ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 9, с. 1481-1502
УДК 519.63
О ГИБРИДНЫХ СХЕМАХ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ДЛЯ СЧЕТА РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ^
© 2013 г. А. И. Толстых
(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; 141700Долгопрудный, М.о., Институтский пер., 9, МФТИ)
e-mail: tol@ccas.ru Поступила в редакцию 22.10.2012 г.
Переработанный вариант 07.02.2013 г.
Приводятся результаты исследования применения мультиоператорных схем высокого порядка и их монотонизированных версий для счета разрывных решений. Рассматриваются два типа гибридных схем. Представлены решения ряда тестовых задач, включая задачи с экстремально мощными разрывами. Приводится пример решений уравнений Навье—Стокса при небольших сверхзвуковых числах Маха с использованием мультиоператорных схем без их монотонизации. Библ. 28. Фиг. 11. Табл. 3.
Ключевые слова: мультиоператоры высокого порядка, гибридные схемы, задачи с разрывными решениями, уравнения Навье—Стокса.
DOI: 10.7868/S0044466913070181
1. ВВЕДЕНИЕ
В [1], [2] описана методика построения аппроксимаций и схем заданного высокого порядка, основанная на использовании линейных комбинаций базисных операторов. Эти базисные операторы получаются, если зафиксировать значения параметра в однопараметрических семействах компактных аппроксимаций, их линейные комбинации были названы мультиоператорами. Применение мультиоператорных аппроксимаций производных позволяют в случае гладких решений исходных задач получать рекордно высокие точности на сетках с умеренным числом узлов. Кроме того, управляя возникающими свободными параметрами, можно добиться высокой степени разрешения мелкомасштабных деталей решений. Поскольку мультиоператорные схемы являются консервативными, их использование, как показывает опыт, возможно и в случае сквозного счета решений с разрывами небольшой интенсивности (например, в случае сверхзвуковых течений при небольших числах Маха). В этом случае наличие диссипативного механизма высокого порядка малости в "противопотоковых" мультиоператорах способствует подавлению паразитических осцилляций численных решений, являясь некоторым встроенным в схему фильтром.
При наличии сильных разрывов диссипация мультиоператорных схем может оказаться недостаточной для получения решений, не искаженных в значительной степени немонотонностью схемного происхождения. В некоторых случаях возникающая неустойчивость (например, с появлением в процессе счета отрицательных значений плотности и/или температуры) приводит к невозможности продолжения вычислений.
Чтобы использовать значительные преимущества методики вне области сильных газодинамических разрывов, сохранив при этом возможность их описания, сравнимую с возможностями традиционных монотонизированных схем невысокого порядка, естественно обратиться к хорошо изученным методам борьбы с проявлениями немонотонности схем.
Пути монотонизации разностных схем порядка выше первого хорошо известны. Ранняя классификация некоторых из них содержится в [3]. Подробное описание монотонизированных схем можно найти в [4].
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00584) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН № 3.
В данной работе рассматривается возможность гибридизации мультиоператорных схем высокого порядка как средство, позволяющее их использовать для сквозного счета решений с разрывами значительной интенсивности (в частности, при больших гиперзвуковых числах Маха).
Под гибридными схемами в данной работе будут пониматься схемы для нестационарных уравнений, в которых при реализации оператора перехода от одного временного слоя к другому используются операторы двух схем. Одна из них является базовой схемой высокого порядка, а вторая — монотонной. По-видимому, впервые эта идея была предложена и реализована в 1962 г. (см. [5]). В дальнейшем было построено большое количество гибридных схем, применяющих различные критерии адаптации к получаемым решениям (см. [4]). Остановимся коротко на двух вариантах гибридизации, которые используются в данной работе.
В [6] описан принцип гибридизации двух опорных схем, представленных точками в пространстве коэффициентов для узлов шеститочечных шаблонов. При этом гибридная схема характеризуется некоторой точкой а на отрезке прямой в этом пространстве, соединяющей точки аА и аВ, соответствующие опорной схеме А (монотонной схеме первого порядка) и опорной схеме В (схеме второго или третьего порядков):
а = гаА + (1 - г)ав.
Параметр г рассматривается как сеточная функция, меняющаяся от нуля до единицы в зависимости от того или иного индикатора немонотонности численных решений. Такой подход позволил авторам работы [6] описать целый ряд возможных гибридных схем.
Идея использования пространства коэффициентов сеточных операторов получила эффективное развитие в [7], [8], где был не только предложен ряд новых нелинейных монотонных схем повышенного порядка, но и разработан универсальный алгоритм их построения.
В [9] гибридная схема, основанная на двухточечной ("бикомпактной") схеме четвертого порядка, характеризуется аналогичным образом в виде
и = гиА + (1 - г) ив, (1)
где и, иА и иВ — решения, полученные в каждый момент времени, соответственно на основе гибридной схемы, монотонной схемы А и схемы высокого порядка В при переходе от одних и тех же значений на предыдущем временном слое. Обе схемы иА и иВ используют одну и ту же аппроксимацию четвертого порядка пространственных производных.
