ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 531.38
© 2014 г. Г. В. Горр, А. И. Синенко
О КИНЕМАТИЧЕСКОМ ИСТОЛКОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Предложено кинематическое истолкование движения твердого тела с неподвижной точкой с помощью качения подвижного годографа, который описывает на эллипсоиде инерции вектор, коллинеарный вектору угловой скорости тела, по неподвижному. На его основе получена интерпретация движения тела в решениях В.А. Стеклова, Д. Гриоли, А.И. Докшевича, Д.К. Бобылева — В.А. Стеклова. Приведена новая формула, указывающая связь между углом прецессии и полярным углом уравнений неподвижного годографа, указанных П.В. Харламовым.
В динамике тяжелого твердого тела с неподвижной точкой изучение свойства движения тела изучают в два этапа: 1) строится аналитическое решение уравнений Эйлера—Пуассона, 2) дается кинематическое истолкование движения тела с помощью различных методов. На важность второго этапа указывал Н.Е. Жуковский [1].
Один из наглядных методов кинематического истолкования движения тела — метод годографов, основанный на теореме Пуансо [2] о представлении движения тела качением без скольжения подвижного годографа угловой скорости по неподвижному годографу. Истолкование Пуансо движения тела в случае Эйлера посредствам качения эллипсоида инерции по неподвижной в пространстве плоскости стало классическим примером наглядности в описании движения и поэтому приводится во всех книгах по теоретической механике. В обзорной монографии [3] отмечен вклад и других ученых (Сильвестра, Якоби, Мак-Кулага, Дарбу, Гесса, Жуковского) в развитие геометрических методов интерпретации движения тела.
Теорема Пуансо нашла широкое применение в прямом истолковании движения тела после того, как П.В. Харламов [4] предложил новые уравнения неподвижного годографа. На основании этих уравнений к настоящему времени получена значительная информация о свойствах движения тела в частных случаях интегрируемости [5—7].
Был предложен [8] новый подход в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой. Показано, что движение тела в общем случае можно представить посредством качения без скольжения подвижного годографа вектора коллинеарного вектору угловой скорости, по неподвижному годографу этого вектора, лежащему в некоторой плоскости в пространстве, т.е. был получен [8] некоторый аналог истолкования движения тела, предложенного Пуансо. Следует отметить, что в отличие от случая Пуансо, в котором эллипсоид инерции касается неподвижной плоскости, в случае указанного выше аналога [8] подвижный ак-соид вектора пересекает эту плоскость.
Ниже в развитие полученных ранее результатов [8], рассматривается кинематическое истолкование движения тела, основанное на качении без скольжения годографа вектора принадлежащего эллипсоиду инерции, по неподвижному годографу этого вектора. Это позволяет проследить за движением эллипсоида инерции тела в неподвижном пространстве для решений уравнений Эйлера—Пуассона и получить дополни-
тельную информацию о свойствах движения тела в общем случае, поскольку за основу принимается единая модель истолкования движения тела.
1. Постановка задачи. Метод истолкования движения. Движение тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку описывается уравнениями
Лю = Люх ю + Г(е х v), v = v х ra (1.1)
где ю = (юь ю2, ®з) — вектор угловой скорости тела, v = (vb v2, v3) — единичный вектор, указывающий направление силы тяжести, A — тензор инерции в неподвижной точке, Г — произведение веса тела и расстояния от неподвижной точки O до центра тяжести тела C, е = (e1, e2, e3) — единичный вектор, направленный из O в C. Точкой над переменными обозначается производная по времени t. Уравнения (1.1) имеют интегралы
Лю -ю- 2Г(е • v) = 2E, v • v = 1, Лш ■ v = k (1.2)
где E и k — произвольные постоянные.
С телом свяжем систему координат Oxyz с ортами i1, i2, i3, а в неподвижном пространстве введем систему координат O^nZ с ортами э1, э2, э3 = v.
