МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.592.1+551.511.31
© 2008 г. М. И. ИВАНОВ
О ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ ПРИЛИВНЫХ КОЛЕБАНИЙ
АТМОСФЕРЫ
Рассматривается горизонтальная структура приливных колебаний атмосферы, определяющаяся решениями приливного уравнения Лапласа при различных значениях эквивалентных глубин, в том числе и отрицательных. Численно получены собственные частоты и моды в широком диапазоне изменения эквивалентной глубины. Исследованы частоты и моды для отрицательных значений эквивалентной глубины. Разработана классификация мод отрицательных эквивалентных глубин. Проведено сопоставление численных результатов с известными в литературе асимптотическими формулами.
Ключевые слова: приливное уравнение Лапласа, функции Хафа, эквивалентная глубина, число Фруда.
Задача о приливах в океане постоянной глубины, целиком покрывающем Землю, сводится к интегрированию приливного уравнения Лапласа, методика которого развита в [1]. Решение задач о собственных колебаниях планетных атмосфер или атмосферных приливах сложнее, так как исследуемые волны являются внутренними, и сводится к совместному интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений - приливного уравнения Лапласа и уравнения вертикальной структуры. Эти уравнения объединены общим параметром, который называется эквивалентной глубиной.
Свойства решений приливного уравнения Лапласа определяются двумя числами подобия. Первое число подобия есть отношение частоты собственного колебания к удвоенной угловой скорости вращения планеты, а второе - есть число Фруда, характерной длиной для которого выбрана эквивалентная глубина.
При решении задачи о приливах в атмосфере необходимо находить гармоники, отвечающие самому широкому диапазону эквивалентных глубин, в том числе и их отрицательным значениям [2], а следовательно, и отрицательным значениям гироскопического числа. Особенно важен учет этих гармоник для лунного полусуточного прилива, являющегося наиболее сильным. Однако обычно исследования касались лишь случая положительных чисел Фруда порядка 1-2 [1, 3]. В [4] при исследовании собственных колебаний атмосферы Юпитера получены собственные функции приливного уравнения Лапласа (функции Хафа), отвечающие положительным числам Фруда порядка 3. Эти функции в отличие от функций Хафа с меньшими числами Фруда имеют значительную величину лишь в узкой зоне около экватора; с ростом числа Фруда эта тенденция усиливается. Это означает, что областью собственных колебаний атмосферы Юпитера и подобных ему быстро вращающихся планет является экваториальная область, а средние и высокие широты не затронуты (или почти не затронуты) колебательным процессом. Позднее независимо те же функции были получены в [5], где также были найдены неявные асимптотики для функций Хафа отрицательных значений чисел Фруда. Для нулевого значения числа Фруда существуют точные решения, впервые полученные в [6]. Поэтому представляет несомненный интерес исследование функций Хафа в широком диапазоне значений числа Фруда.
Автором численно получены функции Хафа для больших и малых положительных чисел Фруда, а также для отрицательных чисел Фруда и построена классификация функций Хафа в этом случае. С использованием формул [5] выписаны явные асимптотики для отрицательных гироскопических чисел через полиномы Лагерра. Кроме того, впервые в научной литературе построены функции Хафа с большими азимутальными волновыми числами (количеством волн по меридиану).
1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассматривается тонкая атмосфера, толщина которой мала по сравнению с радиусом планеты а, вращающаяся с угловой скоростью ю и находящаяся в состоянии гидростатического и локального термодинамического равновесия. Допустим, что атмосфера представляет собой идеальный газ, имеющий неизменный состав, а ее движения могут быть описаны уравнениями Навье-Стокса для сжимаемого газа. Нагревание атмосферы происходит как за счет внешнего источника, создающего удельный приток тепла в единицу времени J, так и за счет адиабатического сжатия. Тогда ца = const, где ца - средняя молекулярная масса газов атмосферы. Введем сферическую систему координат (г, 9, ф), где z - высота над поверхностью планеты, 0 -коширота (дополнение широты), ф - долгота. Введем высоту однородной атмосферы H по формуле H(z) = RT(z)/|J.ag, где R = 8.31 Дж/(моль ■ К) - универсальная газовая постоянная, g - ускорение свободного падения, которое считается постоянным во всей толще атмосферы, а T(z) - основной профиль температуры.
Введем новую вертикальную координату по формуле
Кроме того, пренебрегаем топографией земной поверхности и диссипативными процессами.
Будем считать приливные поля возмущениями основного состояния, которое полагаем постоянным во времени. Кроме того, будем считать, что основные поля не зависят от широты и долготы. Полагаем, что зависимость приливных возмущений от долготы и времени может быть отделена множителем е'(пф + о), где п - широтное волновое число (число волн на параллели), а о - угловая скорость приливной волны. Тогда задача о приливах в атмосфере допускает разделение переменных по 0 и ^ вида
где СР и Су - теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно, а р0 - не возмущенная приливом функция давления. Тогда задача сводится к совместному интегрированию двух уравнений с некоторыми граничными условиями [2]. Отметим, что функция уш(0 имеет размерность частоты (Гц), тогда как функции 0т безразмерны.
