научная статья по теме О ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ВОССТАНОВЛЕНИЮ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ К ГРАНИЦАМ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ Физика

Текст научной статьи на тему «О ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ВОССТАНОВЛЕНИЮ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ К ГРАНИЦАМ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ»

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 1, с. 72-77

= ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА

УДК 536.21

О ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ВОССТАНОВЛЕНИЮ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ К ГРАНИЦАМ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ © 2015 г. С. А. Колесник, В. Ф. Формалёв, Е. Л. Кузнецова

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

E-mail: formalev38@yandex.ru Поступила в редакцию 18.12.2013 г.

Изложен метод решения обратной граничной задачи теплопроводности по восстановлению тепловых потоков к элементам конструкций летательных аппаратов, изготовленных из анизотропных материалов, на основе полученного ранее аналитического решения двумерной нестационарной задачи теплопроводности в анизотропной пластине в условиях теплообмена на границах. Метод базируется на параметрической идентификации и конечно-элементной аппроксимации зависимости теплового потока от пространственной переменной. Разработан регуляризирующий алгоритм, позволяющий идентифицировать тепловые потоки с большими (до 10%) погрешностями в экспериментальных значениях температур. Получены и проанализированы результаты численных экспериментов.

Б01: 10.7868/80040364415010111

ВВЕДЕНИЕ

Восстановление с большой точностью тепловых потоков к элементам конструкций высокоскоростных летательных аппаратов по данным телеметрической информации о распределении температур в самой конструкции было и остается актуальной проблемой на длительном пути проектирования авиационной и ракетно-космической техники. Сложность здесь заключается в сильном влиянии на восстанавливаемые характеристики уровня погрешностей экспериментальных значений температурного поля в конструкции, вследствие чего обратная задача становится неустойчивой к этим возмущениям.

Основополагающей для данной задачи является непрерывность восстанавливаемых граничных функций (тепловых потоков), определяемых априорно, так как если методология разработана для непрерывно-дифференцируемых функций и в соответствии с этим найдены регуляризирую-щие операторы, то эта методология может не подойти для разрывных функций.

Трудности возникают и вследствие того, что тепловые потоки восстанавливаются не в отдельной точке, а на некотором промежутке пространственной переменной, связанной с границей тела, т.е. задачи теплопереноса должны рассматриваться в многомерной постановке. Кроме этого, большой класс теплозащитных материалов выполнен в виде композиционных материалов, графитов и графитсодержащих материалов, которые

являются анизотропными, вследствие чего уравнения теплопереноса содержат смешанные частные производные, существенно затрудняющие решение как прямых, так и обратных задач.

Обратные граничные задачи теплопроводности по восстановлению тепловых потоков к телу в различных постановках встречаются в работах Самарского А.А., Вабищевича П.Н. [1], Исакова В. [2], Алифанова О.М. [3], Гласко В.Б. [4], Романова В.Г. [5], Бека Ж., Блэкуэлла Б., Клэира Ц. [6], Форма-лева В.Ф., Кузнецовой Е.Л., Колесника С.А. [7, 8] и многих других. Однако, во-первых, в них рассматриваются в основном одномерные среды и, следовательно, изотропные, во-вторых — исчезающе малые погрешности в экспериментальных данных и, в-третьих, в них отсутствуют надежные алгоритмы регуляризации. Для решения обратных задач можно использовать двусторонний метод, изложенный в работе Зарубина В.С. и Кувыркина Г.Н. [9].

В данной работе на основе аналитического решения задачи теплопроводности в анизотропной полосе в условиях теплообмена на границах, полученного авторами в работе [10], поставлена и решена обратная граничная задача по восстановлению тепловых потоков с использованием экспериментальных значений температур в конечном количестве пространственно--временных точек. Разработан алгоритм регуляризации по Тихонову А.Н. [11], позволяющий использовать экспериментальные значения температур с большой погрешностью (~10%), причем результаты (идентифици-

рованные тепловые потоки) имеют примерно такой же уровень погрешности. Регуляризация основана на поиске искомой функции теплового потока в классе непрерывно дифференцируемых функций.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для анизотропной полосы (рис. 1) ставится следующая граничная обратная задача теплопроводности: определить функцию теплового потока д(х), действующую на границе у = 0 пластины и с теплоизолированными остальными границами по пространственно-временному распределению температур

(1)

Т ((х, у ),, ^) = Т1к,

I = 1,2,...,I, к = 1,2,...,К,

где I — количество пространственных узлов, в которых расположены термопары, К — количество точек по времени.

