Автоматика и телемеханика, № 3, 2014
© 2014 г. А.Н. ИГНАТОВ, А.И. КИБЗУН, д-р физ.-мат. наук (Московский авиационный институт)
О ФОРМИРОВАНИИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ С РАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ С ПРИОРИТЕТНОЙ РИСКОВОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ1
Исследуется задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг по логарифмическому критерию для двух рисковых ценных бумаг, имеющих равномерное распределение, и одной безрисковой. Устанавливается вогнутость- критериальной функции и приводится ее явный вид, находятся нижняя и верхняя оценки критериальной функции и соответствующие им стратегии. Рассматривается пример использования полученных соотношений.
1. Введение
Задаче оптимального капиталовложения посвящены многие работы. В частности, в [1] рассматривается задача с критерием в форме математического ожидания, в [2] - с критерием в форме квантили. Известна также задача Марковица [3]. Однако критерий в форме математического ожидания приводит к биржевому парадоксу [1]. Для преодоления биржевого парадокса в качестве критерия можно использовать среднюю скорость роста капитала или логарифмический критерий, введенный в [4]. В результате решения задачи получается стратегия, при которой происходит диверсификация капитала. Поэтому так называемой логарифмической стратегии посвящены многие работы. В частности, в [5] находится стратегия Келли для логнормального распределения, а в [6] используется нормальное распределение.
Однако для многих инвестиционных фондов характерна высокая вола-тильность, а распределение доходностей ценных бумаг оказывается неизвестным. В такой ситуации естественным представляется поиск стратегии Келли для равномерного распределения доходностей ценных бумаг. Кроме того, как известно из [2], равномерное распределение оказывается наихудшим при минимальных предположениях о виде распределения.
В настоящей работе рассматривается задача о составлении оптимального портфеля ценных бумаг, состоящего из одного безрискового и двух рисковых активов с равномерным распределением доходностей. Считается, что средняя доходность у одной из ценных бумаг выше, чем у второй, средняя доходность которой, в свою очередь, выше, чем у безрисковой ценной бумаги. Оптимальный портфель строится на основе логарифмического критерия. В работе уста-
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 11-07-00315-а и № 12-07-00191-а).
навливается вогнутость критерия, приводится его явный вид и предлагается алгоритм решения задачи. Приводятся нижняя и верхние оценки критерия, полученные на основе неравенств Чебышева и Иенсена соответственно. Рассматривается пример.
2. Постановка задачи
Пусть имеется три финансовых инструмента: один депозит с фиксированной доходностью Ьо, два других - паевые инвестиционные фонды - имеют случайные доходности Х1 и Х2, причем X ~ 1,1 + 2ш1], Х2 ~ 1,1 + 2т2], где т2 > т1 > Ь > 0, а Х1 и Х2 независимы. Пусть: С0 -начальный капитал инвестора, который он готов вложить в ценные бумаги, ио - доля капитала инвестора, вкладываемая в безрисковый инструмент, щ -доля капитала, вкладываемая в первый рисковый инструмент, и2 - доля капитала, вкладываемая во второй рисковый инструмент.
В качестве целевой функции рассмотрим скорость роста капитала
Ф(и, X) = ln(Co(1 + uobo + U1X1 + U2X2)).
Множество допустимых стратегий с учетом того, что общая сумма вложений может быть меньше, чем начальный капитал инвестора, а операция «shortsale» запрещена (нельзя брать деньги в долг), имеет вид
def
(1) U = {u : uo + u1 + u2 ^ 1, u2 ^ u1 ^ 0, uo ^ 0} .
Так как средняя доходность второй рисковой ценной бумаги выше, чем у первой, то предполагается, что доля капитала U2 не меньше, чем U1. В качестве критерия оптимальности используем среднюю скорость роста капитала:
def
Фо(и) = M [ln(Co(1 + uobo + U1X1 + U2X2))] ^ max.
u€U
def def
Обозначим: X1 = u1X1 + u^X2 = u2X2 + u2. Тогда X1 ~ R[0, 2u1 (1 + m1)], X2 ~ R[0, 2u2(1 + Ш2)] и
$o(u) = M ln(Co(1 + uobo + X - u1 + X2 - u2)) .