Пусть в результате интегрирования уравнений (1.1) с интегралами (1.2) найдено решение
3 3
ш(0 = X®j(t)ij, v(t) = XVj(t)ij, t e [0, ю) (1.3)
j=i J=i
Вектор-функция ra(t) описывает подвижный годограф вектора угловой скорости. Уравнения П.В. Харламова имеют вид [4]
3 3 t
4(t) = X ®j(t)v J (t), ®2p(t) = X ®2(t)(t); a(t) = hH® • (V x ™))dt (1.4)
j=1 J=1 to ®p(t)
Тогда неподвижный годограф угловой скорости определен вектор-функцией
ra(t) = ro^t^ + юп(0э2 + )э3 (1.5)
©^(t) = ©p(t)cos a(t), ©n(t) = ©p(t)sin a(t) (1.6)
Функция ©^(t) задана первой формулой из системы (1.4). Если через Q0 обозначить начальную точку (при t = t0) на подвижном годографе, а через Q0 — на неподвижном годографе и Q* — точку касания годографов, то из равенства абсолютной и относительной производных d ю/dt = d' ю/dt следует, что uQ 0Q* = uQ 0Q*. Из последнего равенства и вытекает теорема Пуансо о том, что движение тела воспроизводится качением без скольжения подвижного годографа угловой скорости по неподвижному годографу.
Введем в рассмотрение вектор [5, 8]
b(t) = b(t)w(t) (b(t) > 0) (1.7)
На основании условия db(t)/dt = db' (t)/ dt, вытекающего из равенства (1.7) следует, что подвижный и неподвижный годографы вектора b(t) имеют общую касательную, а длины дуг, описанных за одинаковой промежуток времени концом вектора b(t) на подвижном и неподвижном годографах равны. Движение тела с неподвижной точкой может быть представлено качением без скольжения подвижного годографа вектора b(í) по неподвижному годографу этого вектора.
Ранее [8] было принято, что —b(t) = ю-1 > 0)• В силу равенств (1.5) и (1.7) неподвижный годограф вектора b(t) определяется вектор-функцией
b(t) Э1 Э2 + эз (1.8)
Подвижный годограф вектора b(t) найдем из первой формулы системы (1.3):
з
b(t) =-J7) Z ^(t)í j (1.9)
®C(t) j=i
Движение тела воспроизводится качением годографа (1.9) по годографу (1.8). Поскольку годограф (1.8) лежит в плоскости, то достигается определенная наглядность в восприятии движения тела.
В данной статье в основу интерпретации движения тела с неподвижной точкой положен годограф вектора b(t), конец которого принадлежит эллипсоиду инерции тела. Обозначим через A1, A2, A3 главные моменты инерции тела. Запишем уравнение эллипсоида Пуансо
Aix2 + A2 y2 + A3Z 2 = ^2 (1.10)
2
где х, y, z — координаты точек, принадлежащих эллипсоиду, с0 — постоянная. Пусть вектор b(t) в подвижном базисе имеет разложение
з
b(t) = Z bj (t)i j (1.11)
j=1
Для нахождения функции b(t), входящей в равенство (1.7), подставим в соотношение (1.10) вместо х, y, z величины b¡(t) = b(t)(o¡(t) соответственно. Тогда
b(t) = , 2 °02 2 (1.12) М® (t) + A2®2(t) + A3®3(t)
и в силу соотношений(1.7) и (1.11) подвижный годограф вектора b(t) найдем в виде b(t) = b(t)(®1(t)Í1 + ®2(t)i 2 + ®3(t)i з) (1.13)
а неподвижный годограф — в виде
b(t) = b(t)(rap(t)cos a(t)э1 + rap(t)sin a(t)э2 + юс (t)э3) (1.14)
Движение тела будем воспроизводить качением годографа (1.13) по годографу (1.14). 2. Связь полярного угла a в уравнениях П.В. Харламова с углом прецессии. В ряде случаев для представления движения тела удобно использовать углы Эйлера. Например, интерпретация движения тела в случае его прецессии [9] сводится к суперпозиции двух вращений вокруг соответственно подвижной и неподвижной осей.
