научная статья по теме О “ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ” И “АВТОМОДЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ПОТОКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ” В СТАТЬЯХ Н.Д. НАУМОВА [1-3] Электроника. Радиотехника

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 4, с. 505-507

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О "ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ" И "АВТОМОДЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ПОТОКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ" В СТАТЬЯХ Н.Д. НАУМОВА [1-3]

В работе [1] в рамках гидродинамического описания рассмотрен тонкий ленточный пучок с учетом тепловых скоростей, причем алгоритм построения этой модели инициирован работой, посвященной "приближенным квазистационарным решениям самосогласованных уравнений для слаботочных пучков заряженных частиц" [2], описывающим "автомодельные движения газа", образованного такими частицами. В работе [3] подход [1] распространен на параксиальный пучок с эллиптическим сечением и плоской изогнутой осью; там же говорится о возможности обобщения результатов на случай пространственной оси.

Известно, что 50% решения задачи составляет ее постановка; еще 25% успеха можно отнести за счет рациональных обозначений и правильной терминологии. Уделим некоторое внимание этому вопросу.

Понятие автомодельного решения, связываемое в монографии [4] с соображениями подобия и размерности, имеет более глубокие корни, обусловленные геометрическими свойствами гиперповерхности, которую в пространстве независимых переменных х', искомых функций ик и производных дык/дхг определяет любая система уравнений (в том числе безразмерных) в частных производных. Именно, свойство автомодельности решения связано с инвариантностью указанной гиперповерхности относительно группы растяжений [5].

Рассматриваемые в работах [1-3] задачи относятся к теории плотных пучков с основными приложениями к мощным приборам СВЧ, сильноточным ускорителям, высоковольтным коммутирующим устройствам и т.д. Интенсивность пучка характеризуется не сравнением с током Альфве-на, а высокими значениями первеанса, при которых определяющее влияние на геометрию и параметры потока оказывают собственные электрическое и магнитное поля.

Автор [1] противопоставляет "один из методов теоретического анализа - параксиальную теорию... решению задач газодинамики" в [1], где задача усложняется, так как "приходится решать систему уравнений в частных производных".

Напомним, что параксиальная теория, имеющая в качестве объектов исследования существенно более сложные по сравнению с ленточными пучками [1] образования (квазиаксиально-симме-

тричные и приповерхностные пучки с неоднородным распределением параметров по сечению [6, 7], пространственные пучки с произвольным сечением [8]) появилась в результате работы с исходными гидродинамическими уравнениями в частных производных и в общем случае сама описывается такими же уравнениями [8].

Введение в уравнения движения гидродинамической модели градиента давления для описания тепловых эффектов не делает эти уравнения существенно более сложными. Единственное смысловое положение, отличающее такие модели от традиционного параксиального подхода в случае тонких пучков, это вопрос о связи давления и эмиттанса. Идея об учете градиента давления не является и очень новой. Так, в работе [9] в предположении, что давление пропорционально плотности, рассмотрены р- и Г-режимы эмиссии с плоского катода и переход между ними. Уравнение параксиального пучка с конечным эмиттансом е, полученное в работах [10, 11], используется в [12] для корректировки закона 3/2. Важно отметить, что это уравнение второго порядка, переходящее при е —► 0 в соответствующее уравнение параксиальной теории.

Уравнения работы [1], исходные ограничения в которой являются более жесткими (отсутствие собственного продольного поля), чем при параксиальном подходе, должны были бы трансформироваться при е —► 0 в уравнение второго порядка, описывающее тонкий ленточный пучок. Вместо этого поток в [1] определен системой уравнений четвертого порядка, ни одно из которых при е —► 0 не удовлетворяется тождественно. В задаче о "холодном" пучке в однородном магнитном поле [1] вывод о возможности полной компенсации действия пространственного заряда за счет выбора произвольной постоянной, определяющей приращение осевой скорости, явно лишен физического смысла, как и сама произвольность этой постоянной. В действительности (см., например, [13]) влияние пространственного заряда никогда не исчезает, но ослабляется с ростом напряженности магнитного поля.

Причиной перечисленных несообразностей является неправильная оценка порядков величин в формулах (8), (9) работы [1], связываемых автором с "автомодельными" решениями [2]. Решение

506

СЫРОВОЙ

(8), (9) не подпадает под понятие автомодельного [4, 5], но "автомодельным", согласно [1-3], является любое тэйлоровское разложение, если ограничиться его линейными членами. Неверная оценка порядков видна в формуле (9): в параксиальной теории градиенты плотности возникают только во втором приближении, а течения, в том числе с неоднородным распределением параметров по сечению, описываются одним уравнением второго порядка [14].

При рассмотрении сформулированной в [1] проблемы решение необходимо искать в виде асимптотического ряда по малому геометрическому параметру с привлечением соображений о форме представления слагаемого с эмиттансом.

Обратимся теперь к анализу точных решений [2], попытка построить приближенное решение по аналогии с которыми привела в [1] к обсуждаемым выше последствиям.

