МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 530.31:534.1
© 2008 г. В.Н. ПАЙМУШИН
О ФОРМАХ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОТЕРИ
УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ - ПОЛОСЫ ПРИ НАГРУЖЕНИИ СЛЕДЯЩИМИ СИЛАМИ
В работе [1] было установлено, что при действии на стержень - полосу сжимающих поперечных сил неизменного в процессе деформации направления существуют две статически возможные формы потери устойчивости (смежного нейтрального равновесия), одна из которых является чисто сдвиговой, а вторая - чисто изгибной, реализующейся без поперечных деформаций.
В данной статье рассмотрены задачи о статических и динамических формах потери устойчивости (ФПУ) стержня - полосы при раздельном действии продольных и поперечных сжимающих, а также сдвигающих сил, которые отнесены к классу следящих сил двух типов. Первый из них соответствует сохранению направлений указанных сил вдоль базисных векторов деформированного состояния, а второй - сохранению одной из компонент поверхностных сил по нормали к деформированной граничной поверхности. Показано, что если поперечные сжимающие силы являются следящими, остающимися в процессе деформации нормальными к прикладываемым поверхностям, то реализующуюся в стержне изгибную ФПУ можно выявить только динамическим методом [2] на основе использования для стержня уточненной сдвиговой модели типа Тимошенко.
1. Постановка задачи. Рассмотрим стержень в виде полосы, ограниченной координатными плоскостями x = 0, x = a, y = ±h, который выполнен из упругого ортотропного материала с характеристиками E1, E2, G12, E1v21 = E2v12 и находится в плоском напряжен-
+
ном состоянии под действием внешних усилий, заданных векторами p1 в точках линий
x = 0, x = a и векторами p+ в точках линий y = +h. В рамках соотношений плоской задачи теории упругости малые деформации удлинений е1, е2 и сдвига у12 при произвольных перемещениях u и и будем определять по следующим формулам, являющимися непротиворечивыми [1]:
£1 = e11 + e12/2, £2 = e22 + e21/2, Y12 = (1 + e11) e21 + (1 + e22) e12 (U)
e11 = u,x' e12 = U,x. e21 = u,y. e22 = U,y (1.2)
Зависимости между напряжениями, действующими на деформированных площадках, соответствующих x = const, y = const, и деформациями для упругого материала являются общеизвестными (E* = E1/(1 - и12и21)):
Оп = Ef(E1 + U21 £2), °22 = E2(&2 + U12 Е1), O12 = O21 = G12Y12 (1.3)
а единичные векторы 1**, 1* , являющиеся касательными к деформированным координатным линиям х* и у*, с единичными векторами 1, j декартовой системы координат при малых деформациях в рамках приближения (1.1) необходимо связать зависимостями
1* = 1 + еп.), 1* = е211 + j (1.4)
использование которых и зависимостей (1.1) при составлении уравнений равновесия и статических граничных условий не приводит к противоречивым результатам.
В каждой точке деформированного тела наряду с векторами 1* , 1* введем в рассмотрение еще два единичных вектора п* и п*, из которых вектор п* перпендикулярен вектору 1*, а вектор п* - вектору 1 *. При малых деформациях между указанными векторами и векторами 1, j в рамках приближения (1.1) и (1.4) имеют место непротиворечивые соотношения следующего вида:
п* ~ 1 - е12j > п2* ~ -е211 + j (1.5) Для векторов внешних сил и р2 примем следующие три варианта представлений
Р1 = Р111 + Р12.Ъ Р2 = Р211 + Р22j (1.6)
Р1 = #111* + #121*' Р2 = #211* + #2212* (1.7)
Р1 = #1 п* + #1212*. Р2 = #211* + #2п2* <Х8)
из которых первое соответствует действию на тело консервативных сил неизменного направления ("мертвые" силы [2]), если заданными являются их компоненты р^, а второе и третье - следящих сил двух типов, у которых заданными являются компоненты #ц (для представления (1.7)) и #, #12, #21 (для представления (1.8)). Между указанными компонентами для случая малых деформаций справедливыми являются непротиворечивые зависимости следующих видов:
Р11 = #11 + #12 е21' Р12 = #11 е12 + #12( 1 + е22) (19)
Р21 = #21 (1 + е22) + #22е21' Р22 = #22 + #21е12
Р11 = #1 + #12е21' Р12 = -#1 е21 + #12( 1 + е22) (1 10)
Р21 = #2е 12 + #21( ! + е11) > Р22 = #2 + #21 е12
которые необходимы для формулировки статических граничных условий на граничных линиях х = 0, х = а, у = ±к.