Проведем дальнейшие преобразования. Рассмотрим сумму случайных вели-
def ~ ~ чин Y = Х1 + X2, котор
свертки плотностей [1]:
def
чин Y = Х1 + X2, которая имеет плотность fy (y), определяемую по формуле
(2) fy (У) d= J f±x (x)fx2 (У -
Тогда
(3) Фо(и) = М [1п(Со(1 + «оЬо - т - «2 + У))] =
= ¡у(у)1п(Со(1 + «оЬо - «1 - «2 + у))йу.
Таким образом, необходимо решить задачу
(4)
«* = а^тахФо(и), Ф* = тахФо(и), п&и и&и
где функция Фо(и) определяется формулой (3).
3. Вогнутость критериальной функции
Покажем вогнутость критериальной функции Фо(«) по и € V. Вначале докажем лемму.
Лемма 1. Случайная величина У имеет плотность распределения
( у
а ^ у ^ Ь,
¡у (У) = <
а
аЬ'
а + Ь - у
аЬ
Ь ^ у ^ а + Ь,
У < 0, у ^ а + Ь,
где а = 2и1(1 + т1), Ь = 2и2(1 + т2). Доказательство леммы вынесено в Приложение.
Теперь сформулируем утверждение.
Лемма 2. Критериальная функция Фо(и), определенная согласно (3), является вогнутой по и на выпуклом множестве V, определенном согласно (1).
Доказательство леммы тривиально, поскольку целевая функция Ф(и, ж) вогнута по и при фиксированном ж, и математическое ожидание вогнутой функцией оказывается вогнутым для любого распределения, а не только для равномерного [2].
Учитывая вогнутость функции Фо(и), преобразуем множество V, для которого нужно решить задачу (4). Зафиксируем координаты и1 и и2 и рассмотрим функцию Фо(«о,«1,«2) относительно переменной «о. В силу того, что ¡у(у) неотрицательна, а натуральный логарифм - возрастающая функция, согласно (3) заключаем, что полученная функция Ф0(и0, и1, и2) будет возрастающей по и0, а значит, максимум ее будет достигаться на границе множества V, т.е. при «о + «1 + «2 = 1. Это означает, что множество V для задачи (4) можно заменить на множество
~ def
V = {« : «о + «1 + «2 = 1, «2 ^ «1 ^ 0, «о ^ 0} .
— ОС
Таким образом, задача (4) эквивалентна задаче
(5) и* = а^шахФ0(и), Ф* = тахФ0(и).
иеи иеи
Отметим, что максимум действительно достигается в силу того, что критериальная функция вогнутая, а множество и компактно.
4. Алгоритм решения задачи
Найдем аналитическое выражение для критериальной функции. Теорема 1. Критериальная функция, определенная согласно (3), для всех и € и таких, что и > 0, имеет вид
(6) Ф0 (и) =
4и1и2Ш1Ш2
(2и\т\ + г/,о&о)21п(2г/,1'т1 + здбо)
2 ^
(2и\т\ + 2г/,2т2 + «о£>о)21п(2«1т1 + 2г/,2т2 + «обо)
(2 г/,2т2 +г/.оЬо)21п(2г/,2т2 + г/.060) +
2
)п) (nir.hr, )2
+ 1п(Со) -
3 2'
22
где = 1 + ш17 т2 = 1 + т2, Ь0 = 1 + Ь0. Доказательство теоремы вынесено в Приложение.
Как установлено выше, критериальная функция Фо(и) является вогнутой на множестве и и имеет аналитическое выражение (6). Поэтому для решения задачи (5) можно использовать методы выпуклого программирования [7]. В частности, можно использовать, метод внутренней точки [8, 9]. Отметим, что для этого алгоритма требуется, чтобы критериальная функция и ограничения были дважды непрерывно-дифференцируемыми функциями. Однако в критериальной функции, определяемой выражением (6), в точках (0, и1,и2), (и0, 0, и2), (и0,и1, 0) на граничных плоскостях множества и имеется неопределенность. Отметим в то же время, что случай (и0,и1, 0) является вырожденным, потому что из структуры множества и следует, что и1 = 0, так как и1 ^ и2, а из ограничения и0 + и1 + и2 = 1 следует, что и0 = 1. Поэтому применение этого метода может быть осуществлено не на множестве и, а на множестве
def
(7) = {и : и0 + и1 + и2 = 1, и2 — и1 ^ 0, и1 — в ^ 0, и0 — в ^ 0} ,
где 1/3 ^ в > 0. Построенное таким образом множество и$ является подмножеством множества и и У и$ = I/, где
в>0
(8) и = {и : и0 + и1 + и2 = 1, и2 — и1 ^ 0, и1 > 0, и0 > 0} .
При этом функция Фо(и) является дважды непрерывно-дифференцируемой на множестве V$. Таким образом, решая задачу максимизации критериальной функции (6) на множестве (7) для различных 0, получаем набор решений, параметризованных параметром 0. Если для некоторого 0 > 0 решение достигается не на границе множества ^, то в силу вогнутости критериальной функции максимум на множестве ^ будет совпадать с максимумом на множестве V. Если максимум достигается на границе множества ^ для всех 0 > 0, то в силу того, что при устремлении 0 — 0 множество допустимых стратегий принимает вид (8), т.е. не является замкнутым, следует проверить значения критериальной функции в точках (0, «1, и2), («о, 0, и2), (1, 0, 0) на граничных плоскостях множества V.
Лемма 3. В точках (0, и1,«2) € V критериальная функция (3) непрерывна и равна
(9) Фо(0,и1,и2) = 1п(Со)-- +
3 1
2 4и1и2т1т2
(2«2т2)21п(2«2т2)
2
+
(2и\т\ + 2г/,2т2)21п(2г/,1'т1 + 2 г/,2т2) (2«1т1)21п(2«1т1)
22
в точках (ио, 0,и2) € V критериальная функция (3) непрерывна и равна
3 1 г
(10) Ф0(гю, 0, и2) = 1п(С0) - - + --— -2и0Ь01п (и0Ь0) +
2 4и2т2 I
+2Ш2«2 + 2(2«2Ш2 + «оЬо) 1п (2«2Ш2 + «оЬо) в точке (1, 0, 0) € V критериальная функция (3) непрерывна и равна
(11) Фо(1,0,0) =1п(Со)+1п(Ьо).
Доказательство леммы вынесено в Приложение. Случай («о, 0, «2) разобран в [2].
Лемма 3 позволяет поставить новую оптимизационную задачу для функции (9) на множестве
def
(12) = {« : «1 + «2 = 1, «2 - «1 ^ 0, «1 - 0 ^ 0} , для функции (10) на множестве
def
(13) = {« : «о + «2 = 1, «2 - 0 ^ 0, «о - 0 ^ 0}
и избавиться от неопределенности соответственно в точках «о = 0 и «1 = 0 функции (6). В силу вогнутости функции (6) функции (9) и (10) будут также вогнутыми.
Опишем последовательность действий, необходимых для нахождения максимума функции (6) на множестве (7), основываясь на алгоритме внутренней
точки из [8, 9], для применения которого все достаточные условия в данном случае выполнены. Алгоритм:
1) в соответствии с введенным множеством и$ ограничения и0+и1 + и2 = 1 и и0 — в ^ 0 заменяются на ограничение
1 — и1 — и2 — в ^ 0,
критериальная функция становится функцией двух переменных и1 и и2;
2) задается значение параметра в = в0, например, можно взять в0 = 10-5;
3) задается параметр характеризующий допустимую погрешность;
^ (0) (0)
4) задаются начальные значения долей капитала и1 , и2 , а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.