' общего положена решений. 2 выделение огра-~кажем лишь на жггорые строятся усрешенных
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
» 03-01-00716, -:аучных школ
»
4- Р. 3732-3735:
Кривцов, адио, 1966; :-:устике. М.: 3072-3076;
cez нелинейных
г.а до турбу-378. № 5.
Fn.ed.land.
М.:
нелинейных
© 2005 г. А. В. Киселёв*
О ГАМИЛЬТОНОВЫХ ПОТОКАХ НА УРАВНЕНИЯХ ЭЙЛЕРА
Изучаются свойства потоков гамильтоновых симметрий гиперболических уравнений Эйлера лиувиллевского типа. Получено описание нётеровых симметрий, ассоциированных с интегралами данных уравнений. Эти интегралы задают преобразования Миуры из в многокомпонентные волновые уравнения £. Используя такие подстановки, удается построить бесконечно-гамильтонову коммутативную подалгебру 21 локальных нётеровых потоков симметрии на £, размножаемых слабо нелокальными операторами рекурсии. Соответствие между схемами Магри для 21 и для индуцированных "модифицированных" гамильтоновых потоков 03 С вуш таково, что указанные свойства переносятся на 03, а операторы рекурсии для £^ факторизуют-ся. Рассмотрены два примера, связанные с двумерной цепочкой Тоды.
Ключевые слова: двумерная цепочка Тоды, уравнение КдФ, уравнение Буссинеска, преобразование Миуры, коммутативные иерархии.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе рассматривается задача построения пар коммутативных иерархий гамильтоновых эволюционных уравнений, связанных преобразованиями Миуры и отождествляемых с подалгебрами Ли алгебр нётеровых симметрий для систем уравнений Эйлера-Лагранжа. К классу гиперболических лагранжевых систем лиувиллевского типа применяются две стандартные методики [1]—[3]: подстановки Миуры, заданные интегралами уравнений , и построение второй гамильтоновой структуры через преобразование Миуры, с помощью которых получено явное описание нётеровых симметрий уравнений , заданных их интегралами и гамильтоновых относительно (первой) структуры, определяемой из лагранжианов. Также в работе изучаются свойства схем Магри для следующей пары иерархий, связанных подстановкой Миуры: 21, образующие которой суть симметрии волнового уравнения, и ® С эут Приведены два примера. В разделе 2 уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ)
3
5«! = -/3«ххх + ^«Х) = РIV ххх + Зи>и>х, 11} = 8Х, Р = СОПв^ (1)
'Department of Mathematics, Brock University, 500 Glenridge Ave., St. Catharines, Ontario, Canada L2S 3A1; Ивановский государственный энергетический университет, каф. высшей математики, 153003 Россия, Иваново, ул. Рабфаковская, 34. E-mail: arthemy@poincare.unile.it
и многокомпонентные модифицированные уравнения КдФ [4] связаны, соответственно, с волновым уравнением и двумерной цепочкой Толы (в частности, ассоциированной с полупростой алгеброй Ли [5]); построена факторизация оператора рекурсии для уравнения (1) в произведение двух векторнозначных операторов. В разделе 3 показано, что уравнение Буссинеска [6]
и модифицированное уравнение Буссинеска [7], равно как и гамильтоновы структуры, задающие их коммутативные локальные иерархии, определяются геометрией двухком-понентного волнового уравнения и двумерной цепочки Тоды, соответственно.
Взаимосвязь между гамильтоновым и лагранжевым подходами к интегрируемым эволюционным уравнениям обсуждалась в работе [8]. В указанной работе представления уравнений в лагранжевой форме получались путем применения преобразования Ле-жандра к последовательности гамильтонианов исходного эволюционного уравнения. Таким образом, используемый подход был замкнут относительно эволюционных систем и преобразований Миуры между ними вне зависимости от способа их представления. Рассматриваемый ниже подход противоположен подходу работы [8] и основан на интерпретации (би)гамильтоновых иерархий эволюционных уравнений как потоков, заданных подалгебрами алгебры нётеровых симметрий объемлющих систем уравнений Эй-лера-Лагранжа (см. также [6]). Используя канонические переменные для лагранже-вых систем и трактуя дифференциальную связь между координатами и и импульсами т как правило, задающее потенциалы Клебша, мы устанавливаем соотношение между потенциальными и непотенциальными компонентами иерархий, которые описывают эволюцию координат и импульсов, соответственно. Сопряженная линеаризация указанной выше дифференциальной связи задает первые гамильтоновы структуры для этих иерархий, и в результате их схемы Магри оказываются согласованными. Вторые гамильтоновы структуры задают операторы рекурсии и для иерархий эволюционных уравнений, и для объемлющих их систем Эйлера.
Структура работы такова. В разделе 1 указывается взаимосвязь между дифференциальным соотношением на координаты и импульсы гиперболических лагранжевых уравнений и гамильтоновыми операторами для алгебры их симметрий. Далее рассматриваются подстановки из лагранжевых уравнений лиувиллевского типа, заданные набором их интегралов; в этом случае подстановка Миуры в подалгебру 21 нётеровых симметрий лагранжева волнового уравнения £ задает вторую гамильтонову структуру на 21. Так удается получить пару 21, ЯЗ последовательностей гамильтоновых потоков на уравнениях £, соответственно, скоррелированных посредством преобразования Миуры. Затем исследуются свойства потоков, содержащихся в 21 и 03, и операторов рекурсии для них; выясняется, какие из полученных свойств иерархии 21, таких как локальность, коммутативность, бигамильтоновость и т.п., имеют место также и для В.