Ограничениями для решения этой задачи являются следующие:

1) функции д(х) > 0 на промежутке |х| < /1 и д(х) = 0 на промежутках |х| > 11.

2) вторая начально-краевая задача теплопроводности в анизотропной полосе

d ^T ^11 —T + 2^12 dx

d 2T , , d2T + K 22

dT

2 = CP —,

dxdy dy dt x e (-да, +да>), y e (0,l2), t > 0;

\ dT + A dTЛ x < li;

A 21--+ A 22- = 1 II

dx dy J [0, |x| > l1 x e (-да, +да), y = 0, t > 0;

^ 21 ~~ + ^ 22 ~~ I = 0,

dx dy j x e (-да, +да), y = l2, t > 0;

T (±да, y, t) = 0, дШдаМ = 0, dx

(2)

(3)

(4)

(5)

x ^±да, y e [0,l2], t > 0;

T(x,y, 0) = 0, x e (-да, +да), y e [0, +l2], t = 0. (6)

Здесь X¡j, i, j = 1,2 — компоненты тензора теплопроводности, определяемые соотношениями [12]

2 2 Xn = X|Cos ф + Xnsin ф,

X 22 = X ^т2ф + X ncos^,

(7)

X12 = X21 = (X| - Xп)sinфcosф.

3) q(x) определяются в классе непрерывно дифференцируемых функций на интервале x е (-l1; l1).

9 % 6

6

Рис. 1. Расчетная область.

В математической модели (1)—(7) 02,, Ог|, X X п — соответственно главные оси и главные значения тензора теплопроводности, х, у — декартовы прямоугольные координаты, ф — угол ориентации главных осей относительно декартовой системы координат.

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Отрезок х е [-/1, /1] разбивается на М конечных элементов длиной 25, т.е. х е [-5,5], 5 = М. Искомая функция представляется в виде следующей линейной комбинации кусочно-постоянных базисных функций п (8 - \х - хт|):

M-1

q(x)» X q«n(s- |x - xm|),

(8)

m=0

где

г|(5 - |x - xm |) = jj

1, |x - xm\ < 5, x - x^ > 5;

хт = -11 + 5(2т + 1), т = 0,1,2,...,М - 1.

Количество элементов М выбирается нечетным.

Решением задачи (2)—(6) для теплового потока, заданного функцией

#(х) = Я(м-1)/2П(§ - |х|)

на центральном конечном элементе (хт = 0), будет функция [10]

T (x, y, t) = í^ (x, y, т) © (y, T) dт. (9)

2X22Yl2 0

Здесь

F(x,y,t) = erf^(8+ay - x> + erfí^-^,

2J Px рт

y

li

74

КОЛЕСНИК и др.

© (у, т) = 1 + 2Х ео8 кпу ехр

к=1 12

2 2

к п

= ^ 22 , Р = ^ ^ П^ 22 , У = фД 22 ,

а

м-1 '

Я,

Т(х,у, X) = X -Я— ]>(х - хт,у, х)0 (у, т)Л т =

12к 99у 12

т=0 22' 2 0

м-1

= X Ят^Х У, ¡У

егГ (г) = -2= | ехр (2 )

Для функции теплового потока я(х) = = Ят(8 - |х - хт|), заданной на произвольном конечном элементе, решение задачи (2)—(6) имеет вид

Т (х, у, ?) =

Ят

2^ 227*2

X (х - хт, у, т) © (у, т) ЛТ = ЯтТт(х, у, ?),

(10)

Таким образом, для идентификации функции Я(х) необходимо определить множество параметра {Ят}.

