих большое количество ШС), показано, что для нахождения и исследования точек либрации на устойчивость вместо приближенного выражения потенциала светящейся части ЭГ следует пользоваться его точным выражением.
В настоящей работе рассматривается задача о пространственном движении звезды в окрестности ШС, принадлежащего к ЭГ. Движение звезды изучается как относительно центра масс ШС, так и в галактоцентрической системе координат с учетом притяжения неоднородной вращающейся ЭГ. При этом, как и в [1], ЭГ с гало считается двухслойным телом. Ее светящаяся часть или внутренний эллипсоид — это первый слой с плотностью р* = const. Второй слой представляет собой гомеоид — заполненное темной материей с плотностью pG = const
пространство между внутренним и внешним гомо-тетическими с общим центром эллипсоидами. При этом внешняя граница гомеоида является границей гало галактики.
Заметим, что под движением в окрестности ШС подразумевается такое движение звезды, при котором она испытывает притяжение со стороны ШС. Если звезда находится достаточно далеко от ШС, то притяжением ШС можно пренебречь. Поэтому для уточнения и конкретизации понятия "в окрестности" в соответствующем разделе рассматривается сфера действия ШС. Кроме того, при изучении движения звезды в окрестности ШС в галактоцентрической системе координат необходимо определять галактоцентрические координаты центра масс ШС.
Пусть ОХУ2 — система координат с началом в центре ЭГ, вращающейся с постоянной угловой скоростью О вокруг полярной оси О2 и с осями, направленными по соответствующим главным осям ЭГ. Прямоугольные координаты X, У, 2 центра масс ШС в этой системе координат определяются из системы уравнений [ 1]
концентрических) эллипсоидальных поверхностей, описываемых уравнением
dU
dt2 dt дХ'
d2Y dX dU
__l_ 2Q_ =_
dt2 dt dY'
(1)
d2Z dt2
dU_ ~dZ'
где силовая фунция (общий потенциал) U определяется в виде суммы трех слагаемых:
Q2
и = —{Х2 +Y2) + U* + UG. (2)
Выражение потенциала U в виде (2) нами определено исходя из следующих соображений. Полагаем, что родственная ЭГ состоит из светящейся части, представляющей собой эллипсоидальное тело с (звездной) массой M* или с плотностью р*, и несветящейся (темной материи) части — гомеоида с массой Mg или с плотностью рс. Для примера на рис. 1 показаны светящаяся часть (незакрашенная область) МЭГ-3 (аналог ЭГ NGC 4472 = M49) со средней плотностью р* и гомеоид (закрашенная область) со средней плотностью рс. Штриховой линией обозначена граница шара сравнения со светящейся частью ЭГ.
Явный вид потенциалов светящейся части ЭГ U* и гомеоида Ug будет приведен ниже. Условная граница по Вокулеру [2] светящейся части ЭГ и верхняя граница гомеоида (граница гало галактики) берутся из семейства гомотетических (соосных,
X2 Y2 Z2 _ 2
о" Н Го I о" — ™
a2 b2 c2
(3)
(a > b > c, 0 < k < 1),
где значение параметра семейства к = 0 соответствует центру ЭГ, к = 1 — эллипсоидальной поверхности с полуосями а, Ь и с гало ЭГ, а 0 < к < 1 — эллипсоидальной поверхности с полуосями ка, кЬ и кс, которой ограничена светящаяся часть ЭГ. Кроме того, для определенности мы положили, что большая, малая и полярная полуоси этого семейства удовлетворяют неравенствам а > Ь > с. При этом вторые эксцентриситеты Л и р этого семейства для любого к связаны с полуосями а, Ь и с следующими соотношениями:
а2 = с2 (1 + Л2), Ь2 = с2(1+ р2) (4)
(р2 < Л2, Л2 < 1),
где выполнение первого неравенства в скобках вытекает из условия а > Ь > с, а при выполнении второго (Л2 < 1) потенциал и с представляет собой многочлен, о чем речь пойдет ниже.
Потенциал и * светящейся части ЭГ, фигуриру-юший в равенстве (2), равен [1, 3, 4]
и * = А (Щ - иХ2 - и2У2 - и322) , (5)
А = паЬск3Ср* > 0,
где С — гравитационная постоянная, р* — средняя плотность светящейся части ЭГ, а положительные коэффициенты ип (п = 0,1,2,3) будут определены ниже. При этом величина Аио представляет собой значения потенциала и * в центре ЭГ.