Пусть 0 — угол между векторами i3 и v, Ф — угол собственного вращения вокруг вектора i3, ^ — угол прецессионного вращения вокруг v. Тогда имеем соотношения
ю1 = i sin 9 sin ф + 9 cos ф, ю2 = i sin 9 cos ф-9 sin ф, ю3 = i cos 9 + ф (2 1)
v1 = sin 9 sin ф, v 2 = sin 9 cos ф, v 3 = cos 9
Подставим выражения (2.1) в последнюю формулу системы (1.4) и используем инвариантную запись полученного результата
tg(tt-v) = 5 W) Х v(t)) •(v(t) Х1 3) (2.2)
(<o(t) xv(t)) • 1з
где 8 = 0, если угол 0 постоянный, и 8 = 1, если 0 ф const. Из формул (2.1) найдем
t
0/-л t и\ - \ us + V(t) • ii „ г(ю(т) X i3) • (v(t) X i3)dT /0
9(t) = arccos(v(t) • i3), 9(t) = arctg^^—L, y(t) = —'—-— (2.3)
v(t) • i 2 (v(t) x i 3)2
t0
Следовательно, при прецессии (0 = const) угол а совпадает с углом прецессии, а в общем случае имеем конечное соотношение между a(t) и .
Формула (2.2) позволяет для угла а из системы (1.4) использовать соотношение
t
a(t) = V(t) + Fi(t), ¥(t) = {F2(T)d т (2.4)
t0
где Fi(t) — правая часть равенства (2.2), F2(t) — подынтегральное выражение в третьей формуле (2.3), которое в отличие от соотношения для а из системы (1.4) не содержит производных от вектора ra(t). Это значительно упрощает нахождение функции a(t) и позволяет к вопросу об интерпретации движения тела подходить комплексно, т.е. использовать и теорему Пуансо, и углы Эйлера.
3. Решение Стеклова [10]. Решение Стеклова уравнений Эйлера — Пуассона (1.1) получено при e3 = e2 = 0 и имеет вид [11]
©2 = ©2 + 2A5-s ~ Ai H, s = 2,3
A S 2As - Ai i (Ai - A2)(Ai - A3)
Vir = Ai(Ai - A2)(Ai - A3) ©2 + H (2A2 - Ai)(2A3 - Ai)
(Ai - A2)(Ai - A3)©© ( . )
V Д =——-:—©i©s
2A5-s - Ai
A2 - A3
(0 i = —-3 Ю2Ю3
A1
где H = ±Г, Ai — главные моменты инерции тела.
Для примера рассмотрим случай H = -Г. Запишем решение Стеклова (3.1) в виде [11]
©i = Piocnxt, Ю2 = -ftosnxt, = P3odnx t; ki = Jf—^ (3.2)
\b - c
где
pi0 = p30Vi - 2c, p20 = -i——-, p30 =
0 \(i - c)(b - i)(b - c)
1 A2 A3 X =-, b = —, c = —
\(i - c)ki Ai Ai
2b - i
(i - c)2(b - i) (3.3)
2 Прикладная математика и механика, № 3
Следовательно, решение Стеклова выражается эллиптическими функциями Якоби (3.2), модуль которых ky определен последним равенством (3.2). Величины p10, p20, P3o характеризуют вид подвижного годографа (3.2).
Неподвижный годограф вектора угловой скорости выражается по формулам [11]
ю^ = P3odnx?, юц = P2osnxt, юс = -Р10сп1г (3.4)
Было дано [11] истолкование движения гироскопа Стеклова с помощью метода годографов, движение этого гироскопа было представлено [8] качением без скольжения векторов
b(t) = ^ ii - М i2 + P30i3
dn%? dnx?
b(t) = P3031 + э2 - ^ эз
dnxt dnxt
и показано, что обе указанные кривые — эллипсы. Это истолкование движения представле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.