научная статья по теме О КАТАНИИ ТЕЛА С РОТОРОМ ПО ПОДВИЖНОЙ ОПОРНОЙ СФЕРЕ Математика

Текст научной статьи на тему «О КАТАНИИ ТЕЛА С РОТОРОМ ПО ПОДВИЖНОЙ ОПОРНОЙ СФЕРЕ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 1, 2015

УДК 531.36

© 2015 г. Ю. П. Бычков О КАТАНИИ ТЕЛА С РОТОРОМ ПО ПОДВИЖНОЙ ОПОРНОЙ СФЕРЕ

Рассматривается задача о катании без проскальзывания тела с ротором по подвижной опорной сфере в однородном поле силы тяжести. Границей тела в области контакта с опорой является часть сферической поверхности. Центральный эллипсоид инерции системы (тело + ротор) — эллипсоид вращения, ось которого проходит через геометрический центр сферы, не совпадающий, вообще говоря, с центром масс системы. Опорная сфера произвольным образом поступательно перемещается и вращается вокруг вертикальной оси. Получена полная система уравнений движения несущего тела и ротора. В случае тела вращения получены два интеграла уравнений движения. В случае, когда тело — однородный шар, найдены четыре интеграла уравнений движения, причем координаты точки контакта шара с опорной сферой определяются квадратурами, и указаны все возможные траектории точки контакта шара со сферой.

Ранее задача о катании тела вращения по поверхности была рассмотрена Ф. Нётером [1] и П.В. Воронцом [2]. В общей постановке задача о катании тела по движущейся поверхности была рассмотрена автором [3—5]1. Имеются другие работы на эту тему (например, [6, 7]).

1. Постановка задачи. Уравнения движения. Общая задача о движении системы, состоящей из несущего твердого тела с произвольной границей, катящегося по движущейся опорной поверхности, и совокупности носимых материальных точек, положение которых относительно несущего тела может быть задано конечным числом обобщенных координат, была изучена ранее [3]. Ниже детально рассматривается частный случай общей задачи, когда движущаяся опорная поверхность — сфера 5е радиуса Яс, а граница несущего тела в области контакта с опорной поверхностью — часть сферической поверхности £ радиуса ^ (фиг. 1).

Введем пять систем координат [3] (в скобках указаны единичные векторы осей):

Оху1 (11,11 з) — система координат, неизменно связанная с несущим телом; ее начало О выбрано в центре масс системы тело + ротор, а оси направлены по главным осям инерции системы;

Осхсус1с (1с, 12,1с) — система координат, неизменно связанная с движущейся опорной сферой; ее начало Ос выбрано в центре опорной сферы;

Оахауа1а 12,1а) — неподвижная система координат;

хБолее полное изложение дано в препринтах: Бычков Ю.П. О катании твердого тела по движущейся поверхности. Препринт. М.: ИПМ РАН, 1995. 34 с.; Бычков Ю.П. К задаче о катании твердого тела по движущейся поверхности. Препринт. М.: Институт механики МГУ, 1998. 65 с.; Бычков Ю.П. К задаче о катании твердого тела по движущейся поверхности. Препринт. М.: Изд-во МГУ, 2013. 32 с.

По просьбе автора с. 100—111 текста статьи публикуются без редакторской правки. (Здесь и далее — примеч. редакции.)

c

X

Фиг. 1

Nuvn(eh e2, e3) — подвижная система координат с началом в точке контакта N несущего тела с опорной сферой, оси которой направлены по касательным к координатным линиям и по нормали к поверхности несущего тела;

Nucvcn(e С, ec2, ec3) — подвижная система координат, оси которой направлены по касательным к координатным линиям и по нормали к опорной сфере.

Положение точки контакта N на сферической поверхности S несущего тела определяется радиусом-вектором

р = ON = x ij + y i2 + г i3 = R sin u cos и ij + R sin u sin и i2 + (l + R cos u) i3 (1.1)

где l — координата геометрического центра сферы по оси Oz, проходящей через геометрический центр и центр инерции O, а u и и — гауссовы координаты точки N на поверхности S (см. [3]).

