ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 3, с. 530-537
УДК 519.634
О ГЕНЕРАЦИИ ЗВУКОМ ТРЕХМЕРНЫХ ВОЛН ТОЛЛМИНА-ШЛИХТИНГА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА УПРУГОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ТРАНСЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ВНЕШНЕГО ПОТОКА1}
© 2007 г. И. В. Савенков
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: isavenkov@mail.ru Поступила в редакцию 29.09.2006 г.
В рамках асимптотической теории свободного взаимодействия изучено влияние упругости обтекаемой поверхности на трехмерные пакеты волн Толлмина-Шлихтинга, генерируемые акустическими возмущениями, возникающими вблизи пограничного слоя при трансзвуковых скоростях набегающего потока. Показано, что упругость обтекаемой поверхности значительно ослабляет наиболее неустойчивые косые волны, но не меняет характерную подковообразную форму волновых пакетов с двумя максимумами возмущенного движения, распространяющимися под углом к набегающему потоку. Библ. 13. Фиг. 7.
Ключевые слова: акустические возмущения, трехмерные волны Толлмина-Шлихтинга, волновые пакеты, трансзвуковая гидродинамика, упругость поверхности.
ВВЕДЕНИЕ
Акустические возмущения, вызывающие рост волн Толлмина-Шлихтинга, являются одной из возможных причин потери устойчивости пограничного слоя с последующим переходом ламинарного течения в турбулентное. С помощью теории свободного взаимодействия (см. [1]-[3]) в [4], [5] было показано, что акустические возмущения, возникающие в потенциальной области трансзвукового потока вблизи пограничного слоя, могут непосредственно преобразовываться в волны Толлмина-Шлихтинга без наличия любых других локальных неоднородностей течения.
Одним из эффективных факторов, сдерживающих рост волн Толлмина-Шлихтинга, является упругость обтекаемой поверхности, что было показано еще в ранних экспериментальных (см. [6], [7]) и теоретических (см. [8], [9]) работах. В рамках теории свободного взаимодействия в [10] было изучено влияние упругости обтекаемой поверхности на характеристики отдельных плоских волн Толлмина-Шлихтинга, а в [11] показано, что упругость поверхности может существенно замедлять развитие пакетов волн Толлмина-Шлихтинга, генерируемых двумерными акустическими возмущениями, проникающими в пограничный слой из внешнего потока. Данная работа является обобщением [11] на трехмерный случай.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим обтекание плоской пластинки равномерным потоком сжимаемого газа со скоростью U* , мало отличающейся от скорости с* распространения звуковых волн (число Маха = = U* /с* ~ 1). Пусть на расстоянии L* от передней кромки пластины во внешнем потоке на расстоянии y* ~ e2R1/2L* от поверхности пластины возникло трехмерное безвихревое возмущение с характерным поперечным размером Ay* ~ e-2R~1/2L*, продольным Ax* ~ e-3/2R~1/2L* и боковым Az* ~ e2R1/2L* (е ~ R~1/9 - малый параметр теории, см. [12], [13], где число Рейнольдса R = = Ц* U* L*/р* —► го). Пусть все гидродинамические функции этого возмущения (плотность, давление и скорости) отклонились на величины порядка е2. Тогда возмущенное движение во внешней области (с продольной координатой X = e3/2R1/2(x* - L*)/L*, боковой z = e2R1/2z*/L* и по-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00807).
О ГЕНЕРАЦИИ ЗВУКОМ ТРЕХМЕРНЫХ ВОЛН ТОЛЛМИНА-ШЛИХТИНГА 531 перечной у = е2Л1/2у*/£*) описывается следующим уравнением для потенциала ф (см. [13], [5]):
(1.1)
дф + с д!ф-д!ф-д!ф = о
дТдХ °°д X2 ду2 дz2 '
где см ~ (М^ - 1)Я1/9 = 0(1) - параметр, связанный с малым отклонением числа Маха от единицы (Т - время).
