МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. Ю.Н. РАДАЕВ
О ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ В ИЗОСТАТИЧЕСКОЙ КООРДИНАТНОЙ СЕТКЕ
Рассматривается проблема классификации системы уравнений в частных производных трехмерной задачи теории идеальной пластичности (для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска), а также определения замены независимых переменных с целью приведения этих уравнений к максимально простой нормальной форме Коши. Исходная система уравнений представлена в изостатической системе координат и является существенно нелинейной. Сформулирован критерий максимальной простоты нормальной формы Коши. Найдена система координат, приводящая исходную систему к максимально простой нормальной форме Коши. Полученное условие того, что система уравнений принимает максимально простую нормальную форму, как показано в работе, сильнее, чем условие t-гиперболичности Петровского, если под t понимать каноническую изо-статическую координату, поверхности уровня которой образуют в пространстве слои, нормальные полю главных направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному напряжению.
1. Постановка задачи. Уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска, впервые были получены в 1959 г. (см. [1, 2]). Показано, что задача является формально статически определимой, если граничные условия заданы в напряжениях. Уравнения равновесия могут быть формально рассмотрены независимо от кинематических уравнений. Они являются квазилинейными и принадлежат к гиперболическому типу, поэтому можно вести речь о характеристиках, которые, как показывают вычисления, касаются площадок максимальных касательных напряжений.
Формулировка пространственных уравнений теории пластичности Ивлева в координатной сетке линий главных напряжений найдена в [3]. Уравнения при этом становятся существенно нелинейными.
Задача численного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом приводит к проблеме представления этой системы в нормальной форме Коши и формулировке условий Куранта-Фридрихса. С этой проблемой также непосредственно связана задача классификации и определения характеристических направлений. Дело в том, что гиперболическая квазилинейная система, представленная в характеристических переменных, обладает тем свойством, что для нее не существует нормальной формы Коши ни по одной из независимых переменных. Уравнения в частных производных трехмерной задачи математической теории идеальной пластичности, представленные в изостатической координатной сетке, существенно нелинейны, поэтому сформулированный признак к ним неприменим. Для осесимметричной задачи теории пластичности при использовании критерия текучести Треска проблема приведения к максимально простой нормальной форме Коши рассматривалась в работе [4].
Настоящая работа посвящена приведению (с помощью замены независимых переменных) к максимально простой нормальной форме Коши уравнений трехмерной задачи теории пластичности с критерием текучести Треска, представленных в изостати-ческих координатах, решению вопроса о классификации указанных уравнений и исследованию корректности постановки задачи Коши.
Общая теория пространственной задачи математической теории пластичности, основанная на представлении о расслоенности поля напряжений и возможности преобразования соотношений пространственной задачи к изостатическим координатам, изложена в [5]. В этой же работе приводится вывод уравнений равновесия пространственного напряженного состояния в координатной сетке линий главных напряжений.
Для ребра призмы Треска, определяемого условием = о2 = о3 ± 2k (k - предел текучести при сдвиге), уравнения равновесия можно представить в форме одного векторного уравнения
grado3 + 2kdiv(n ® n) = 0 (1.1)
где n - единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) собственному значению о3 тензора напряжений. Уравнение (1.1) квазилинейно и принадлежит к гиперболическому типу. Векторное уравнение (1.1), по-видимому, играет фундаментальную роль в теории формально статически определимых идеально пластических состояний, поскольку уравнение точно такой же формы также описывает напряженные состояния, соответствующие граням призмы Треска (см., например, [5]).
Ключевым для анализа уравнения (1.1) выступает условие расслоенности векторного поля n в зоне пластического течения. Для разрешимости уравнения (1.1) необходима расслоенность векторного поля n, т.е. выполнение условия n ■ rotn = 0, а с расслоенным полем естественным образом связано каноническое преобразование координат (см. [5]):
= /'(ю\ю2,ю3) (i = 1, 2, 3) (1.2)
где ю' - канонические изостатические координаты, причем поверхности ю3 = const являются слоями поля n.
