МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 531.36;62-50
© 2008 г. А.М. ФОРМАЛЬСКИЙ
О ГЛОБАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВОЙНОГО ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА С УПРАВЛЕНИЕМ В МЕЖЗВЕННОМ ШАРНИРЕ
Изучается плоское движение двойного маятника с неподвижной точкой подвеса. Управление маятником осуществляется при помощи только одного момента, приложенного во внутреннем межзвенном шарнире. Момент считается ограниченным по абсолютной величине. В виде обратной связи построен закон управления, при котором маятник переводится из положения, когда оба звена висят вертикально вниз, в неустойчивое верхнее положение равновесия, когда оба звена перевернуты. Эта же обратная связь обеспечивает асимптотическую устойчивость маятника в верхнем положении равновесия. Поскольку из любых начальных состояний маятник можно привести в нижнее положение равновесия, то построенный закон управления обеспечивает глобальную устойчивость перевернутого маятника.
1. Введение. Весьма трудной в теории управления считается проблема глобальной стабилизации неустойчивого положения равновесия, другими словами, задача синтеза управления, обеспечивающего приведение системы в неустойчивое положение равновесия из любого начального состояния. Эта проблема еще более осложняется, если число управляющих воздействий меньше числа степеней свободы системы и (или) ресурсы органов управления ограничены [1, 2]. Наибольший интерес при решении задачи стабилизации представляет построение управления в виде обратной связи.
После того, как многими авторами в различных постановках был решен целый ряд задач управления однозвенным маятником, в том числе задач глобальной стабилизации однозвенного перевернутого маятника, интерес исследователей перемещается к более трудной проблеме управления двойным маятником. Этой проблеме в последние десять-пятнадцать лет уделяется большое внимание. Трудность управления двойным маятником связана с тем, что он содержит две степени свободы и его движение описывается существенно нелинейными дифференциальными уравнениями. Среди работ, посвященных этой проблеме, можно выделить те, в которых рассматривается, как и в настоящей статье, маятник с неподвижной точкой подвеса. Авторы изучают задачи как локальной, так и глобальной стабилизации желаемого неустойчивого состояния равновесия. Значительные трудности вызывают задачи управления маятником с дефицитом числа управляющих воздействий, когда управляющий момент прикладывается только в одном шарнире, расположенном в точке подвеса или во внутреннем межзвенном шарнире (в то время, как маятник имеет два шарнира). В последнем случае требуется так распорядиться относительным перемещением звеньев, чтобы приложенные извне силы гравитации вместе с активным управляющим моментом способствовали приведению маятника в желаемое положение. Маятник с управляющим моментом в межзвенном шарнире рассматривается, например, в [3-6]. В [5, 6] заменой переменных уравнения движения системы приводятся к "каскадной" форме, когда межзвенный угол можно представить как промежуточную управляющую переменную. Затем методом квазилинеаризации авторы вводят в рассмотрение новый управляющий параметр, изменяя который можно решить поставленную задачу приведения
маятника в верхнее неустойчивое положение равновесия. Однако при таком подходе невозможно, вообще говоря, удовлетворить наложенное на управляющий момент ограничение. В случае, когда управляющий момент прикладывается в точке подвеса, "каскадная" форма уравнений движения оказывается более сложной [5, 6]. Перспективным для синтеза управления маятником представляется использование соображений, связанных с энергией системы, изложенных в [7] для однозвенного маятника. В [8] рассматривается задача приведения двойного маятника в окрестность верхнего неустойчивого положения равновесия при помощи момента, прикладываемого в точке подвеса. Этот момент ограничен по модулю; на систему действуют возмущающие силы. Управление строится с использованием метода декомпозиции, развитого в [9-11].
В настоящей статье при синтезе закона управления используются результаты работы [12]. В этой работе в качестве управляющего параметра рассматривается межзвен-ный угол, который, по предположению, может изменяться лишь в заданных пределах. Найден закон изменения этого угла в виде обратной связи, при которой на каждом полупериоде колебаний маятника амплитуда его отклонения от нижнего положения равновесия возрастает.