Возмущенное движение внешней области порождает давление Р(Т, X, 7) = -д ф/дХ(Т, X, у = 0, 7), передающееся без изменения как в основную толщу пограничного слоя (где у* ~ Я-1/2£*), так и в узкий пристеночный слой (с поперечной координатой У = е-1Я1/2у*/£*), вызывая в нем движение, описываемое системой уравнений Прандтля (см. [13], [5])
дЕ+д! = о дР = о
дХ д У дУ
дЕ + идЕ + удЕ = - дР + ЁЕ (12)
д т идх уд у дх дУ2' (1.2)
дК + идК + удК = - дР + д2К
дт дХ дУ д7 дУ2'
Условия сращивания решений в пристеночном подслое и внешней области (через основную толщу пограничного слоя) имеют вид
и - У — А(Т, X, 7) + ^(Т, X, 7), К — 0 при У —- (1.3)
дф/дх = -Р, дф/ду = -дА/дХ при у = 0, (1.4)
где функция А имеет физический смысл мгновенного смещения линий тока в основной толще пограничного слоя. (В записи (1.1), (1.3) также использовалось преобразование Прандтля, благодаря чему обтекаемой поверхности, деформированной на величину в новых переменных соответствует У = 0.)
Осталось еще выставить условие затухания возмущений при выходе из области внешнего потока
дф/ду —► 0 при у —► га (1.5)
и задать начальное условие
ф(Т = 0, Х, У, 7) = ф0(Х, У, 7), (1.6)
где ф0(Х, У = 0, 7) = 0 (поскольку мы предполагаем, что в начальный момент возмущение зародилось вне пограничного слоя).
И, конечно, надо не забывать про условия прилипания на стенке
и = у = К = 0 при У = 0 (1.7)
вкупе со связью между деформацией поверхности и прикладываемым давлением
Р = (1.8)
где К - коэффициент упругости.
Тем самым мы завершили постановку нашей задачи. Давление Р в ней является самоиндуцированным и ищется наряду с другими функциями течения.
2. ЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ
Считая возмущения малыми, линеаризуем задачу (1.1)—(1.8) по малому амплитудному параметру 5 —► 0
(и- У, у, К, Р, А, ф) = 5(и, V, Ж, Р', А', ф'), а затем разложим искомые функции в интегралы Фурье-Лапласа. Например, разложение для
давления имеет вид
P (T, X, Z) = Re
го го о + г го
21— J dmexp(imZ)jdk J P(k, m, ю)exp(юT + ikX)drn
(2.1)
Тогда для образов искомых функций получается система дифференциальных уравнений (по Г), сводящаяся к решению уравнения Эйри. Окончательно имеем (см. [12], [13])
P = -(ik)-1/3 Q (k, ю, m)
Фф^Фо(k, m, 7)dY Ф ( Q ) - Q ( k, ю, m ) '
где
(2.2)
Q(k, ю, m) = (ik)1/3k^/(K - ц), ц = k2A, A, = Vik(w + ikcго) + m2, Re^ > 0,
Ф(О) =
dAi(Z)
dZ
j Ai (Z) dZ
lq
Q = w(ik)
-2/3
где Ai(Z) - функция Эйри, экспоненциально затухающая в секторе |arg Z| < п/3.
Приравнивание знаменателя в (2.2) к нулю приводит к дисперсионному соотношению
Ф(О) = Q(k, ю, m; K), (2.3)
описывающему собственные колебания пограничного слоя (волны Толлмина-Шлихтинга). В плоском случае (m = 0) это дисперсионное соотношение подробно изучалось в [10]. Было показано, что оно имеет счетный набор корней, неустойчивым из которых является только первый: Re ro1(k, m = 0) > 0 при превышении некоторого порогового, "нейтрального" значения k = k*.
Анализ показал, что при m Ф 0 дисперсионное соотношение (2.3) ведет себя аналогичным образом: из всего счетного набора корней неустойчивым по-прежнему остается только первый.