Отображающие функции / должны удовлетворять следующей существенно нелинейной системе дифференциальных уравнений в частных производных:
//+// + / / = 0
Эю1 Эю3 Эю1 Эю3 Эю1 Эю3
/ / + / / + / / = 0
Эю2 Эю3 Эю2 Эю3 Эю2 Эю3
(1.3)
Э/2 д/3 _ //\д/\ + (/д/1 _ / /)-/l +
Эю1 Эю2 Эю1 Эю2^Эю3 Мю1 Эю2 Эю1 Эю2^Эю3
+ (Э/1 Э/2 _ Э/2 /)/ = 1
Мю1 Эю2 Эю1 Эю2^Эю3
Как показывает анализ системы (1.3), она приводится к нормальной форме по переменой ю3 и не имеет нормальной формы ни по одной из переменных ю1, ю2. Заметим, что обозначая через gj компоненты метрического тензора системы координат ю1, ю2, ю3, систему дифференциальных уравнений в частных производных (1.3) можно представить в более компактной форме g13 = 0, g23 = 0, 4g = 1.
2. Построение максимально простой нормальной формы Коши. Поставим задачу о нахождении максимально простой нормальной формы Коши системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.3), используя при этом все возможные замены независимых переменных. Ясно, что само понятие "максимальной простоты" нуждается в уточнении, что будет сделано в последующем изложении.
Совершим наиболее общую замену независимых переменных в системе уравнений (1.3):
1 1, 1 2 3. 2 2,1 2 3. 3 3 , 1 2 3.
у = у (ю , ю , ю ), у = у (ю , ю , ю ), у = у (ю , ю , ю )
(2.1)
причем должно выполняться условие невырожденности якобиана преобразования:
А = |Эу'7Эю;'| Ф 0
Проанализируем условие разрешимости полученной системы уравнений относительно частных производных от неизвестных функций по переменной у1. В результате замены переменных (2.1) система уравнений (1.3) приводится к следующему виду1:
Y dY1 dY1 + gY dY2 dY2 + gY Э Y3 Э Y3 + л Эю Эю Эю Эю Эю Эю
2
Y
+ 813
3
dY1 dY3 + Э Y1 Э Y Эю1 Эю3 Эю3 Эю1
í .
Y
+ 823
Эу_Эу_ + dY dY Эю1 Эю3 Эю3 Эю1
сд/Эу2 dY1 dY' Эю1 Эю3 Эю3 Эю1
3
= 0
Y Эу1 Эу1 + 8у Эу2 Эу2 + 8у ЭY3 Э Y3 + л
811:Т^:Г^ + 822 —2 —3 + 833 —2 —3 + 812
Эю Эю Эю Эю Эю Эю
Эу1 Эу2 + Эу1 Эу'
2
Эю2 Эю3
Эю3Эю2
Y
+ 813
Эу^Эу3 + Эу1 Эу
3
Эю2 Эю3
Эю3 Эю2
Y
+ 823
^ Э у2 Эу3 Эю2 Эю3
Эу2Зу^^
Эю3 Эю2
(2.2)
Э/х / Э/з + f / / + Э/з f /2 Эу1Эу2Эу3 Эу1Эу2Эу3 Эу1 Эу2Эу3 э/2 э/1 Э/3_ f Э/2 Э/1 _ Э/1 / / Эу1 Эу2Эу3 Эу1 Эу2Эу3 Эу1 Эу2Эу3
А = 1
где g]: - компоненты метрического тензора системы координат у1, у2, у3:
Y Э/1 Э/1 Э/2Э/2 Э/3Э/3,. . 0
8;; = —-—' + —-—' + —-—' (i, J = 1, 2, 3)
Эу Эу Эу Эу Эу Эу
(2.3)
А = Эу-2Эу^3 + Эу3Эу3Эу3+ Эу2 Эу3 Э у1 Эю1 Эю2 Эю3 Эю1 Эю2 Эю3 Эю1 Эю2 Эю3
Эу-Э^Эу3 Эу3Э^Y3Э^Y3 ^L
Эю1 Эю2 Эю3 Эю1 Эю2 Эю3 Эю1 Эю2 Эю3
(2.4)
1 Здесь и далее преобразования выполняются с помощью пакета символьных вычислений Maple V.
