ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2009, том 49, < 2, с. 323-331
УДК 519.634
О ФОРМАХ ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРОСТЕЙШИХ РЕШЕТКАХ
© 2009 г. С. П. Попов
(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: sppopov@yandex.ru Поступила в редакцию 11.04.2008 г.
Численными методами исследуются цепочка Тоды и дискретное уравнение Кортевега-де Вриза, обобщенные на двумерный случай. Предполагается идентичность взаимодействий по обоим направлениям. Установлено существование решений в виде плоских линейных и локализованных солитонов. В отличие от уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, взаимодействия солитонов сопровождаются изменением их параметров и образованием дополнительных волновых структур. Приводятся основные типы решений, характеризующие данные процессы. Библ. 6. Фиг. 7.
Ключевые слова: двумерная цепочка Тоды, дискретное уравнение Кортевега-де Вриза, интегрируемая динамическая система, солитон, численное решение.
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена нелинейным уравнениям, содержащим в качестве наиболее представительных решений солитоны. Решения этого типа были впервые обнаружены в дискретных нелинейных уравнениях, описывающих развитие возмущений в механических системах тел, связанных силами, нелинейно зависящими от величины смещений относительно равновесного положения (см. [1]). Благодаря развитию аналитических методов область исследований в данном направлении была существенно расширена и теперь включает сотни нелинейных уравнений различного типа. Это и континуальные уравнения в частных производных, содержащие различные степени нелинейности и виды дисперсии. Это и дискретные уравнения с различными видами связей между ближайшими и дальними соседями. Существуют смешанные виды, содержащие одновременно и континуальное, и дискретное представление, а также супердискретные, в которых время и искомая функция могут принимать дискретные значения.
Рассматриваемая группа уравнений моделирует различные физические явления: длинноволновые возмущения в мелкой воде, тонких пленках, стратифицированных жидкостях, плазме, а также процессы в нелинейной оптике, в молекулярных и биологических системах. С прикладной стороны наиболее привлекательными являются двумерные и трехмерные уравнения, число которых по сравнению с одномерными невелико, причем многие из них обладают одно- и много-солитонными решениями, по форме подобными одномерным, т.е. зависящими от линейной комбинации координат и имеющими неограниченную протяженность. Локализованные в пространстве солитонные решения встречаются реже.
Переход от одномерных к двумерным солитоносодержащим уравнениям осуществим с помощью процедур, следующих из требования интегрируемости методом обратной задачи рассеяния. В этом случае уравнения могут существенно усложниться, но солитонные решения останутся типичными для полностью интегрируемых уравнений. Другой путь заключается в предположении равнозначности направлений, и по вновь вводимой координате форму уравнения не следует изменять. Тогда уравнение в общем случае не будет иметь многосолитонных решений, хотя квазиодномерные солитонные решения перейдут из одномерной теории. Исследованию отдельных форм подобных решений посвящена настоящая работа. В качестве предмета изучения выбраны двумерные дискретные уравнения, полученные из одномерной цепочки Тоды и дискретного уравнения Кортевега-де Вриза. Для их решения применяется численный метод Рунге-Кутты четвертого порядка.
323
8*
К простейшим одномерным дискретным уравнениям, содержащим солитонные решения, принадлежит классическое уравнение цепочки Тоды
2 2
йа;/й г = ехр(а; + 1- а;) - ехр(а; - а; ^). (1)
Другим известным дискретным уравнением является уравнение
йа;/йг = а; (а; + 1- а;-1), (2)
называемое дискретным уравнением Кортевега-де Вриза (КдВ) или дискретной цепочкой Воль-терра [2]. Записанное относительно 1п(а;), оно иногда называется уравнением Каса-ван Мербеке.
Эти уравнения исследовались разнообразными методами теории нелинейных уравнений. Установлено, что они допускают использование гамильтонова формализма, представление Лак-са и принадлежат к уравнениям, интегрируемым с помощью метода обратной задачи рассеяния.
Цепочка Тоды (1) имеет непосредственную механическую интерпретацию и описывает колебания системы материальных точек, связанных силами, экспоненциально зависящими от величины смещений относительно состояния равновесия. Уравнение (2) относят к математической теории сосуществования биологических видов. Благодаря простоте, возможности обобщения на пространственные случаи и учета иных типов взаимодействий, область приложений этих уравнений может быть расширена.
В данной работе предлагаются двумерные обобщения уравнений (1) и (2), в основу которых заложено предположение об однотипности взаимодействий по обоим направлениям. Тогда двумерная цепочка Тоды (1) примет вид
22
й аи/й г = ехр (а; + 1, ] - аи ])-ехр (аи ] - а; -1, ]) + ехр (аи ] +1-аи ¡)-ехр (аи ] - аи ]-1), (3) а двумерное дискретное уравнение КдВ примет вид
йа/йг = а;(а; + 1, ] - а;-1, ]) - а](а] + 1- аи ]-1). (4)
Уравнение (3) по структуре близко к одному из первых обобщений классической цепочки Тоды на двумерный случай, приведенному в [3], которое было получено исходя из требования полной интегрируемости. Отличается оно от (3) только тем, что по направлению дискретной координаты ] вместо второй пары слагаемых введена вторая производная от искомой функции а, т.е. уравнение имеет вид
22
й аи /й г = ехр (а; + 1, х - аи х)-ехр (аи х - а;-1, х) + ахх/4, (5)
где функция а( х) принимает дискретные значения по ; и непрерывна по координате х.
