ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 84, № 11, с. 989-992
ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ ИССЛЕДОВАТЕЛЯ
Б01: 10.7868/80869587314110115
Авторы публикуемой статьи предлагают физическую модель, объясняющую механизм формирования цунами на основе представлений, разработанных в своё время Н.Е. Жуковским. В гидродинамической схеме течения выделены две области движения жидкости: приповерхностный слой равного давления и глубинный слой. Приводится уравнение, необходимое для первичного математического анализа и указывающее на существование критического условия в гидродинамическом описании процесса резкого подъёма воды при образовании волн цунами.
О ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЕ ЦУНАМИ
И.И. Новиков , О.В. Митрофанова
В области фундаментальных исследований сложных вихревых движений жидкости особую актуальность приобретает изучение механизмов аккумуляции энергии крупномасштабными вихрями. Эта проблема напрямую может быть связана с развитием теории волнового движения жидкости, и в частности, с проблемой краткосрочного прогноза цунами.
Известно, что причиной цунами могут быть такие природные катастрофы, как подводные землетрясения с магнитудой более 7 баллов (особенно в зонах субдукции), на которые приходится 85% всех цунами, оползни (7%) и подводные вулканические извержения (5%) [1]. Ярким примером такого природного катаклизма является землетрясение, произошедшее 11 марта 2011 г. вблизи берегов Японии, ставшее причиной другой экологической катастрофы — разрушения АЭС "Фукусима-1".
НОВИКОВ Иван Иванович - академик. МИТРОФАНОВА Ольга Викторовна — доктор технических наук, профессор кафедры теплофизики Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ". omitr@yandex.ru
Первое научное описание цунами дал Хосе де Акоста в 1586 г., но и сейчас мы всё ещё далеки от ясного понимания его физической природы. Следует обратить внимание на исследования, проведённые Н.Е. Жуковским в Московском университете в начале ХХ в. [2]. Он смоделировал в лабораторных условиях и математически описал физическое явление, которое назвал скачком воды в открытом канале. Рассматривая движение жидкости в узком канале со свободной поверхностью при условии постоянства её расхода, Жуковский получил дифференциальное уравнение для
изменения наклона (—) уровня (у) текущей жид-йх
кости в направлении течения (х). Основываясь на приближении теории мелкой воды и принимая, что волна на поверхности распространяется со
скоростью V = , где у — высота уровня жидкости, он показал, что если уровень текущей жидкости в данном месте таков, что скорость волны больше расходной скорости течения, то наклон уровня будет отрицательный, то есть уровень волны будет понижаться. Если же, наоборот, расходная скорость течения жидкости больше скорости волны на поверхности, то уровень жидкости будет возрастать. Там же, где расходная скорость в точности совпадает со скоростью распростране-
йу
ния волны на поверхности, производная — ста-
йх
новится равной бесконечности, и, подходя к этому месту, вода устремляется вверх, образуя "скачок подъёма" [2, с. 365—369].
М.А. Лаврентьев и Б.В. Шабат в книге [3] объясняют явление цунами двумя причинами: направленностью волны в зависимости от начальных условий и рельефом дна. Вторая причина была подробно рассмотрена авторами в приближении потенциальности скоростного поля течения. Одна-
990
НОВИКОВ, МИТРОФАНОВА
ко, несмотря на развитие математического подхода с привлечением функционального анализа к описанию волноводов, которыми могут служить подводные гребни, и предложение определить методом распознавания образов систему признаков для выделения цунамигенных землетрясений (то есть вычислить спектральные корреляционные функции сейсмограмм), авторы, по их словам, не смогли получить "сколько-нибудь удовлетворительного решения".
Анализируя содержание работ по данной тематике, можно прийти к выводу, что наглядный физический эксперимент и простой математический анализ, указывающий на существование критического условия в гидродинамическом описании процесса формирования волнового движения, предложенные Н.Е. Жуковским, остаются весьма актуальными и могут использоваться для объяснения физического механизма формирования цунами наряду с предпринимаемыми попытками построить более сложные математические модели.
Основываясь на опытах Жуковского, а также результатах физических исследований в области изучения свойств и топологических особенностей сложных вихревых и закрученных течений, условий генерации и устойчивости крупномасштабных вихреобразований [4—10], можно предложить следующий подход к разработке принципов физико-математического моделирования для объяснения процесса формирования цунами.
В качестве исходного события может быть взят наиболее вероятный случай порождения цунами — подводное землетрясение или извержение подводного вулкана. За счёт вертикальной подвижки дна толща воды над эпицентром землетрясения или взрыва оказывается в зоне резкого изменения давления, за счёт чего поверхность воды приходит в колебательное движение и порождает серию волн. При рассмотрении гидродинамической схемы течения следует выделить две области движения жидкости: приповерхностный "слой равного давления" [11] и глубинный слой.
Выберем для математического описания цилиндрическую систему координат и примем следующие обозначения. Вертикальная координата г соответствует равновесной глубине жидкости (то есть расстоянию от дна до свободной поверхности при отсутствии возмущения) и может изменяться с изменением радиальной координаты г и угла ф. Для обозначения вертикального смещения жидкой поверхности при её колебаниях, согласно предложенному Л.Д. Ландау и Е.М. Лиф-шицем подходу [11], введём дополнительную г — координату точек поверхности жидкости, обозначив её % и считая, что % является функцией координат г, ф и времени В равновесии 2, = 0. Таким образом, в общем случае при наличии волно-
вого возмущения глубина жидкости будет определяться суммарной вертикальной координатой т* = т + а её изменение (дифференциал) йт* = йт + йЬ, обусловливаться изменением рельефа дна йт и изменением высоты волны й%.
Несмотря на то, что начальный сценарий развития процесса возмущения может быть разным (при землетрясениях часть дна может подниматься или опускаться, при вулканических извержениях возможны дополнительные эффекты фазовых переходов и ударных волн), для определённости будем полагать, что начало распространения волны связано со вспучиванием поверхности
жидкости1, являющейся изобарической поверхностью, в радиусе г0 над эпицентром.
На основании результатов экспериментов по исследованию структуры вихревых потоков в вихревых камерах и импактных течениях [6—8], можно предположить, что при импульсном изменении давления жидкость вначале приобретает вертикальную скорость ит, а затем перенос импульса на границе с поверхностью осуществляется в основном в узком приповерхностном слое толщиной 5. Течение становится подобным им-пактному (резко меняющему направление в результате столкновения с поверхностью), только с подвижной верхней границей. Эффект возникновения расхода, то есть приобретение потоком начального значения радиальной расходной скорости иг (г0), обусловлен свойством неразрывности жидкости и является следствием закона сохранения массы. Таким образом, в месте растекания потока под свободной поверхностью образуется тонкий слой, подобный акустическому пограничному слою, движение в котором можно рассматривать как несжимаемое [11].
Это предположение подтверждено экспериментальными измерениями в области океанологических исследований [12], благодаря которым установлено, что в поверхностных гравитационных волнах возникает среднее движение в направлении распространения волн.
Для вывода уравнения, описывающего изменение амплитуды волнового возмущения 2, при удалении от эпицентра цунамигенного землетрясения, рассмотрим закон сохранения импульса в
1 В открытом океане высота волн в области их возникновения колеблется в пределах 0.01—5 м и редко превышает 1 м. При этом скорость распространения волны зависит от глубины и соответствует , где g — ускорение свободного падения, Н — глубина океана. Более 80% цунами возникает в Тихом океане. При средней глубине 4000 м скорость распространения волны сравнима со скоростью самолёта и составляет 720 км/ч (200 м/с). При выходе волн на мелководье их скорость и длина уменьшаются, а высота увеличивается [1].
О ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЕ ЦУНАМИ
991
интегродифференциальном виде, применив схему рассуждений, предложенную Н.Е. Жуковским.
Выделим в движущейся жидкости элементарный объём йУ в форме кольцевого цилиндрического слоя, заключённого между поверхностями 2пгг* и (2пг + йг) (г* + йг*), и применим к нему закон сохранения импульса. Согласно этому закону, изменение импульса жидкости в рассматриваемом объёме в единицу времени по величине и направлению равно суммарному действию всех действующих в нём сил.
Считая, что весь радиальный перенос жидкости сосредоточен в поверхностном слое, где давление минимальное, и полагая, что в зоне "растекания" потока у поверхности при г = г0 2 = 2(г0) = 8, запишем уравнение баланса импульса, полученное в результате интегрирования уравнений Навье—Стокса по времени и объёму йУ:
й
{Г2 А '¿,2кг
= -й(рg^lгz*2) -
(1)
ния), получим:
2 2 риг 2пгй 2 + риг 2п^йг =
2
= pgп(2гzdz + 2г2,йг + 2ггй2 + 2г2,й2 + г йг + (3)
2 2 + 2г2йг + 2 йг) + Cfригпгйг.
Коэффициент трения Cf является сугубо эмпирической величиной, зависит от множества
факторов (скорости ветра, аэродинамической шероховатости волновой поверхности и т.д.) и является функцией гидродинамической и термической устойчивости. Экспериментальным измерениям коэффициента трения Cf при различных режимах течения (ламинарном или турбулентном) посвящено большое количество работ в области океанологии. Для расчётных оценок Cf можно воспользоваться, например, рекомендациями работы [12].
Разделив уравнение (3) на р2пгйг и вынося
й Е
производную — в левую часть, получим искомое
йг
уравнение для изменения уровня наклона поверхности жидкости в направлении распространения волны:
где
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.