Окончательно, переход к новым независимым переменным в уравнениях (2.2) завершается подстановкой (в'1* - кососимметрические символы Леви-Чевита):
эу = в}'вк1т( д ю /Э у1 )( д ют/Э у' ) к ^ - -1 '
А 1 = det
д ю'
Эу1
Эюк 2А-
В дальнейшем изложении нам потребуется равенство вида
э/х д£2 _ д£2 / /2 + Г / _ / д£2 /2+
д у2 д у3 Э у2 Э у3/ чЭ у2 Э у3 Э у2 Э у3/
// _ //2 = д у2 д у3 Э у2 Э у3/
Эг Эг
— х —
д у Э у
(2.5)
У У = <?22<?33 -
23
)
Непосредственно видно, что первые два уравнения системы (2.2) квадратичны относительно частных производных Э/уЭу1 ( = 1, 2, 3), а последнее уравнение линейно относительно этих частных производных.
Выразим из последнего уравнения системы (2.2) частную производную Э/3/Эу1 и подставим ее в два первых уравнения системы (2.2). Получим систему двух квадратных уравнений относительно двух частных производных Э/1/Эу1, Э/2/Эу1. Считая, что задано значение частной производной Э/1/Эу1, приходим к условию совместности системы двух квадратных уравнений относительно частной производной д/2/д у1. Условие совместности состоит в том, что результант двух указанных квадратных уравнений (см. [6], с. 340) равен нулю. В итоге получается алгебраическое уравнение четвертой степени относительно частной производной ЭД/Эу1, но оказывается, что коэффициенты при четвертой и третьей степенях Э/1/Эу1 равны нулю. Это условие специфично для системы (2.2) и является решающим обстоятельством, позволяющим довести выкладки до конца. Уравнение для определения Э/1/Эу1, поэтому, будет квадратным и, следовательно, находим
д/х/Эу1 = (_ Вх )/2Ах
А4(<?22<?33 _ (¿2а)2)2 _4
(2.6)
Б
У
+ Й3
3 1 1 3 ^2
Эу_дГ_ ду Эу ю1 ю2 ю1 ю2
12
д у ю3
/
У 6 22
д у1 Э у2 Э у2 Э у1 1 ю1 ю2 ю1 ю2
+ 2 6
д у 2 д у1
__Эу Эу
ю1 ю2 ю1 ю2
21ГЭу3 Эу1
д у1 д у3 1
/ гг/12 Г/121 _ / Г/ / д/3 /1
_чЭ у3 ччЭ у2/ чд у2/ / ду2чЭ у2 Э у3 Э у2 Э у3/
ю1 ю2 ю1 ю2
21
Эу^Эу! Эу1 Эу ю1 ю2 ю1 ю2
/ г/ / / /1 _ / гг/12 г/1
Э у3 чЭ у2 Э у3 Э у2 Э у3/ Э у2 ччЭ у3/ чЭ у3/
^Э у3 Э у1
Эу1 ду31
А = ^ А( б^2б33_ ()2) ю
У 622
Эу^д!2 д у2 Э у1 ю1 ю2 ю1 ю2
ю1 ю2 ю1 ю2
У
+ 633
Эу! эу! ду1 э у3
Э ю1 Э ю2 Э ю1 д ю2
(2.7)
+ 2 6
23
Эу_Эу_ ду Эу ю1 ю2 ю1 ю2
21ГЭу3 Эу1
Эу1 Эу31
ю1 ю2 ю1 ю2
+
х
+
Bi = ( ¿22 g3s- (g23 DA
„ Y Э f 1 Э f2
2 ^Tl2 ду dy
i
2-, л2
Эу_Эу_ ду д у дю1 дю2 дю1 дю2
„ Y д f 1 д f 2 + 2 ^3з т4 ri
ду ду
Э^ Э^ ду1 Ty3 дю1 дю2 дю1 дю2
_ f fdf f + f ff TLdL _ TLdL Yjd¿2dx3dx1 +
dY3 [ду3 Ty2 dY3 ду2Лдю2дю1 дю1 дю2^ дю3дю2дю1
+ d¿-dx!_-dl3. ду2 ду3 ду1 + 3 ty 3 ty1 ду2 + дy2 эy3 эy1 1
дю1 дю3 дю2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.