Обозначим коэффициенты первых двух квадратичных форм поверхности катящегося тела через an, a22, blb b22, полагая, что координатные линии поверхности — линии кривизны. Тогда из равенства (1.1) получаем следующие формулы для коэффициентов квадратичных форм, для квадрата длины радиуса-вектора р = ON точки касания N, для направляющих косинусов а", Р'', у" оси Oz и для проекций n, s радиуса-вектора р в подвижном репере Nuu n:

2 2 2 2 2 2 2 ап = R , а22 = R sin u, b11 = -R, b22 = -Rsin u, p = R + 2lRcosu + l (12)

а'' = -sinu, в'' = 0, y" = cosu, E, = -Isinu, n = 0, £ = R + Icosu

Все сказанное здесь для поверхности S, ограничивающей несущее тело, имеет место и для опорной сферы S (соответствующие величины обозначаются теми же буквами, но и с индексом) [3]:

pc = OcN = xcií + ycic + zci3 = Rc sin uc cosucic + Rc sin uc sin uci2 + Rc cos ucc3 an = Rc2, a22 = R2C sin2 u„ b{x = -R„ b22 = -Rc sin2 uc

Для единичных базисных векторов eb e2, e3 и ec, e2, e3 имеем формулы

1 dp 1 dp , c_ 1 dpc

ei ^du, e2^dU, e3 =[eixe21, ec ^duu

c 1 dp c r c c л

e2 e3 = [e; x e2]

с duc

Va22 c

Направляющие косинусы осей системы координат Nucvcn имеют вид [3] a c = cos uc cosuc, ac = cos uc sinuc, a С =- sin uc

Pc = - sin Uc, Pc = cos Uc, PC = 0 (1.3)

Y c = sin uc cos uc, y c = sin uc sin uc, y С = cos uc

Следуя Воронцу [2], будем определять положение несущего тела гауссовыми координатами u, и, uc, vc и углом 9 между осями Nu и Nuc. Предположим, что опорная

сфера S движется, т.е. указана явная зависимость от времени радиуса-вектора rOc точ-

a a a

c относительно неподвижной системы координат Oax y z :

a a .a a .a a .a /.\ .a /.\ .a /.\ .a

rOc = xOch + У0Сia + z0ci3 = (t) ii + 52 (t)ia + 53 (t) i3

Далее для простоты полагаем 53 = 5.

Оси Oaza и Oczc направлены вертикально в одну сторону. Пусть опорная сфера S вращается с угловой скоростью rac = vic вокруг оси Oczc (pc = 0, qc = 0, rc = v — проекции вектора rac на оси системы координат Ocxcyczc). Тогда единичные векторы ic, i2, i3 связаны с единичными векторами i a, i a, i a соотношениями

.c .a • .a .c .a .a • .c .a

i1 = i1 sinv- i 2cosv, i 2 = i1 cos v + i 2sinv, i 3 = i 3

Для проекций скорости j = vo + [rac x pc] точки опорной сферы 8е, совпадающей в

данный момент времени с точкой касания N, на векторы ec, e2, ec и e1, e2, e3 (см. [3]) получаем выражения2

2Посвятив большую часть текста этой статьи переписыванию формул из своей ранее опубликованной работы [3], автор часто не указывает смысл обозначений (например, Ъ^, Ъз в формулах (1.4)) и не дает необходимых пояснений.

b1 = c1 cos uc - S sin Uc, j1 = ±c1 cos uc sin 9 + c3 sin uc + c2 cos 9

b2 = c2 + Rcv sin uc, j2 = +c1 cos uc cos 9 + c4sin uc + c2sin 9 (1.4)

b3 = c1 sin uc + S cos uc, j3 = ± (c1 sin uc + s cos uc)

c1 = S1 sin(uc + v) - S2 cos(uc + v), c2 = S1 cos(uc + v) + S2 sin(uc + v) c3 = +S sin 9 + vRc cos 9, c4 = ±S cos 9 + vRc sin 9

2 2 2 2 2 2 2 j = S1 + S2 + S3 + Rc v sin uc + 2c2vRc sin uc

Предположим, что тело катится по опорной сфере без проскальзывания. Это условие приводит к тому, что на систему накладываются две неголономные связи. Уравнения этих связей, выражения ст, т, n проекций угловой скорости ю несущего тела на векторы e1, e2, e3, а также выражения d, Т1, «1 проекций угловой скорости «1 движения системы координат Oxyz относительно Nuvn на векторы e1, e2, e3 определяются формулами [3—5]

Rcúc = ±Ru sin 9 + (R sin u)u cos 9 (Rc sin uc)i)c = Ru cos 9 + (R sin u)usin 9

a = -bu sin u + v sin uc sin 9(ü1 = i)sin u) (1.5)

t = bu ± v sin uc cos 9(т1 = -u) n = -i) cos u ± l)c cos uc -9 ± v cos uc(n1 = -i) cos u)

где b = (±R - Rc)/Rc.