При пренебрежении массовыми внешними силами имеет место вариационное уравнение принципа возможных перемещений следующего вида:
а Ь
5П - М„ = Д(оп5е1 + 022862 + О125у12)йхйу-
00
(1.11)
- |(Рц5и + Р125и)йу
-1( Р215и + Р22 5 и) йх
х = 0 0
у = к
у = -к
где 8П - вариация потенциальной энергии деформации, 5Я„ - вариация работы внешних сил.
Предположим, что на кромках полосы х = 0, х = а приложены равномерно распределенные касательные усилия т и сжимающие усилия Р, а на кромках у = ±к - аналогичные
к
а
к
усилия т и q. Эти усилия с входящими в (1.6)-(1.8) компонентами будут связаны равенствами трех видов:
Р± = +Р > Р±2 = ±Т Р±1 = ±Т > Р±2 = +# (1.12)
= +Р > = ±Т #21 = ±Т > #±2 = +# (1.13)
= +Р #±2 = ±т > #21 = ±т > #2 = (1.14)
составленными для трех типов внешних воздействий. Отметим, что в этих равенствах у компонент рп, р12, #12, верхние индексы (+) или (-) соответствуют координатам х = а, х = 0, а у компонент р21, р22, #21, #22, координатам у = Н, у = -Н, соответственно.
Задание компонент #±1 , , #±2 и в виде равенств (1.13) и (1.14) является принципиально различным: в первом из них предполагается, что силы р и # в процессе деформации изменяют свои направления в соответствии с изменениями направлений векторов 1 * и 1*, а во втором предполагается, что эти силы в процессе деформации остаются нормальными к деформированным граничным поверхностям х = а, х = 0, у = ±й.
2. Сведение двумерной задачи к одномерной для случая 2Н > а. Для случая действия консервативных сил р, # и т неизменного направления на основе представления перемещений и, ив виде
и = и( х) + ух( х), и = У( х) + у у 2( х) (2.1)
в работе [1] были получены соответствующие одномерные уравнения, позволившие выявить ряд новых форм статической потери устойчивости стержня с параметром 2Н/а = е ^ 1. В рамках указанного представления в соответствии с (1.2) имеют место соотношения
«11 = и' + у X', е22 = У 2, «12 = У' + уу 2, «21 = X (2.2)
а в соответствии с (1.1) в приближении у12(х, у) ~ у^(х) - кинематические соотношения
е1 »е° + у Хц, е2 = е2° = У2 + Х2/2, у 12 = ( 1+ У2) У' + (1 + и')Х, (23)
0 9 '
е° = и + (У') /2, Х11 = X ' - У'У2
При использовании этих соотношений выражение для 5П составлено в работе [1], а для определения ЬЯп, с учетом представления (2.1), запишем выражение
+
x = 0
8Rn = J[pn(5U + ySx) + Pi2(S V + y 5у2)] dy
(2.4)
■ J[ p+ (5 U + h 8x) + p-i (8 U - h Sx) + p+ (5V + h 8У2) + p-2 (5 V - h Sy2)]dx
+
°
При дальнейшем использовании зависимостей (1.9), (1.10), (1.12)—(1.14) и (2.1) вме-
сто (2.4) можно получить преобразованное выражение
х = а
+
5Rn = \ 2h(-p + тх)5U + 2h[-pV' + т( 1 + У2)]5VРУ25У2
a
+
0
x =0 (2.5)
J{2htx'SU + 2h[T( 1 + U) - qx]5x + 2hxy25V + 2h(-q + тV')Sy2}dx
x = a
h
4 Механика твердого тела, № 4
97
для следящих нагрузок первого типа и
ЪЯ„ = { 2к (-р + тх)5 и + 2 к [ р х + т( 1 + У2 )1§ V }| ; = " +
а (2.6) +1{ 2 к (тх' + ду 2 )§ и + 2к [т( 1 + и) + дУ ]8х + 2 к ху2 ЪУ + 2 к (-q + т V' )5у2 }
о
для следящих нагрузок второго типа.
