РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 5, с. 535-539
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
УДК 538.56
О ХАРАКТЕРЕ ДИСПЕРСИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВБЛИЗИ УЕДИНЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ © 2015 г. Н. С. Бухман, А. В. Куликова
Самарский государственный архитектурно-строительный университет, Российская Федерация, 443001 Самара, ул. Молодогвардейская, 194 E-mail: nik3141rambler@rambler.ru Поступила в редакцию 19.09.2013 г.
Предложен приближенный аналог соотношений Крамерса—Кронига для изолированной спектральной линии. Получены выражения для вещественной части диэлектрической восприимчивости вещества вблизи спектральной линии для случаев столкновительного, доплеровского и время-пролетного уширения спектральной линии. Показано, что в общем случае мнимая часть комплексного форм-фактора спектральной линии при удалении от центральной частоты линии затухает очень медленно — по гиперболическому закону. Поэтому даже в том случае, когда поглощение излучения за пределами спектральной линии практически отсутствует, влияние этой спектральной линии на коэффициент преломления вещества сказывается достаточно далеко от нее.
DOI: 10.7868/S0033849415030080
Общеизвестна важная роль, которую играют в теории волн соотношения Крамерса—Кронига, связывающие вещественную и мнимую часть диэлектрической проницаемости вещества (или вещественную и мнимую часть его диэлектрической восприимчивости, или вещественную и мнимую часть его показателя преломления, см. [1—3]). Универсальность этих соотношений связана с тем, что они следуют непосредственно из принципа причинности и для их применения не требуется сведений о микроскопической картине процессов, происходящих в веществе при взаимодействии с электромагнитным излучением.
К сожалению, применение этих соотношений в точной формулировке требует информации о поведении диэлектрической проницаемости вещества при изменении частоты от минус до плюс бесконечности. Такая информация обычно недоступна. Кроме того, из физических соображений очевидно, что не слишком далеко (в частотном представлении) от изолированной спектральной линии можно ограничиться учетом именно этой спектральной линии и пренебречь влиянием прочих. В данной работе предложен приближенный аналог соотношений Крамерса—Кронига, пригодный для изучения связи вещественной и мнимой частей диэлектрической восприимчивости вещества вблизи изолированной спектральной линии.
Полученные соотношения позволяют не только изучить дисперсию показателя преломления вещества вблизи спектральной линии с произвольным профилем показателя поглощения (в частности, в случае доплеровского или времяпро-
летного уширения), но и в общем случае ответить на важный вопрос — насколько быстро уменьшается влияние спектральной линии поглощения на показатель преломления вещества при увеличении отстройки от центра спектральной линии. Действительно, с ростом отстройки ^ поглощение излучения может уменьшаться достаточно плавно — например, по закону ~ О^г/О2 в случае лоренцевско-го контура спектральной линии (столкновительное уширение; П1/2 — полуширина спектральной линии), или достаточно резко — например, по экспоненциальному закону ~ ехр (-П2/Оу2) в случае доплеровского уширения. Возникает вопрос — одинаково ли быстро (и по какому именно закону) в этих двух случаях возвращается к "фоновому" значению с ростом отстройки показатель преломления.
Приведенный ниже анализ дает положительный ответ на поставленный вопрос — при любом контуре поглощения спектральной линии с ростом отстройки от центра спектральной линии ^ показатель преломления возвращается к фоновому значению по универсальному гиперболическому закону ~ 1/^, т.е. существенно медленнее, чем показатель поглощения даже в случае столк-новительного уширения спектральной линии. Это обстоятельство показывает, кроме всего прочего, что проведенный в [5] анализ влияния спектральной линии поглощения на распространение короткого сигнала является инвариантным по отношению к контуру спектральной линии и использованное в [5] у1-приближение применимо к любому профилю спектральной линии.
7
535
Будем исходить из соотношений Крамерса-Кронига для комплексной диэлектрической восприимчивости вещества х(®) в следующей формулировке [2]:
Х(ю) = х'(ю) + ¿х"(ю), X'(ю) = X'(-Ю), Х"(ю) = -Х"(-®),
(1)
пх'(ю) = P [ dю1 пх"(ю) = -P [ dfflj-
J - Ю J - Ю
X'(^l)
Интегралы в (1) понимаются в смысле главного значения. Введя в рассмотрение центральную частоту спектральной линии ю0 и отстройку от нее ^ и предполагая, что О < ю0, нетрудно вместо (1) получить соответствующие приближенные "низкочастотные" выражения
ПХ
Х"(юр + Qi)
'(Юс +Q) = f dQi
J Qi — Q
—да
пх"(юс + Q) = — J dQi
Х'(юс + Qi) Q1 — Q '
J (dxj
J (dxj.
nx'(®o + Q) = x) [x"(®o + ^ + x) - x"(®o + ^ - x)],
nx"(®o + Ц) = x) [x'(®o + ^ + x) - x'(®o + ^ - x)]
(3)
л(ю) = i + 2пх(ю),
(4)
где х(ю) — комплексная диэлектрическая восприимчивость газа. Тогда, введя в рассмотрение коэффициент ослабления света по амплитуде
аo = -2n/kox(roo), k c
(5)
и нормированный на 1 в центре спектральной линии ю0 комплексный форм-фактор линии
g(Q) = -2nik a 0ix(®o +
(6)
нетрудно переформулировать соотношения Кра-мерса—Кронига в форме (2) или (3) как соотношения для связи вещественной и мнимой части комплексного форм-фактора спектральной линии g(a) = да + #ХП):
ng"(Q) = - Г dQi g,(Q|), ng'(Q) = f dQ| g"(Qi) J 1Q, - Q J i QQ - Q
Qi -Q
, (7)
ng"(Q) = - J (dx/x) [g'(Q + x) - g'(Q - x)],
(8)
(2) ng'(Q) = J (dx/x)[g"(Q + x) - g"(Q- x)].
