ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 7, с. 1322-1334
= ЯДРА
О ФИЗИКЕ НА ПЛАНКОВСКИХ РАССТОЯНИЯХ. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА^
© 2004 г. Л. В. Прохоров*
Петербургский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 19.06.2003 г.
Выясняется природа квантового описания. Показано, что комплексные амплитуды вероятности допустимы в рамках классической гамильтоновой механики. Согласно стандартной теории вероятностей такое описание возможно всегда. Рассмотрен случай сферического фазового пространства — тогда в классической теории появляется универсальная постоянная размерности действия (К), пространство Фока и все остальные атрибуты квантовой механики. Возбуждения цепочки подобных систем описываются уравнениями квантовой механики с правильным условием нормировки. На вопрос о том, что есть частица и ее волновая функция, однозначный ответ дает квантовая теория поля (это одночастичное возбуждение поля и описывающая его функция). Предлагаются эксперименты, позволяющие решить вопрос о физической природе волновой функции.
1. ВВЕДЕНИЕ
При ознакомлении с квантовой механикой возникает множество вопросов. Например, почему с частицей ассоциируется волна и какова ее природа? Почему эта волна комплексная? Почему это "волна вероятности"? Более глубокое ознакомление с теорией выявляет главную проблему: квантовая механика есть вероятностная теория, но ее основным объектом является не вероятность, а комплексная функция ф (амплитуда вероятности, "комплексная вероятность"). В этой связи встают новые вопросы.
1. С чем связана необходимость обращения к комплексным вероятностям, и почему неприменима стандартная теория вероятностей (основной объект последней — плотность вероятности w > 0)?
2. Как теория с комплексными вероятностями соотносится со стандартной теорией: является ли она ее обобщением или, напротив, может быть получена как специальный частный случай?
3. Не накладывает ли квантовомеханическое описание ограничений на вероятностное описание процессов в пространстве—времени?
Представляется, что остальные проблемы и парадоксы, а именно, дуализм волна—частица (соотношение неопределенностей); целостность фотона (протяженная частица в теории с локальным взаимодействием); природа постоянной Планка h;
E-mail: lev.prokhorov@pobox.spbu.ru
Расширенный вариант доклада на сессии Отделения
ядерной физики РАН (29 ноября 2000 г., ИТЭФ).
парадоксы, связанные с описанием макротел волновой функцией (например, парадокс Шрединге-ра о суперпозиции состояний "живой и мертвой кошки" [1], парадокс Эйнштейна—Подольского— Розена (ЭПР) [2]), носят подчиненный характер и прояснятся после разрешения вопроса о необходимости прибегать к комплексным вероятностям.
В работе рассмотрен вопрос о природе квантового описания и о его месте в стандартной теории вероятностей. Прежде всего выясняется (разд. 2), возможно ли, и если да, то в каких случаях, в рамках классической теории вероятностей описание с помощью вспомогательных функций, билинейные комбинации которых дают плотности (распределения) вероятностей (см. также [3]). Оказывается, что нетрудно указать примеры таких систем. Их основные свойства таковы: факторизуемость распределения вероятности в фазовом пространстве (ФП) (т.е. Ш(д,р) = ^(^^(р); это свойство желательно, но не обязательно) и финитность движения в нем (требование нормируемости вероятности). Переход к комплексным каноническим переменным (д,р —>■ г, г, г = (д + ф)/\/2) подчеркивает схожесть математического аппарата исходной классической гамильтоновой теории с аппаратом квантовой механики (роль комплексной переменной г аналогична роли амплитуды вероятности).
В разд. 3 показано, что классическая теория вероятностей [4] допускает существование теории, в основе которой лежит понятие об амплитуде вероятности (хотя и без указания правил обращения с последними). Более того, представление плотности вероятности через квадрат модуля некоторой
комплексной функции является необходимым и достаточным условием существования абсолютно непрерывного распределения вероятности. В связи с требованием финитности движения в фазовом пространстве исследуется простейший случай, когда ФП есть сфера (разд. 4). При этом выясняется, что 1) в теории появляется универсальная постоянная, имеющая размерность действия (объем двумерного ФП), которую естественно отождествить с постоянной Планка Н; 2) существует отображение сферы на комплексную плоскость, доказывающее, что система со сферическим ФП эквивалентна га-мильтоновой системе с каноническими переменными г, г и нетривиальной симплектической структурой, которую можно интерпретировать как распределение Гиббса для гармонического осциллятора; 3) случайные величины данной системы (целые функции) образуют пространство Фока; 4) случайные величины гп/л/п\ есть собственные функции оператора энергии гармонического осциллятора; 5) квантуется энергия: Е = Ни. Фактически вероятностная теория на таком ФП содержит весь математический аппарат квантовой механики, включая постоянную Планка и коммутационные соотношения для канонических переменных. Подчеркнем, что речь идет об описании в рамках классической теории вероятностей.