Схемой В служит двухточечная схема с дискретизацией четвертого порядка пространственной производной, использующая аппроксимацию дифференциальных следствий исходных уравнений ("бикомпактная" схема) и схему Рунге—Кутты, а схема А — двухслойная неявная схема, отличающаяся от схемы В только дискретизацией производной по времени. Сеточная функция г определяется как
Г = &(|иА - ив\)У/Х2, (2)
где т — шаг по времени. В случае гладких решений можно ожидать, что разность решений имеет порядок 0(т), а в случае нарушения гладкости — порядок 0(1).
При построении гибридных схем мы будем пользоваться формой гибридизации (1), (2) из [9].
В качестве другого инструмента построения гибридной схемы будем рассматривать идею из [10], согласно которой для монотонизациии используются не только решения, получаемые на каждом шаге по времени по монотонной схеме, но и потоки через границы контрольных ячеек, определяемые этой схемой. Этот подход является обобщением на случай произвольных схем метода из [11] с введением антидиффузионных потоков. Для полноты изложения воспроизведем эту идею.
Пусть для уравнения
дии + д( и) = о (3)
д ? дх
выписаны две абстрактные консервативные схемы, одна из которых есть монотонная схема невысокого порядка (индекс Ь), а вторая — схема высокого порядка (индекс Н):
т + 1 т Ь Ь
и .и - и .и + 1и + 1/2 - 1 - 1/2 _ о , (4)
т + 1 т Н Н
и ) - и ) + 1 ) + 1/2 - Я)- 1/2 _ ° , (5) т к
где т и к — шаги сетки в плоскости (?, х). Предполагается, что указан алгоритм вычисления сеточных потоковых функций д1 и дн.
Сначала при известной функции uj вычисляются потоки qL и qH, их разности Aj ± 1/2 = qj ± 1/2 — — q/± 1/2, а также значения сеточной функции на (m + 1)-м слое, согласно монотонной схеме (4),
L m + 1 -п-
Uj = Uj . Последние используются для коррекции разности потоков, которую можно представить в виде
C
Aj ± 1/2 = Cj ± 1/2Aj ± 1/2, 0 ^ Cj ± 1/2 ^ 1 (6)
H
Окончательные значения на (m + 1)-м слое определяются как
- AC
-1/2 Aj -1/2
Uj + 1 = Uj - (т /h Kj 1/2 - Aj- 1/2 ). (7)
С
В [10] предлагается следующее выражение для скорректированных потоков А) ± 1/2, полученное из условий того, что на (т + 1)-м слое не образуются новые экстремумы, а старые не увеличиваются по абсолютной величине:
А)+1/2 = Б) + 1/2тах {0, шт[ А +1/2, Б) +1/2 (иЦ+ 2 - иЦ+1) к, Б) +1/2 ( и) - иЦ 1) к ]}, (8)
где
+ 1/2 = 1 при А) + 1/2 > 0 , + 1/2 = -1 при А) + 1/2 < В [10] приводится обобщение этой методики на многомерный случай.
Схемы типа (3)—(8) являются гибридными схемами, которые требуют вычисления как потоков, так и решений, соответствующих монотонной схеме. В противоположность этому гибридизация типа (1) использует только решения, полученные по двум схемам. Она не требует коррекции потоков и позволяет, например, формально использовать в качестве монотонной схемы схему, которая не обязательно является консервативной.
Оба описанных выше подхода обладают общей чертой: они допускают широкий произвол выбора "партнеров" базовой схемы высокого порядка. Они могут быть как схемами первого порядка, так и монотонизированными схемами более высоких порядков. Оба подхода могут быть использованы в случае нескольких пространственных переменных.
В дальнейшем в качестве схемы высокого порядка будет рассматриваться схема с мультиопе-раторными аппроксимациями, а в качестве монотонной схемы — простейшие варианты схем первого порядка. При этом целью данной работы является не поиск оптимальных комбинаций двух схем, а выяснение возможности их применения и основных свойств получаемых численных решений при наличии разрывов. Особое внимание в ней уделяется рассмотрению весьма жестких ситуаций с мощными ударными волнами, контактными разрывами и волнами разрежения, когда все известные монотонизированные схемы демонстрируют те или иные трудности получения достаточно точных численных решений.
2. ГИБРИДНЫЕ МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫЕ СХЕМЫ 2.1. Опорная схема высокого порядка
В качестве примера выбора мультиоператорной схемы для построения ее гибридной версии будем использовать схему с мультиоператорами девятого порядка точности (см. [2], [12]), применявшуюся при проведении расчетов на основе уравнений Навье—Стокса несжимаемой жидкости и дозвуковых течений вязкого газа (см. [13], [14]). Для полноты изложения воспроизведем ее основные черты.
Обозначим через Х5(ж) однопараметрическое семейство компактных аппроксимаций пятого порядка производной достаточно гладкой функции и(х) (см. [2], [12]):
дии = Ц (з) и + ск д6и + о (к6).
дх дх
Его удобно определить, введя следующие обозначения для трехточечных операторов:
До = T _ T_i,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.