Уравнением, определяющим горизонтальную структуру приливных волн, будет приливное уравнение Лапласа
о
m
—f 0 = о
(1.1)
Здесь Нт - так называемая эквивалентная глубина. Уравнение (1.1) первоначально было получено Лапласом для описания гармонических колебаний поверхности тонкого
сферического океана постоянной глубины Нт, откуда и происходит название эквивалентной глубины. Уравнение (1.1) необходимо решать на всей сфере, а краевыми условиями являются условия ограниченности функции 0т(ц) на полюсах.
Разложим в ряды Фурье гравитационный потенциал и удельный приток тепла в единицу времени
О = (О©т(0), 1 = X 1т (О©т(0)
т т
Уравнением, определяющим вертикальную структуру приливных возмущений, будет уравнение вертикальной структуры
,2
d Ут 1
d с
2 4
1_±ГКЯ + —
hm V d^J-
КJm(С) -Z/2 Y -1
ym = imme • К = V (L2)
Уравнение вертикальной структуры должно быть дополнено граничным условием непротекания на поверхности планеты, имеющим вид
^(0) + (^ "2)*»(0) = ^От(0) (1.3)
и граничным условием на верхней границе атмосферы (или на бесконечности, если рассматривается безграничная атмосфера).
2. Положительные числа Фруда. Число Фруда задачи есть в = 4ю2а2/£й. При в = 0 уравнение (1.1) имеет точные решения, выражающиеся через функции Лежандра и известные как волны Гаурвица [6]. Все собственные частоты / для случая невращающейся планеты отрицательны и при этом находятся в интервале [-1/2, 0).
Согласно [1] разделим решения (1.1) при любых положительных числах Фруда на три класса: Р-волны, движущиеся по направлению вращения планеты, М-волны, быстрые колебания, движущиеся против направления вращения планеты, и волны Россби, долгопериодные колебания, движущиеся также против направления вращения планеты. Волны Россби в пределе в ^ 0 переходят в волны Гаурвица.
С применением метода, использовавшегося в [1], получены собственные частоты уравнения (1.1) для различных положительных чисел Фруда. Результаты сведены в табл. 1. Класс К-волн здесь разбит на два подкласса БК и ЕК по свойствам чередования нулей в согласии с [1]. Величины выбранных чисел Фруда отвечают случаю атмосфер Венеры (в = 5 ■ 10-5) и Юпитера (в = 1200) в баротропном приближении и гидросферы Земли (в = 20). Собственные частоты Р- и К-волн при в ^ 0 неограниченно растут как [6]
/: = ±/n + s ) (в + s + 1 ), s = 0,1, 2, ..., (2.1)
а моды стремятся к функциям Лежандра
К = К + * (ц) (2.2)
При в ^ 0 волны Россби, обозначенные в табл. 1 литерой Я, переходят в волны Гаурвица.
Для больших положительных чисел Фруда в > 1000 известны две асимптотики для собственных частот [5, 7]. В [7] для интегрирования приливного уравнения Лапласа использовался метод Цваана, заимствованный из квантовой механики. В итоге частоты были найдены с неопределенными знаками, а для собственных функций были найдены асимптотики с ветвлением, содержащие эллиптический интеграл. В [5] для получения асимптотики для собственных частот приливное уравнение Лапласа интегрировалось
Таблица 1
в 1 0 5 • 10-5 0.01 20 1200
п = 1
Р 0 - 200 13.90 0.237 0.029
1 - 346 24.42 0.647 0.186
2 - 490 34.61 0.938 0.300
3 - 632 44.70 1.171 0.381
2 - - - -0.762 -0.289
3 - - - -0.952 -0.375
0 - -200 -14.40 - -
1 - -346 -24.59 - -
2 - -490 -34.69 -1.098 -
3 - -632 -44.75 -1.253 -
Я -1 -0.500 -0.500 -0.500 -0.371 -0.156
0 -0.167 -0.167 -0.167 -0.072 -0.0096
1 -0.083 -0.083 -0.083 -0.045 -0.0058
п = 2
Р 0 - 346 24.33 0.474 0.058
1 - 490 34.56 0.828 0.203
2 - 632 44.68 1.104 0.309
3 - 775 54.74 1.343 0.388
2 - - - -0.832 -
0 - -346 -24.66 - -
1 - -490 -34.73 -1.053 -
2 - -632 -44.78 -1.242 -0.288
3 - -775 -54.81 -1.431 -0.375
Я -1 -0.333 -0.333 -0.333 -0.287 -0.144
0 -0.167 -0.167 -0.167 -0.110 -0.019
1 -0.100 -0.100 -0.100 -0.071 -0.012
через сфероидальные функции, при этом были получены явные выражения для собственных форм через полиномы Эрмита. Для волны в [5] асимптотика отсутствует.
Автором численно найдены значения собственных частот приливного уравнения Лапласа для в = 100 и в = 1200 при п = 1-4 (табл. 2, 3). В каждом столбце приведены по три значения собственной частоты. Под цифрой 1 приведено численно найденное значение, под цифрой 2 приведено асимптотическое значение по [7] (с учетом правильного знака, определенного численно) и под цифрой 3 - асимптотическое значение по [5]. Видно, что уже для сравнительно небольших чисел Фруда (в = 100) численные значения собственных частот почти всех волн близки к асимптотическим. Исключением являются Я-вол-ны (кроме волны Я-1, сильно отличающейся от прочих волн Россби и выделяемой в отдельный класс [1]). При бол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.