Здесь управление маятником, оба звена которого в начале процесса висят вертикально вниз, осуществляется в несколько этапов. Вначале управление межзвенным углом строится таким образом, что амплитуда его колебаний вокруг нижнего положения равновесия быстро возрастает. Для этого задаются широкие пределы изменения межзвенного угла, и его желаемое значение вычисляется в каждый текущий момент времени в соответствии с алгоритмом, построенным в [12]. При помощи управляющего момента это желаемое значение межзвенного угла отслеживается. Слежение осуществляется при помощи линейной (с насыщением) обратной связи по отклонению межзвенного угла от его желаемого значения и по скорости изменения этого угла. Насыщение в цепи обратной связи возникает из-за ограничения, наложенного на управляющий момент. Маятник на этом первом этапе управления раскачивается, сильно изгибаясь. Когда в процессе раскачивания маятник оказывается достаточно близко к верхнему положению равновесия, начинается следующий этап управления. На этом этапе желаемая амплитуда изменения межзвенного угла уменьшается. Маятник продолжает раскачиваться, но эта раскачка происходит медленнее, нежели на первом этапе, и не возникает опасность, что маятник проскочит желаемое положение равновесия. Когда в процессе раскачивания маятник оказывается еще ближе к верхнему положению равновесия, желаемая амплитуда изменения межзвенного угла становится еще меньше. Таких этапов, на которых амплитуда изменения межзвенного угла становится все меньше и меньше, может быть несколько. На последнем этапе раскачивания эта амплитуда должна быть настолько малой, чтобы маятник не проскочил область притяжения. На этом последнем этапе он ведет себя почти как однозвенный, и амплитуда его колебаний от цикла к циклу прирастает очень мало. Если прирост амплитуды достаточно мал, то в некоторый момент времени маятник попадает в область притяжения верхнего состояния равновесия и начинается заключительный этап управления -этап стабилизации. На этом этапе в соответствии с алгоритмом, построенным в работе [13], используется линейная (с насыщением) обратная связь по двум неустойчивым каноническим переменным уравнений движения, линеаризованных около верхнего состояния равновесия. Эта обратная связь строится так (см. [13]), чтобы, по возможности, максимизировать область притяжения желаемого (верхнего) состояния равновесия, в которую должен попасть маятник в процессе раскачивания. Неустойчивые канонические переменные зависят от всех четырех фазовых переменных системы. Поэтому обратная связь на заключительном этапе стабилизации зависит от всех фазовых переменных.
Несмотря на большое количество исследований, посвященных изучению движения двухзвенного маятника, автору неизвестны работы, в которых был бы развит подобный предложенному здесь алгоритм управления с ограничением, наложенным на управляющий момент.
2. Математическая модель. Изучаемый плоский двойной физический маятник с неподвижной точкой подвеса О показан на фиг. 1. Подвес осуществляется при помощи цилиндрического шарнира, трение в котором не учитывается. Такой же идеаль- \ ф
ный, по предположению, шарнир соединяет между собой в точке О звенья маятника, которые считаются абсолютно твердыми телами. Оси обоих шарниров перпендикулярны плоскости чертежа. Центр масс первого звена расположен на отрезке ОО. Центр масс второго звена расположен на втором, показанном на фиг. 1, отрезке, начинающемся в точке О.
Пусть ф - отсчитываемый против часовой стрелки угол отклонения первого звена (отрезка ОО) от вертикали, а - угол отклонения второго звена от продолжения первого (см. фиг. 1).
Кинетическую Т и потенциальную П энергию двухзвенника представим в виде
D
, l
Фиг. 1
1 2 2 T = 2[а11 ф +2a12ф(ф + а)cosа + а22(ф + а) ],
П = fc1cos ф + b2cos (ф + а)
(2.1)
in
I + m 2l
42
m
2 r2l, b1 = (m1 r1 + m2l )g, b2
m2 r2 g
Здесь I - момент инерции первого звена относительно шарнира О; т1 и т2 - массы первого и второго звеньев; г1 и г2 - расстояния от шарниров О и О до центров масс первого и второго звеньев соответственно; I - длина первого звена ОО; а22 - момент инерции второго звена относительно шарнира О; g - ускорение свободного падения.
Используя соотношения (2.1), запишем хорошо известные уравнения движения двухзвенного маятника с управляющим моментом М в межзвенном шарнире следующим образом:
j1 (а)ф + j2 (а)а-2 а12 ф ásin а - a12á sin а = b1sin ф + b2sin (ф + а)
(2.2)
]2 (а)ф + а22 а + а12ф^т а = Ь^ш (ф + а) + М (2.3)
Здесь выражение ^(а) = а11 + а22 + 2а12соза описывает момент инерции маятника относительно точки подвеса О и, следовательно, ^(а) > 0 при всех значениях угла а;
]2(а) = а22 + а12со8а.
Будем считать, что допустимые управления - кусочно-непрерывные функции Мф, ограниченные по модулю постоянной величиной М0:
М (г )|< Мо (2.4)
Множество таких функций обозначим через Ж
При М = 0 система (2.2), (2.3), имеет тривиальное решение
ф = ф = а = а = 0 (2.5)
отвечающее неустойчивому положению равновесия неуправляемого маятника с двумя перевернутыми звеньями.
Цель настоящей работы - синтез управления, стабилизирующего состояние (2.5). 3. Приведенный угол. Уравнение (2.2) можно записать в виде
K = b1sin ф + b2sin (ф + а)
(3.1)
Здесь К - момент количества движения системы относительно точки подвеса О:
К = ' !(а)(р + ]2 (а) а (3.2)
Соотношение (3.1) вытекает из теоремы об изменении момента количества движения системы относительно точки подвеса О.
Разделим обе части соотношения (3.2) на положительную величину ^(а):
ф + ;'2 (а) а/ ' (а) = К / ^(а) (3.3)
Левая часть соотношения (3.3) представляет собой производную р , где приведенный угол р выража
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.