Имеется связь между уравнениями (3) и (5). Если предположить величины, входящие в показатель экспоненты в (3), малыми и при разложении экспонент в ряд ограничиться линейными членами, то получим
22
й аи /й г = а; + 1, ] - 2а;, ] + а; -1, ] + аи ] +1 - 2а] + аи ] -1. (6)
Данное выражение представляет собой разностную аппроксимацию волнового уравнения со вторым порядком точности. Таким образом, если в волновом уравнении по одной из координат вместо линейного закона взаимодействий предположить экспоненциальные силы взаимодействия между отдельными частицами, то получим уравнение (5). Оно, следуя [3], имеет солитонные и многосолитонные решения. В предположении экспоненциального характера взаимодействия по обоим направлениям получается уравнение (3). Как показывают численные расчеты, приведенные ниже, у него также есть солитонные решения, но многосолитонные решения отсутствуют. Солитоны данных уравнений представляют собой линейные плоские волны, гребни которых расположены вдоль прямых, секущих решетку по разным направлениям. Они являются разновидностью одномерных солитонов классического уравнения Тоды.
Уравнение (4), как показали расчеты, содержит наряду с линейными плоскими солитонами также и локализованные солитоны, занимающие ограниченное число ячеек и быстро убывающие в периферийных областях.
Исследуемые решения характеризуются сложным пространственным и временным поведением, что затрудняет их подробное графическое отображение. Поэтому в каждой решаемой задаче был выбран наиболее показательный вариант численного расчета и иллюстрировалась стадия квазистационарного режима распространения солитонных образований.
1. ДВУМЕРНАЯ ЦЕПОЧКА ТОДЫ
Для численного решения уравнение (3) было представлено в виде системы двух уравнений первого порядка по времени
dbu j/dt = exp(а{ + lf j - aj) - exp(au j - a_lf j) + exp(a, j +1 - a) - exp(a, j - a, j_i ),
j/dt = b j.
Временной шаг dt выбирался, согласно требованиям точности, как правило, до шести значащих цифр. Предполагалось, что индексы i, j связаны с ячейками прямоугольной сетки, размеры которых по обоим направлениям равны единице. Некоторые численные результаты одномерной задачи (1) приведены в [4]. В двумерном случае при исследовании бесконечнопротяженных линейных солитонов в ограниченной расчетной области особым образом необходимо выставлять граничные условия. Когда поведение решения на границах известно, например для распространяющихся вдоль осей прямых солитонов, то выставлялись точные значения (см. формулы (8)). Когда решение заранее не известно, то экспериментальным путем находился вариант, приводящий к наименьшим волновым возмущениям, идущим во внутреннюю часть расчетной области. Последняя выбиралась достаточно большой, чтобы за время наблюдения представляющая интерес часть решения не зависела от аппроксимаций на границах. Данная процедура проверялась на двухсолитонных решениях уравнения (5), состоящих из прямых и наклонных солитонов.
Круг исследуемых задач определялся основной целью - найти солитонные решения и определить их свойства. Двумерные солитоны могут быть двух типов: локализованные и линейные (плоские). Расчеты уравнений (7) показали, что локализованные в нескольких десятках ячеек начальные возмущения постепенно распределяются на соседние ячейки, образуют сложную подковообразную волновую структуру, которая слабо затухает. Локализованные солитоны при таких начальных данных обнаружить не удалось. Отметим, что в данных случаях на границах поддерживались начальные фоновые значения, остававшиеся невозмущенными в процессе расчетов. Аналогичные результаты были получены и для уравнения (5).
Известно, что (5) имеет многосолитонные решения и такими решениями являются линейные солитоны. Действительно, структуры исследуемого двумерного уравнения Тоды (3) и уравнения (5) таковы, что решения одномерной цепочки Тоды (1) являются их частными решениями. Для уравнения (3) эти квазиодномерные солитоны ориентированы вдоль направлений i = const и j = const. Для уравнения (5) солитоны располагаются только в направлении i = const. Они имеют следующее аналитическое выражение, обозначенное через as и bs:
as(i) = Si - Si-i, bs(i) = dsi/dt,
si = ln[ 1 + exp(a1 i - ю11 + 81 )],
2 (8) ю1 = 2[ch(a1)- 1 ],
ch ( a1 ) = [ exp ( a1 ) -exp ( -a1 )] /2.
Солитон имеет две компонены. Составляющая а/г) связана с амплитудой солитона, которая всегда положительна, а Ъ() может иметь разные знаки и опреде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.