Заметим, что математический формализм должен быть адекватен рассматриваемой задаче: при использовании в работе [2] уравнений Власова для "холодных" пучков возникает вопрос, почему автор остановился на середине, а не начал с цепочки кинетических уравнений Боголюбова для «-частичных функций распределения, которые определяют еще более общий подход.

Рассматриваемые в работе [2] потоки характеризуются постоянной релятивистской продольной скоростью и нерелятивистскими поперечными скоростями. Релятивистский радикал поэтому считается постоянным, а уравнения пучка в результате простых замен приобретают нерелятивистский вид. Автор [2] формулирует свою задачу как "построение новых приближенных моделей для пучков, ток которых значительно меньше предельного тока Альфвена".

На языке гидродинамической теории плотных пучков эта задача звучит как поиск новых точных решений уравнений нерелятивистского нестационарного пучка при наличии неподвижного однородного ионного фона. Заметим, что для любого точного решения, плотность электронов в котором зависит от одной переменной % = %($, х, у, z), выделение ионного фона легко может быть выполнено даже в том случае, когда первоначально такая задача не рассматривалась.

В решении (1)-(6) работы [2] наличие канала, заполненного положительными ионами, является никак не формализованным в модели умозрительным построением. В действительности задача формулируется как расчет нестационарного осесимметричного незакрученного потока с постоянной осевой скоростью на занимающем все пространство компенсирующем фоне. Для такого потока утверждение о колебаниях относительно "центра канала" лишено смысла. Примеры колебаний пучка в канале, учитываемом в модели,

приведены в [8], причем решение проблемы требует рассмотрения краевых задач. Продольная скорость легко устраняется преобразованием Галилея, а оставшееся радиальное движение на неподвижном фоне указано в работе [15] (решение 5°.4).

Колебания возле "центра канала", а вернее, возле начала координат, не вызываются в [2] никакими физическими причинами. Вместе с тем известно [16], что любое точное решение уравнений пучка может быть записано в неинерциональ-ной системе отсчета, начало которой по произвольному закону g(t), Н(г)} перемещается в пространстве. Произвольность функции ДО позволяет рассмотреть гармонические колебания в направлении оси х с частотой, зависящей как от плотности фона, так и равным образом от любого другого параметра из произвольного раздела физики.

Существование точного решения, определяемого формулами вида (10) в [2], отмечено в работе [15] (решение 5°.4) для случая произвольной ориентации слабо зависящего от времени магнитного поля.

Если упомянутые до сих пор решения при переходе к плоскости х, у описывали автомодельные течения, то решение с эллиптическим пучком в скрещенных полях [2] таковым не является. Оно представляет собой весьма частный случай указанного в работе [16] решения ранга 3 с линейной зависимостью от декартовых координат у компонент скорости, инвариантного относительно преобразований с произвольными функциями времени.

Таким образом, в работе [2] не приведено ни одного ранее не известного точного решения, а ее положительная часть сводится к численным результатам, отраженным на рис. 1-3.

Работа [2] представляет собой продолжение публикации [17], результаты которой проанализированы в [18].

Все сказанное выше о модели ленточного пучка [1] справедливо и для задачи о параксиальном пучке с эллиптическим сечением [3]. Неосведомленность автора [1-3] о результатах асимптотической теории релятивистских электронных пучков [8, 14, 19], в том числе пространственных параксиальных потоков с произвольным сечением, привела к тому, что ошибки подхода, выявляемые при устремлении эмиттанса к нулю, не были им замечены.

В. А. Сыровой

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наумов НД. // РЭ. 2000. Т. 45. № 11. С. 1384.

2. Наумов Н Д. // РЭ. 1994. Т. 39. № 7. С. 1179.

3. Наумов Н Д. // РЭ. 2001. Т. 46. № 9. С. 1134.

О "ГАЗОДИНАМИЧЕСКОМ МОДЕЛИ"

507

4. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Физматгиз, 1987.

5. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

6. Данилов В Н. // Некорректные задачи. Ч. 2. М.: Наука, 1974. С. 67.

7. Сыровой В.А. // РЭ. 1989. Т. 34. № 12. С. 2586.

8. Данилов В Н. // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1968. № 5. С. 3.

9. Hahn W.C. // Proc. IRE. 1948. V. 36. № 9. P. 1115.

10. Lee EP, Cooper R.K. // Particle Accelerators. 1976. V. 7. № 1. P. 83.

11. Чихачев А.С. // Физика плазмы. 1983. Т. 9. № 2. С. 378.

12

13

14

15

16

17

18 19

Азарова О Н., Чихачев A.C. // РЭ. 1990. Т. 35. № 2. С. 410.

Сыровой В А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33. № 12. С. 1391.

Сыровой В.А. // РЭ. 1988. Т. 33. № 8. С. 1706.

Сыровой В.А. // Журн. прикл. механики и

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.