Следует заметить, что в составленных выражениях (2.5) и (2.6) без потери содержательности в рамках принятой степени точности у12 ~ у12(х) подчеркнутыми слагаемыми можно пренебречь. В результате таких упрощений, исходя из вариационного уравнения (1.11), вместо дифференциальных уравнений, полученных в работе [1] при действии на стержень "мертвых" [2] нагрузок, приходим к уравнениям равновесия вида
/0 = (йх + ед)'-2к тх' = о
= [ йхУ ■ + Мгу 2 + йу (1 + у 2)]' - 2 кту2 = 0
о
/0 = М'- Тух - йу(1 + и) + 2к[т( 1 + и) - дх] = 0 /4 = (И'У')'- Ту - ^У' + 2к(-д + т V') = 0 при действии на полосу следящих нагрузок первого типа и к уравнениям равновесия /0 = 0, /° = 0, /4 = 0
-о (2.8)
/0 = М' - Тух - йу(1 + и') + 2к[т( 1 + и) + дУ] = 0
при действии следящих нагрузок второго типа.
Для составленных уравнений (2.7) и (2.8) при опускании в (2.5) подчеркнутых слагаемых граничные условия в торцевых сечениях х = 0, х = а формулируются в виде
Г0 = йх + йух - 2к(-р + тх) = 0 при Ъи * 0
г0 = йхУ + Мгу2 + йу (1 + у 2) - 2 к[ - рУ' + т( 1 + у 2)] = 0 при 5У * 0 (2.9)
Г° = М1 = 0 при 5х* 0, Г40 = Му' = 0 при 5у2 * 0 при действии нагрузок первого типа и в виде
Г0 = 0 при Ъи * 0, Г3 = 0 при 5х* 0, г4 = 0 при 5у2 * 0 Г2 = йхУ' + Мгу 2 + йу (1+ у 2) -2 к [ р х + т( 1+ у 2)] =0 при ЪУ * 0
(2.10)
при действии нагрузок второго типа.
Как и в работе [1], без потери содержательности примем упрощающее предположение и12 = и21 = 0, которое позволяет составить соотношения упругости следующих видов:
йх = В1 е° = В1 [ и + (У') 2/2 ], М' = ^ х11
йу = В12[( 1 + у 2) У + (1 + и )х], Ту = В2 е2 = В2 (у 2 + х2/2) (2.11)
В1 = 2к£1, В2 = 2кЕ2, В12 = 2кС12, = 2к3 Е1/3
Если начальное НДС полосы в ее невозмущенном состоянии определено решением
= -2йp, Т0 = -2Н#, Q° = 2Нт, М0 = 0 (2.12)
то уравнения (2.7), (2.8) и граничные условия (2.9), (2.10), линеаризованные в окрестности этого решения, запишутся в виде
f 1 = QX = Bl V = 0, f 2 = Qy-2НрУ'' = (Bl2-2Нр)У" + Bl2X' = ° fз = М'- Qy = ВД'- В12(У' + X) = °, f4 = Ту = В2У2 = 0 Г1 = В1 V = 0 при 5 V = 0, Г2 = Qy = В12(У'+ х) = ° при 5У Ф 0 Гз = = 0 при 5х Ф 0 в случае действия следящих нагрузок первого типа и в виде
f 1 = 0, f 2 = 0, f 4 = 0
/з = М\ - Qy + 2Н#(У' + X) = 01Х" + (2- В12)(У' + X) = 0 Г1 = 0 при 5 V Ф 0, Г3 = 0 при 5х Ф 0 Г0 = (В12 - 2 Нр)( У' + X) = 0 при 5У Ф 0
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
в случае действия нагрузок второго типа. Здесь, в отличие от (2.11):
Qx = В1V, Мг = В X', Qy = В12 (У' + X), Ту = В2У2 (2.17)
являются малыми приращениями внутренних усилий и изгибающего момента, возникающих в стержне за счет малых приращений функций V, У, X и у2.
Видно, что в уравнениях (2.13), (2.15) и граничных условиях (2.14), (2.16) не имеется слагаемых, содержащих сдвигающую внешнюю нагрузку т, а в уравнениях (2.13) и соответствующих им граничных условиях (2.14) содержится только осевая
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.