Физический смысл соотношений (2) совершенно очевиден и сводится к требованию выполнения принципа причинности не для произвольного сигнала (как в соотношениях (1)), а для его комплексной огибающей (при частоте несущей ю0).
Избавиться от интегрирования в смысле главного значения в (2) можно за счет появления неопределенности 0/0 под знаком интеграла:
Соотношения (7) или (8) позволяют по вещественной части форм-фактора линии (т.е. по контуру поглощения) определить ее мнимую часть, т.е. изменение показателя преломления газа на частотах вблизи спектральной линии, обусловленное поглощением (или усилением) излучения вблизи спектральной линии.
Применим соотношения (7) и (8) для трех типичных форм-факторов спектральных линий [2, 3] — лоренцевского (см. ниже) (X), когда профиль линии определяется радиационным или столкновительным уширением, гауссовского (О), когда профиль линии определяется доплеров-ским уширением, и "времяпролетного" (7), когда профиль линии определяется ограниченностью времени взаимодействия излучения с веществом.
Для вещественной части форм-фактора линии в этих случаях имеем (см. [2, 3]):
В соотношениях (3) сходимость интегралов на нижнем пределе интегрирования обеспечена ограниченностью подынтегральной функции, а на верхнем — ее стремлением к нулю быстрее, чем по закону х-1.
Далее будем для определенности говорить о газе с показателем преломления [1-3]
g КО) = [i + (2О/АО z )2 ]-i, g'T(0) = sine2 [xo(20/A0r)], g'G(0) = exp [- 1и(2)(2О/АОе )2 ],
(9)
где x0 ~ 1.39 — корень уравнения sinc2(x0) = 1/2 x x (sine (x) = sin(x)/x), параметры AfiL, Afir и — ширины вещественной части форм-факторов линий (gL, g'T, g'G) на уровне 1/2 от максимума. Зависимость этих параметров от свойств среды приведена, например, в [2, 3].
o
o
o
o
С использованием соотношений (7) и (8) для мнимой части форм-факторов линий нетрудно получить
gl(Q) = (2П/ДП £) [i + (2П/ДП £)2 ],
g"(Q) = [xo(2^AQr )]-1 -- [x0(2Q/AQT)]-2 sin [2x0(2Q/AQT)]/2,
gG(fi) = (2п-1/2 )жфп2)2П/ДП G).
В итоге для комплексных форм-факторов линий имеем
' g'(x), g"(x)
(10)
gL(Q) = [l - 1(2П/АПl)2]
J sin [xo(2Q/AQt )] T ^ x0(2fi/ADT) . 2 [x0(2Q/AQT)] - sin (2 [x0(2Q/AQT)]) 2 [x0(2fi/ADT )]2 '
gG (П) = exp (-ln(2)(2fi/AD G )2) + +i (2n-1/2) F(Vlñ(2) 2Q/AQg ).
Для лоренцевского форм-фактора линии полученные соотношения находятся, как и следовало ожидать, в полном соответствии с "микроскопическим" рассмотрением (см. [1—3]). Для доплеров-ского и времяпролетного контуров сравнить полученные формулы не с чем. Использованная в (10) и (11) функция
(11)
F(x) = exp(-x 2) jexp(t 2)dt
(12)
F(x)
1/(2x), F(x)
x ^ 0
x.
Графики вещественной и мнимой части комплексных форм-факторов спектральной линии в случае лоренцевского, гауссовского и времяпро-летного контуров спектральной линии приведены на рис. 1.
Совпадение вещественных частей форм-факторов линий при х = 0.5 неудивительно и связано просто с нормировкой ширины контуров поглощения на единицу. Более интересным представляется почти точное совпадение мнимых частей форм-факторов линий при малых значениях параметра х, т.е. вблизи центра спектральной линии. Видно также, что "осцилляционный" характер контура поглощения линии при времяпролет-
табулирована и называется интегралом Досона [4]. Ее асимптотическое поведение при больших или малых значениях аргумента определяется соотношениями [4]
Рис. 1. Зависимость вещественной ¿(х) (сплошная кривая) и мнимой ¿'(х) (пунктирная кривая) части форм-фактора спектральной линии от безразмерной частоты х = ^АО.1, х = , х = ^АП? (для ло-
ренцевского Ь, гауссовского О и времяпролетного Т форм-факторов).
ном механизме уширения линии передается и мнимой части форм-фактора спектральной линии. Можно также отметить, что вблизи линии поглощения столкновительный механизм уширения линии (лоренцевский контур) обеспечивает меньшее изменение вещественной части показателя преломления, чем доплеровский (гауссов-ский профиль линии) или времяпролетный. Вдали от спектральной линии ситуация меняется на противоположную.
Тем не менее в любом из трех рассмотренных случаев (а не только в случае лоренцевского контура линии) мнимая часть форм-фактора линии (т.е. вещественная часть диэлектрической восприимчивости) при удалении от линии спадает весьма медленно — по гиперболическому закону хотя в случае доплеровского уширения естественно было бы ожидать, что с ростом отстройки вместе с быстрым уменьшением поглощения показатель преломления столь же быстро выйдет на фоновое значение. Нетрудно показать, что эта с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.