Нетрудно убедиться (разд. 5), что цепочка подобных систем с осцилляторным взаимодействием между ближайшими соседями ведет в непрерывном пределе к одномерной релятивистской квантовой механике, а в нерелятивистском пределе получается уравнение Шредингера и формула для плотности вероятности т ~ ф*ф. Расстояние а между соседними системами естественно полагать порядка постоянной длины Планка 1р = 1.6 х 10_33 см. Таким образом, в данной модели квантовая теория на вещественной оси получается как предельный случай дискретной на малых расстояниях классической структуры, описываемой в рамках стандартной теории вероятностей. Аналогичные результаты получаются и в более сложных случаях (наличие потенциала, произвольная размерность пространства, многокомпонентная волновая функция).
В разд. 6 обращается внимание на то, что по существу уже квантовая теория поля дает ясный ответ на вопрос о том, что есть "элементарная частица" и что есть ее волновая функция: частица есть квант (т.е. одночастичное возбуждение) соответствующего поля, а волновая функция частицы есть функция, описывающая одночастич-ное возбуждение поля — в полном соответствии с предлагаемой моделью. В разд. 7 обсуждаются эксперименты, позволяющие дать ответ на вопрос о природе волновой функции. В заключительном разд. 8 подводятся основные итоги. В Приложение
вынесены вопросы, имеющие математический характер (различные случаи билинейных выражений для плотности вероятности и доказательство некоторых формул разд. 4).
Отметим, что поискам глубинных связей между классической ("детерминистской") и квантовой теориями посвящены недавние работы [5, 6] (первая из них мотивирована проблемой квантового описания гравитационного поля — см. цитируемую в [5] литературу).
Обсуждаемые в статье вопросы появились довольно давно, но стали особенно актуальными в последнее время. Это объясняется, во-первых, накоплением новых экспериментальных данных, касающихся наиболее важных утверждений квантовой механики (неравенств Белла [7, 8], бозе-эйнштейновской конденсации [9], парадокса Шредингера о "живой и мертвой кошке" [10], квантовой механики частиц в гравитационном поле [11]). Во-вторых, это связано с осознанием серьезности проблем, возникающих при квантовании гравитационного поля [5, 12]. Дело здесь даже не в неперенормируемости гравитационного лагранжиана, препятствующей вычислению поправок к основному процессу. В конце концов это лишь разновидность болезни, которой страдают все локальные теории поля. Более серьезная проблема связана с существованием черных дыр — в них происходит потеря информации. Согласно [13] черная дыра излучает как абсолютно черное тело, но в теории с самосопряженным гамильтонианом оператор эволюции унитарен и никакие диссипативные процессы невозможны [12].
Все это вызвало небывалый и вполне оправданный интерес к основам квантовой механики. В настоящей работе дается ответ на вопрос, каким образом в рамках классической теории может появиться квантовая механика, оперирующая амплитудами вероятности и содержащая фундаментальную постоянную размерности действия (Н). Разумеется, это невозможно в евклидовом физическом пространстве. Для достижения цели необходимо выйти за его пределы, представив, скажем, одномерное пространство цепочкой осцилляторов. Вероятностная теория получается, если цепочку поместить в термостат. Тогда, отождествляя распределение Гиббса для осциллятора с мерой объема фазового пространства, объем последнего можно приравнять к постоянной Планка Н. В итоге эволюция возмущений цепочки в непрерывном пределе, когда расстояния между осцилляторами стремятся к нулю, описывается одномерной квантовой теорией. Фундаментальная структура (цепочка) теперь дискретна, что снимает проблему ультрафиолетовых расходимостей, а наличие термостата не только объясняет появление вероятностей в теории, но
и обеспечивает возможность диссипативных процессов.
Данное исследование ни в коей мере не ставит под вопрос ни правомерность квантовой механики в микромире, ни ее следствия. Целью работы является поиск более общей теории, свободной от вышеуказанных трудностей. Предлагаемая модель в полном объеме воспроизводит стандартную квантовую механику (в непрерывном пределе).
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОБСУЖДЕНИЕ
Выясним, может ли в стандартной теории вероятностей распределение (или плотность) вероятности задаваться билинейной функцией динамических переменных. Пусть состояние материальной точки характеризуется плотностью вероятности Ш(д,р), где д и р фиксируют точку в двумерном фазовом пространстве (Ш может быть и вероятностью обнаружить частицу внутри прямоугольника с вершинами (±д, ±р)). Если плотности ■1(д) и ■2(р) на осях д и р независимы, то Ш(д,р) = ■1(д)^ш2(р). Данное обстоятельство можно записать в различных формах. Например, пусть —(■т1,^т2) — двумерный вектор с компонентами . Вводя метрический тензор д = а1 (а1,2,з — матрицы Паули), имеем Ш = — д—/2 = = (—, —)/2. Обратим внимание н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.