В разделе 2 приведены необходимые сведения о геометрии двумерной цепочки Тоды иху = ехр(Ки); определения и обозначения следуют работе [9]. Затем рассматривают-
(2)
етственно, званной с дляурав-показано, что
Хт «I,
(2)
структуры, двухком-
руемымэво-представле-рэования Лете уравнения.
систем вставления, наинтер-», задан-Гйзяений Эй-лагранже-ямпульсами оение меж-писывают
Эи^*
.~ры для Вторые онных
е-с
: ренци-: урав-матри-. данные г^ровых трукту--- л стоков звания аторов скак ло-
[ДЛЯ®.
1 Толы эт-
ся иерархия уравнения КдФ (1) и последовательность многокомпонентных аналогов модифицированного уравнения КдФ [4], связанных с двумерной цепочкой Тоды. Получено разложение оператора рекурсии для уравнения КдФ в произведение векторнозначных операторов; доказывается, что высшие потоки многокомпонентных модифицированных уравнений КдФ локальны и попарно коммутируют.
В разделе 3 показано, что иерархия 93 высших потоков модифицированного уравнения Буссинеска (8) образует коммутативную подалгебру нётеровых симметрий двумерной цепочки Тоды (9), ассоциированной с алгеброй г[з(С). Установлено, что интегралы (7) системы (9) задают вторую гамильтонову структуру (10) для уравнения (2); получена факторизация оператора рекурсии для цепочки Тоды.
1. ИЕРАРХИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МИУРЫ
Рассмотрим лагранжиан первого порядка С = [Ь(и, Их у ^2/5 %у у) ¿X А ¿у] с плотностью Ь = — ^ к-г]игхи3у/2 + Н(и; х, у), где к - невырожденная вещественная симметричная постоянная (г х г)-матрица. Выберем в качестве "времени" координату у, оставив х пространственной переменной, и обозначим через т^ = дЬ/ди3у координату, сопряженную к зависимой переменной и3 (у-й импульс) при 1 ^ ^ г,
т = -~(ких)*.
(3)
Ниже будет показано, что сопряженная обратная линеаризация оГ1 дифференциальной связи (3) между координатами и импульсами является гамильтоновой структурой для гиперболического уравнения ЭйлераЛагранжа ¿еь = {Еи(£) = 0} и алгебры яут С нётеровых симметрий этого уравнения. Применяя преобразование Лежандра Н ¿х А ¿у = (ш, дЬ/дпу) — С, поставим в соответствие лагранжиану С гамильтониан И(и, т) = [Н <1х]. Гиперболическое лагранжево уравнение £вь эквивалентно системе
иу = 1-Ет(Н), ту = -1-Еи(Н),
которая определена канонической гамильтоновой структурой ( 5 ) • В силу соотношений
-Ет=к-1-£»-1-Еи, Еи = -£>х°к-Ет, уравнения движения разделяются и принимают эволюционную форму
иу = Аг о Еи ([Н[и] ¿х}), ту = - о Ет ([Я[т] ёх]),
таким образом, теперь они заданы парой взаимно обратных гамильтоновых операторов АI = к'1 ■ Б'1 к Ах = Бх-к.
Пусть гиперболическое лагранжево уравнение ¿еь допускает поток симметрии щ -ф(их,ихх,...) = ф[их], где t - параметр вдоль интегральных траекторий. Тогда эволюция гп( импульсов задается непотенциальным уравнением т< = —(к/2) ■ Бх (<Ят])> уравнение (1) поставляет пример потоков симметрии волнового уравнения вХу - 0.
JIemma 1 [10]. Пусть £ = {«ху = /(«;х,у)} - система квазилинейных гиперболических уравнений, допускающая закон сохранения
H = Hdx + ---: dh(H) = V(uxy-f).
Тогда производящее сечение ф = V*(l) для Л имеет вид ф — —Dx(Eu(Hdx)).
По теореме Нётер [11] нётеровы симметрии самосопряженных лагранжевых систем £el = {Eu(£) - 0} совпадают с производящими сечениями их законов сохранения; согласно [12] корреляция между нётеровыми симметриями <рс и производящими сечениями ф для несамосопряженных лагранжевых уравнений £еь — • Еи(£) = 0} с равным единичной матрице символом такова: ф = ñipe ■
Пусть ф - нётерова симметрия гиперболической лагранжевой системы, тогда ut = Em("H)/2, m¿ = —ЕиСН)/2, где Л = [Н dx] и Н - сохраняющаяся плотность, откуда щ = ас-1 ■ D~1Yiu(H), m¿ = —Dx ■ к,Ет(Н)/2. Таким образом, оба уравнения ut = ф и mt = -кОх(ф)/2 гамильтоновы одновременно, и их гамильтоновы операторы А\ и Ai взаимно обратны (см., например, [13]). Индуцированную эволюцию импульсов m можно получить двумя способами: варьируя гамильтониан, при этом mt = —Еи(%) = — (¿J¡,)*(Em(^)), или явно используя соотношение (3), при этом mt = ¿„(Ет(И))- Для гиперболических лагранжевых уравнений результаты согласованы, поскольку выполнено условие (£%,)* — —t-m- Далее, пусть R - оператор рекурсии для гиперболического лагранжева уравнения Sel = (Eu(£) - 0), порождающий из некоторого потока i коммутативную цепочку ut{ — их] гами ль тоновых симметрий. Понятно, что рекурсия R оказывается общей для всех уравнений — фi, а оператор R* последовательно отображает скорости эволюции импульсов (см. работу [14]).
В дальнейшем мы будем рассматривать класс гиперболических лагранжевых уравнений лиувиллевского типа [1], [5], [15], допускающих нетривиальные интегралы, т.е. функционалы w € ker Dy, лежащие в ядре полной производной Dy, огр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.