В случае жесткой поверхности (K = 0) дисперсионное соотношение (2.3) изучалось в [5]. Было показано, что максимальный инкремент нарастания cmax = max а (0 < k < го, m = const) неограниченно возрастает с ростом m, точнее,
amax ~ а0, max(k/k0, max)2/3 при k — +го и m ~ k7/3/|^Q0, max)|. (2.4)
Можно показать, что оценка (2.4) остается справедливой и для упругой поверхности (зависимость от K появляется лишь в следующих членах разложения). Таким образом, в трансзвуковом пограничном слое наиболее неустойчивы косые волны (распространяющиеся под углом к набегающему потоку), независимо от свойств упругости обтекаемой поверхности.
Типичная дисперсионная зависимость инкремента нарастания возмущений а = Re ю1 от k и m приведена на фиг. 1 при сго = 1 и K = 1. Такой вид изолирований инкремента нарастания возмущений (как и изолиний Im ro1(k, m) на фиг. 2) характерен и в случае жесткой поверхности (1/K = 0, см. [5]). Перепишем (2.1) в виде
P'(T, X, Z) = Re
j I(m, T, X) exp (imZ)dm
(2.5)
I =
oo о +
21" j dk j P( k, m, ю) exp (ю T + ikX) dm.
(2.6)
Интеграл (2.6) изучался ранее в [11] при т = 0. Распространяя описанную в [11] методику на общий случай т Ф 0, имеем асимптотическую оценку для больших времен Т (см. также [5])
I( m, T, X) ~ j dk (ik )1/3 j90 (k, m, Y) exp (-X1Y) dY
Ф ( Q i ) Q ( Q i;k, m)
dQ } " dQ(Qi;k, m)
exp [ю1(k, m)T + ikX],
0
0
0
10
8
£6
4
2
Фиг. 1.
12
10
£6
2 к
Фиг. 2.
где А,х = +1кс+ т2, = {¡к)2130,1(к, т), - первый корень дисперсионного соотношения
(2.3) (а под X подразумевается регулярная ветвь корня с Яе X > 0).
3. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Рассмотрим для простоты точечный источник возмущений, находящийся на расстоянии У0 Ф 0 от поверхности пластины: ф0 = 4п25(Х)5(7)5(У - У0). Тогда
|ф0(к, т, У)ехр (-X1 У)dУ = ехр(-А1У0)
и все дело сводится к вычислению двойного интеграла л/3 Ф(П 1)б(П^к, т)
Р=
| dm | dk (1к )1
) - Л (^1;к' Ш)
ехр[ю1 (к, т)Т + гкХ + 1т7- Х1 (к, т)У0],
(3.1)
Р'(Т, Х, 7) = Яе(Рс),
где, как уже было сказано, является первым корнем дисперсионного соотношения (2.3).
Заметим, что, несмотря на неограниченный рост инкремента нарастания Яе ~ с0, тах(к/к0, тах)2/3 с увеличением к, интеграл (3.1) сходится за счет асимптотики X ~ к7/3/|Ф(П0, тах)| при к —►
Были проведены численные расчеты интеграла (3.1) по методу трапеций с шагами Ак = 0.003 и Ат = 0.1 (в качестве верхнего предела достаточно было взять = 6.0 и = 12.0), что гарантировало 1%-ю точность вычислений.
8
4
2
0
0
о
о
Расчеты показали, что к моменту времени T = 5 (см. фиг. 3 и фиг. 4) распределение давления P' принимает характерную форму волнового пакета, растущего с течением времени (в силу симметрии по Z, приводится только половина картинки с Z > 0). Амплитудные характеристики волнового пакета удобнее проследить по фиг. 5, на которой представлены изолинии функции |Pc| (огибающей P') на тот же момент времени T = 5. Видно, что область с максимальными амплитудами возмущений в окрестности Pmax = max^^-го < X < го, 0 < Z < го)| = |Pc(Xmax, Zmax)| смещена с оси симметрии Z = 0, что свидетельствует о раздвоении возмущений (поскольку картина возмущенного движения симметрична относительно Z = 0). Точно такая же картина наблюдается в случае жесткой поверхности (см. [5]) и объясняется тем же фактом наибольшей неустойчивости косых волн.
В самом деле, численный анализ подынтегральной функции из (3.1) показывает, что в момент времени T =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.