Наконец, потенциал ис гомеоида, состоящего из темной материи (несветящейся части ЭГ) со средней плотностью рс, определяется равенством
ис = В (Но - ИХ2 - йУ2 - и22) , (6) В = паЬс(1 - к3)Срс > 0 (0 < к < 1).
2. ВЫРАЖЕНИЯ для КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОТЕНЦИАЛОВ ПРИТЯЖЕНИЯ и * и ис
Для определения коэффициентов ип и Ц7п (п = = 0,1,2,3) воспользуемся следующими формулами из [3, 4]. Потенциал притяжения V эллипсоидального тела с плотностью р, ограниченного поверхностью (3), на внешнюю точку Р(X, У, 2) представляется в виде
V = пСраЬск3 V - VX2 - V2У2 - VзZ2) , (а > Ь > с, Vз > V2 > VI > 0).
Y
Рис. 1. Светящаяся часть (не закрашена) МЭГ-3 (аналог NGC 4472) со средней плотностью р* и гомеоид (закрашен) со средней плотностью ра. Штриховой линией обозначена граница шара сравнения со светящейся частью ЭГ.
При этом выражение для потенциала V точно совпадает с выражением и * из (5) при р = р*. Кроме того, тройное неравенство для коэффициентов Vn = Уп^, в) (п = 0,1,2,3), приведенное в скобках, легко доказывается, если учесть условие а > Ь > с и записать эти коэффициенты в виде несобственных интегралов от некоторого положительного значения параметра в до то [1]:
Vo =
Vi =
V¡ =
V3 =
du
AÑ
du
> 0,
(k2a2 + u)A(u) du
(.k2b2 + u)A(u) du
> 0,
> 0,
> 0,
(Рс2 + п)А(п)
в
А(и) = \/(к'2а2 + и)(к2Ь2 + и)(к2с2 + и) (з > 0).
Кроме того, мы можем оценить верхний предел коэффициентов Vn (п = 1,2,3). Для этого достаточно оценить верхний предел V3. Так как VI < У2 < V3 и
s > 0, то
V3 <
du
<
2 1
(k2c2 + u)5/2 3 (k2c2 + s)3/2~ 3 k3c3'
т.е.
(7)
0 < Vi < V2 < V3 <
21
3 k3c3'
(8)
В силу условия а > Ь > с для полуосей коэффициенты Vn представляются в нормальной тригонометрической форме Лежандра [1,4]:
Л-(9)
к\/а'2 — ^2
Vi =
2
к3(а2 - b2) Va2 - с2
(F(<p,n) - E(<p,n))
т. ( i
V2 = k3(a2-b2){¥^72E^n)-
1 \ о
a2 c2
k2(b2 - c2)
s + k2c2
(s + k2 a2 )(s + k2b2y
V3 =
k3(b2 — с2) \
E(v, n) +
+ k\
s + k2 b2
(s + k2a2)(s + k2c2)
2
1
s
s
s
s
X
2
1
Здесь F(р, n) и E(р, n) — эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода в нормальной тригонометрической форме Лежандра
f
F(<P,n)= f . d9
J v 1 - n2 sin2 в 0
f
E(tp, n) = j л/l-ri2 sin2 OdO, 0
где их аргумент р = p(s) и модуль n определяются равенствами
а\
1
р = arcsin
k2a2 k2c2
s + k2a2
(10)
a2 - b2
п = м -5-г < 1,
a2 c2
(р = arcsin ■
. Va2^
5 = + 4А >0.
где учтено, что в — наибольший положительный корень уравнения (12), а
«1 = -(X2 + У2 - к2а2 - к2Ь2),
01 = -к2(Х2Ь2 + У2а2 - к2а2Ь2).
В координатных осях ОХ и ОУ параметр в определяется равенствами
в = X2 - к2а2 (У = 0,2 = 0),
в = У2 - к2Ь2 (X = 0,2 = 0),
соответственно.
Таким образом, коэффициенты ип являются функциями от прямоугольных координат центра масс ШС:
а аргумент ф соответствует внутренней точке, т.е. нулевому значению параметра в: ф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.