Для заданных пространственно-временных узлов с помощью выражения (11) вычисляются теоретические значения температур для оценки погрешности экспериментальных значений:

м-1

Т,к = Т ((х, у) , гк ) = X ЯтТт ((х, у) , ¡к ),

т=0

(12)

а решение (9) для функции теплового потока (8) в силу линейности задачи (2)—(7) является суперпозицией решений (10):

I = 1,2,...,I, к = 1,2,...,К.

Выражение (12) записывается в виде вектор-но-матричного соотношения

Т = (13)

где Z — матрица размерностью (I ■ К) х М:

г =

( Т ((х, у)1, ¡1) Т1 ((х, у)1, ¡1)

Т0 ((х, у)1, ¡1) Т ((х, у), ¡1)

Т ((х, у)1, ¡2) Т1 ((х, у)1 , ¡2)

Т0 (( у)1 -l, ¡К) Т1 ((x, у)1 _l, ¡к)

Т) ((х, у)1, ¡К) Т1 ((х, у) , ¡К)

Тм-1 ((х, у )1, ¡1)

Тм-1 ((х, у), ¡1) Тм-1 ((х, у )1, ¡2 )

Тм-1 (( У )-l, ¡к) Тм-1 ((х, у)1, ¡к ) ;

(14)

q — вектор с М-компонентами, Т — вектор с I ■ К -компонентами.

Искомый вектор q определяем из условия минимума функционала:

S(q) = Т - Ц2 = !|| гя - г||2.

(15)

Здесь Т — вектор экспериментальных значений (1).

В соответствии с необходимым условием минимума функционала (15) имеем

grad(S) = гТ (гя - Т) = д, (16)

где д — нулевой вектор.

Выражение (16) — векторно-матричная форма системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно вектора неизвестных q. Поскольку малым возмущениям экспериментальных значений температур Т могут соответ-

ствовать значительные возмущения вектора q, то СЛАУ (16) имеет плохо обусловленную матрицу.

Для регуляризации СЛАУ (16) используем условие непрерывной дифференцируемости искомой функции я(х) на интервале х е (-/1; 11), для чего в регуляризирующий функционал необходимо ввести разность первых производных в узлах хт, которая представляется в конечно-разностном виде выражением

^(Я ) _ Ят+1 Ят — Ят Ят-1

(17)

25 25

Представим (17) в виде регуляризирующего функционала

м-1

Я(ф = 2 X (^(Ят))2 = 211Ч2,

т=0

(18)

который с параметром регуляризации а добавляется к функционалу (15). В результате получаем:

т=0

г

0

0

Таблица 1. Экспериментальные значения температур Т

(*> y )iltk 281.25 312.5 343.75 375 406.25 437.5 468.75 500

(-0.01; 0.01) 33.8746 36.3713 38.7933 41.1478 43.4408 45.6769 47.8606 49.9956

(0; 0.01) 43.2743 46.0372 48.6988 51.2707 53.7624 56.1818 58.5354 60.8287

(0.03; 0.01) 39.0147 41.6730 44.2427 46.7338 49.1544 51.5113 53.8099 56.0554

(-0.01; 0.015) 26.3610 28.6868 30.9550 33.1699 35.3350 37.4536 39.5284 41.5623

(0; 0.015) 36.3413 39.0479 41.6592 44.1858 46.6360 49.0169 51.3347 53.5949

(0.03; 0.015) 37.2222 39.9594 42.5995 45.1536 47.6306 50.0379 52.3819 54.6681

(-0.01; 0.02) 20.3824 22.5156 24.6039 26.6552 28.6701 30.6499 32.5961 34.51

(0; 0.02) 29.9048 32.5085 35.0282 37.4720 39.8467 42.1583 44.4119 46.6118

(0.03; 0.02) 34.0248 36.7933 39.4615 42.0406 44.5397 46.9664 49.3274 51.6283

SM = 2||Zq - f||2 + 2L|Щ2,

(19)

где В — трехдиагональная матрица размерностью М х М вида

Г 1 -1 0 ... 0 0Л

B = 1

-1 2 -1

0 0 0 0 0 0

0 0

2 -1 -1 1

а — параметр регуляризации, который подбирается методом невязки [11] с размерно

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком