ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1356-1364
УДК 519.633.8
О ФОРМИРОВАНИИ РЕЗКИХ ПЕРЕХОДНЫХ СЛОЕВ В ДВУМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ1}
© 2007 г. В. Т. Волков, Н. Е. Грачёв, Н. Н. Нефёдов, А. Н. Николаев
(111992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: volkov@phys.msu.ru; grachev_nick@mail.ru Поступила в редакцию 09.01.2007 г.
Исследован вопрос о том, как в сингулярно возмущенном параболическом уравнении, рассматриваемом в пространственно-двумерном случае, из начальной функции достаточно общего вида формируется решение с резким переходным слоем. На основе асимптотического анализа получены оценки времени формирования контрастной структуры. Приведены также результаты численного эксперимента. Библ. 6. Фиг. 5.
Ключевые слова: двумерные модели реакция-диффузия, асимптотический метод решения, образование контрастных структур в решениях, численное исследование.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим нелинейное параболическое уравнение типа реакция-диффузия
£ (Дм - ut) = f(u, x, у, t). (1)
Уравнения и системы уравнений такого вида описывают различные физические, биологические и химические объекты и используются в качестве математических моделей процессов фазового разделения, в задачах массо- и теплопереноса, в задачах химической кинетики и других. Физическая природа параметра £ может быть разнообразна, однако характерной особенностью подобных задач часто является наличие в системе процессов с сильно отличающимися характерными временными масштабами, например малая диффузия или быстрая реакция между компонентами, что позволяет во многих случаях считать £ малым параметром. В этом приближении уравнение (1) рассматривалось многими авторами (см. [1]-[4]). В [5] был изучен вопрос о формировании решений в виде контрастной структуры для (1) в одномерном случае.
Одним из примеров может служить явление фазового разделения, для описания которого используется уравнение
2Эф 2. Э^ а£ тт* = £ Дф - , д t т Эф
которое носит название уравнения Аллена - Кана (см. [6]). Здесь а - постоянная, ф - параметр порядка - функция, значения которой заключены между 0 и 1, причем ф = 0 соответствует неупорядоченной (жидкой) фазе, а ф = 1 - упорядоченной (твердой). Величина ^ - известная функция переменной ф, называемая плотностью свободной энергии. Для задач фазового разделения типичным является наличие двух минимумов у функции плотности свободной энергии, что как раз и означает возможность устойчивого сосуществования двух фаз.
В настоящей работе изучается вопрос о том, как из начальной функции достаточно общего вида, заданной для уравнения (1), с течением времени формируется контрастная структура, т.е. решение с резким внутренним переходным слоем.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим уравнение (1) в двумерной области В с гладкой границей Г, начальным условием
и(х, у, 0, £) = м°(х, у) в В (2)
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00465).
О ФОРМИРОВАНИИ РЕЗКИХ ПЕРЕХОДНЫХ СЛОЕВ и с краевым условием II рода (условие непроницаемости границы)
ди(х, у, г,£) „ ^ „ . . _ - дп ' - = 0, г > 0, (х, у )еГ,
где производная берется по внешней нормали к границе.
Потребуем, чтобы (2) и (3) удовлетворяли условию согласования
д и0 (х, у) „ . . _ —дп2-1 = 0, (х, у) е Г.
(3)
(3)'
Функции /(и, х, у, г) и и0(х, у) далее предполагаются достаточно гладкими. Если в уравнении (1) положить £ = 0, то получим вырожденное уравнение
/(и, х, у, г) = 0, (х, у) е В, г > 0. (4)
Предположим, что функция /(и, х, у, г) имеет нелинейность кубического типа, что характерно для многих прикладных задач, т.е. пусть выполнены следующие условия.
Условие А1. Существуют такие функции и, и, что уравнение (4) имеет в области О = {и < и <
< и, (х, у) е В, г > 0} три корня относительно и : и = ф,(х, у, г), / = 0, 1, 2, причем и < фх(х, у, г) <
< ф0(х, у, г) < ф2(х,у, г) < и при (х,у, 0) е В, г > 0, /и(ф(х, у, г), х, у, г) > 0 для / = 1, 2 и (х, у) е В, г > 0;
Условие А2. Существует гладкая замкнутая кривая Н0 е В такая, что
и < и°(х, у) < ф0(х, у, 0), (х, у)е Ве и Г. и°(х, у) = ф0(х, у, 0), (х, у) е ^
ф0(х, у, 0)< и0(х, у)< и, (х, у) е В,,
причем Ве и В, и к0 = В (см. фиг. 1).
В дальнейшем будет доказано, что именно в окрестности кривой к0 наблюдается формирование резкого переходного слоя, причем образование контрастной структуры происходит за короткий промежуток времени порядка 0(£2|1п £|). Если таких линий несколько, то появится несколько переходных слоев, а формирование каждого из них можно описывать так же, как формирование слоя в окрестности кривой к0.
2. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НА ВРЕМЕННОМ ПРОМЕЖУТКЕ 0 < г < А£2|1п£| Отметим, что вопрос о существовании решения задачи (1)-(3) при условиях Ах и А2 решается довольно просто. Постоянные функции и и и являются, соответственно, нижним и верхним решениями задачи (1)-(3), и, следовательно, существует единственное ее решение и(х, у, г, £), при-
Фиг. 1.
чем выполняются неравенства
u < u(x, y, t, e) < u при (x, y, t)e D.
Для построения асимптотики указанного решения на временном промежутке 0 < t < Ae2|ln e| (число A уточним ниже) сделаем замену переменных t = е2т. Тогда задача (1)-(3) примет вид
2 — — — 2
e Au - uT = f (u, x, y, e t), (x, y)e D, т> 0, (5)
U(x, y, 0, e) = u0(x, y), (x, y) e D, (6)
Э u( x dyn X' £) = 0, (x, y) e Г, т > 0, (7)
где введено обозначение u (x, y, т, e) = u(x, y, e2T, e). При e = 0 из (5), (6) получим
-uuт = f(u, x, y, 0), т > 0,
- 0 - (8)
u(x, y, 0) = u (x, y), (x, y) e D,
здесь переменные x и y входят как параметры.
Из условий Aj и A2 следует, что для любой точки (x, y) e D решение uu (x, y, т) задачи (8) является монотонной функцией т, причем
ч [>i(x,y, 0), (x,y) e Di, lim u(x, y, т) = к
т-^ [ф2(x,y, 0), (x,y) e De, (9)
u(x, y, т) = ф0(x, y, 0), (x, y) e h0, т> 0.
Введем теперь в окрестности кривой h0 следующую локальную систему координат (r, s): переменная r - это расстояние от точки M вблизи переходного слоя до точки N на линии h0, вычисленное по нормали к h0, выходящей из N, попадающей в M и направленной внутрь области D, а переменная s - это координата, описывающая положение точки N на кривой h0.
Возьмем любое достаточно малое положительное число 5. Тогда, в силу (9), для любого числа П > 0 найдется такое т5 = т5(п), что при всех т = т5(п) будут выполнены неравенства
u (x, y, т) - ф 1 (x, y, 0 ) < п (10а)
при (x, y) e D , где D- - область, ограниченная в выбранной локальной системе координат линией r = -5 (обозначим ее через hT0) и границей Г, а также
u(x, y, т) - ф2(x, y, 0)|<п (106)
при (x, y) e D+, где D+ - область, ограниченная в выбранной локальной системе координат линией r = 5 (обозначим ее через h+).
Далее положим D5 = D+ u D (см. фиг. 2). Пусть
min{ min fu(Ф1 (x,y, 0), x,y, 0), min f^(x,y, 0), x,y, 0)} = 2m. (11)
(x, y) e D5 (x, y) e D5
Из условия Aj ясно, что m > 0. Поэтому существует число п0 > 0 такое, что для любой точки (x,y) e D5 и всех u, удовлетворяющих неравенствам
|u - Ф1 (x, y, 0)<П0 и u - Ф2(x, y, 0)<П0, (12)
выполняется оценка
fu(u, x, y, 0)> m.
Отсюда следует, что предельный переход в (9) имеет экспоненциальный характер. Более точно, справедлива
Лемма 1. Пусть т и По - числа, определенные в (11) и (12). Тогда для любого достаточно малого положительного числа 5 существует такое т5 > 0, что выполняются условия
\и(х, у, т) - ф!(х, у, 0)| < П0е~т(Т_Т5), (х, у) е В", Т>Т5, (13)
_т(т_т ) __+
\и(х, у, т) _ ф2(х, у, 0)| < П0е 5, (х, у) е В , т>т5. (14)
Доказательство. Для любого 5 > 0 выберем такое т5 = т5(п), для которого выполнены неравенства (10) при п = П0, и представим правую часть уравнения (8) при (х, у) е В в виде/(и (х, у, т), х, у, 0) = /ф1(х, у, 0), х, у, 0) + /* (и (х, у, т) - фх(х, у, 0)) = /* (и (х, у, т) - фх(х, у, 0)), где /* обозначает производную, взятую в промежуточной точке (и (х, у, т) + 0(фх(х, у, 0) - и (х, у, т)), х, у, 0), 0 < 0 < 1. Уравнение (8) запишем в виде
|Г(и(х,у, т) _ ф!(х, у, 0)) = /**(и(х, у, т) _ ф 1 (х,у, 0)). (15)
В силу (10) и (12) имеем |и - фх(х, у, 0)| < п0, /* > т при (х, у) е В , т > т5. Отсюда и из (15) следует оценка (13). Оценка (14) может быть получена таким же образом. Лемма 1 доказана.
3. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ
Выведем также важные для дальнейшего оценки производных решения уравнения (8) по декартовым координатам (х, у) и локальным координатам (р, I), введенным вблизи границы Г.
Пусть /и (х, у, т) = /и(и (х, у, т), х, у, 0). Так как и < и < и при всех (х, у) е В, т > 0, а/и(и, р, I, 0) -ограниченная функция при и < и < и, то существует такое число р > 0, что
_/и(х, у,т)< р х, у) е В, т> 0. (16)
Заметим, что координаты (х, у) входят в уравнение (8) как параметры. Продифференцировав (8) по х и положив /х (х, у, т) = /х(и (х, у, т), х, у, 0), получим следующую задачу для их:
/и(х, у, т)их _ /х(х, у, т), (х, у) е В, т> 0,
- ( П) ди0(у) ( ) п их(х, у, 0) = —-, (х, у) е В,
дих --д---т---
решение которой можно выписать точно. Далее, с учетом (16) нетрудно доказать оценку
т
Мх(х, у, т)| < С1 ерт + С21ер(т-^^ < серт, (х, у)е В, т> 0,
(17а)
где учтено, что
с1, |/х (х, у, т)| < с2 при (х, у) е В, т > 0. Буквами с и с здесь и далее
Э и ( х, у ) дх
обозначаются подходящие положительные числа, не зависящие от £.
Аналогичное неравенство справедливо и для производной по второй координате у:
\иу(х, у, т)| < серт, (х, у) е В, т> 0. Из (17а) и (176) непосредственно вытекает оценка
Э и ( х, у, т ) Э п
< серт, (х, у )еГ, т> 0.
(176) (17)
Далее, дифференцируя (8) дважды по х, получаем
Эмхх = -/и(х,у,т)ихх- [/ии(х,у,т)их + 2/их(х,у,т)их + fxx(х,у,т)], (х,у) е В, т> 0,
Эт
откуда с учетом
Э и0 (х, у)
Э2х
~ / п\ Э2и0(х, у) . . „ ихх(х, у, 0) = —-)-))-), (х, у) е В, Эх
< сз, \Уии(х, у, т)и2 + 2}их(х, у, т)их + }хх(х, у, т) < с4е2рт
имеем
Мхх(х, у, т)| < сзерт + с41е2р^ер(т-^^ < се2рт, (х, у) е В, т > 0.
(17а)
Действуя аналогично, получаем оценку | Мхх (х, у, т)| < се2рт, а также
|ДхуМ(х,у,т)|< серт, (х, у) е В, т> 0.
(18)
Кроме того, нам понадобятся оценки производных функции и (х, у, т) - решения уравнения (8) -по к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.