Для тела вращения с осью динамической симметрии Oz, ограниченного сферой и несущего ротор с той же осью симметрии Oz (в общем случае l Ф 0), кинетическая энергия системы ©' при движении по любой движущейся поверхности имеет вид [8]

20' = 20 + 20", 20" = Mj2 + 2M/26CT + (J& - ЛФ -

20 = [ Acos2u + C sin2u + M (R + /cosu)2]<r2 + [A + M(R2 + 2Rl cosu + 12)]x2 +

+ [Ccos2u + (A + Ml 2)sin 2u]«2 +

+ 2sinu[(A - C)cosu + Ml(R +1cosu)]«« + 2ю • K° + 2Tr

O __2

2ю • Kr = 2k[-csinu + ncosu], 2Tr = C'(p

Здесь C' — момент инерции ротора относительно оси Oz, К = C '<р, ср — угловая скорость вращения ротора вокруг оси Oz относительно несущего тела, M — масса всей системы, A = B ф C — главные центральные моменты инерции системы относительно

осей Ox, Oy и Oz, K° — главный момент относительных количеств движения (относительно точки O), Tr — кинетическая энергия движений относительно системы координат Oxyz ([9], с. 428).

Явный вид компонент скорости (jb j2, j3) и угловой скорости (а, т, n) зависит от вида опорной поверхности S и ее движения. В частности, при катании тела вращения по опорной сфере (фиг. 1) они определяются формулами (1.4), (1.5).

Уравнения движения несущего тела вращения с осью динамической симметрии Oz,

ограниченного сферой, если оно несет ротор с осью Oz (rC = 0, Qr = Mr* = 0) ([9], с. 81, 159), а центр инерции O системы, вообще говоря, не совпадает с геометрическим центром сферы, при катании по любой движущейся поверхности S будут (см. [3], с. 892, формулы (1.2), (1.4), (1.5))

—— + (т + й)— - (n + úcosu)— - MlRxúsin и + dt да dn дт

+ Mj3 (Rsinu) и + M[(n% - as)j3 + т j = P¡

d д©' д©' д©' --© + (n + и cos й) д©— (а - úsinu)-©- + MlRTÜsinü -

dt дт да -п

- MjRu + M[-xj - TEjs] = P (1.6)

— d®L + (Ст_ ц)sin u)^ _ (t + tí)?® + dt dn дт да

+ MR(R + lcosu)(üa + úrsinu) + MlRunsinu _ _ Mji(Rsin u)ú + Mj2Rй + M[Tsj2 _ ( _ ü£) j'i] = P

Общие уравнения (1.6) верны и для рассматриваемой опорной сферы, выражения для

компонент скоростей а, т, n и ji, j3 здесь даны формулами (1.4), (1.5), P3', р, P¡ — обобщенные силы.

Уравнения (1.5) вместе с уравнениями движения (1.6), (1.9) есть искомые уравнения задачи о катании несущего тела вращения.

Если, в частности, центр инерции системы O совпадает с геометрическим центром сферы, то выражение кинетической энергии системы ©' есть [8]

20 = (MR2 + A)(<<2 + т2) + An + (C - A)(-osinu + ncosu)2 + 2ю • KO + 2Tr 2©" = Mj2 - 2M[o(-Ej2) + T(Eji)], 0' = 0 + 0'' .

Если ([8], с. 46) к несущему телу присоединены m роторов (однородные тела вращения с осями симметрии Ckzk) и роторы вращаются вокруг неподвижных в несущем те-

ч k .k /.k - - -

ле осей Ckz с угловыми скоростями ю k = р k i3 (i3 = aikii + a2k i2 + a3k i3, Ck — момент инерции ротора относительно Ckzk), то выражения для производной главного момента относительных количеств движения и кинетической энергии Tr

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»