научная статья по теме О КОЭФФИЦИЕНТЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «О КОЭФФИЦИЕНТЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ»

ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 144-151

== НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

УДК 629.05

О КОЭФФИЦИЕНТЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ*

© 2007 г. Л. П. Барабанова

Ковров, Ковровская государственная технологическая академия им. В.А. Дегтярева Поступила в редакцию 12.05.06 г., после доработки 09.08.06 г.

Обсуждается коэффициент чувствительности как обобщение понятия геометрический фактор в навигации. Получена формула зависимости коэффициента чувствительности измерительной системы в терминах исходных уравнений. На примере дальномерной навигационной системы с избыточным числом измерений представлен анализ оптимального конфигурирования измерительной системы с помощью матриц Колмогорова - Мальцева.

0. Введение. В практике современных навигационных систем [1], [2] и др. устойчивое употребление получил термин геометрический фактор. Под ним понимается коэффициент, связывающий ошибку однородных измерений со среднеквадрати-ческой ошибкой (СКО) итогового позиционирования объекта. В зависимости от размерности задачи определения местоположения используют различные типы геометрических факторов для одной и той же навигационной системы [1]. С математической точки зрения, каждый из этих коэффициентов регистрирует трансляцию случайной ошибки правой части некоторой нелинейной системы уравнений в ошибку искомой векторной величины. Для дально-мерных и разностно-дальномерных навигационных систем значение любого из таких коэффициентов зависит в первую очередь от взаимного расположения объекта и маяков-излучателей сигнала или маяков-ответчиков. Поэтому употребление слова геометрический для соответствующего фактора здесь абсолютно оправдано. С другой стороны, навигационные системы являются частным случаем измерительных систем. Создание и исследование виртуальных (косвенных) средств измерений объявлено в бюллетене ВАК РФ (№ 5. 2004) одним из приоритетных направлений метрологической науки. Во многих случаях виртуальные средства измерений приводят к системе нелинейных уравнений, не имеющей непосредственного геометрического смысла, как, например, в случае электрических цепей. При этом вопрос влияния ошибки измерений (правой части системы) на искомый столбец неизвестных является не менее важным, чем для навигационных систем. Поэтому вместо термина геометрический фактор предлагается термин коэффициент чувствительности измерительной системы. Таким образом, сама практика применения современных навигационных систем типа GPS, ГЛОНАСС [1]

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект < 05-08-50076).

заставляет ввести в употребление новое понятие общематематического смысла.

Классической альтернативой понятию коэффициента чувствительности является число обусловленности линейной алгебраической системы [3]. Принципиальное их различие заключается в учете случайных факторов, характерных для любой измерительной системы. Кроме того, число обусловленности обеспечивает связь относительных, а коэффициент чувствительности - абсолютных ошибок. Очевидно, что рано или поздно под тем или другим названием предлагаемое понятие войдет в инженерную и научную практику (в [4], кстати, предлагалось название "передаточный коэффициент точности").

При анализе коэффициента чувствительности возникают два принципиальных случая:

когда он равен бесконечности, что нежелательно [5], [6];

его значение минимально, что желательно [4], [7].

В [4], [7] был исследован вопрос о минимизации коэффициента чувствительности разностно-дальномерной навигационной системы типа GPS, ГЛОНАСС с минимальным числом измерений. В настоящей работе представлен анализ коэффициента чувствительности произвольной измерительной системы с избыточными измерениями, для простоты разбитый на два случая: линейный и нелинейный.

Следует отметить, что критерий коэффициента чувствительности измерительной системы и А-критерий в теории оптимального эксперемента [8] отличаются только интерпретациями. Всюду ниже под I понимается стандартное пространство с каноническим скалярным произведением.

В качестве модельного примера в статье рассматривается следующая задача.

Пример 1. Дана дальномерная навигационная задача

|х - а}\ = , j = 1, ..., N С, = с?' 0„, (0.1)

где aj е К" - известные местоположения маяков, tj - непосредственные измерения дальностей, х е К" - искомое местоположение объекта, N > п (наиболее интересны случаи п = 2, 3), С{ - ковариационная матрица случайного столбца t е [К', 'Од, -единичная матрица размера N х Д, 0 < с, - СКО отдельного измерения tj.

1. Коэффициент чувствительности линейной стемы. Пусть наблюдаемый или первично измеряемый столбец t е Кд и искомый или вторично измеряемый (косвенно измеряемый) столбец х е К" связаны соотношением с безошибочно заданной постоянной матрицей

х = Wt. (1.1)

Считается известной ковариационная матрица

С, = с^'О (1.2)

столбца t, в которой с, - некоторый параметр рассеяния физически однородного столбца t, а '0 -единичная матрица размера N х N. Общий случай с произвольной ковариационной матрицей С, легко сводится к данному (см. [8]).

Пусть Дt = t - М, Ах = х - Мх, где М - оператор математического ожидания. По определению СКО искомой величины х является

с х = Ы (А х )2,

В зависимости (1.1) в силу линейности математического ожидания

Мх = WMt.

Ковариационная матрица Сх столбца х или, что то же самое, столбца Дх = х - Мх, есть

Сх = М (А х (Дх )т) = М( Ж А, (А, )т Жт) =

= с жс,ж\

где (-)т - операция транспонирования матрицы. Отсюда при (1.2) получим

с2 = 1г( ЖЖТ )с),

где tr обозначает след матрицы, т.е. сумму элементов на главной диагонали.

Определение 1. Коэффициент чувствительности линейного преобразования (1.1) есть

к = ТйЖЖ) = (1.3)

»]

При N = п коэффициент чувствительности (1.3) совпадает с нормой Фробениуса матрицы W[3], [7].

Так определенный коэффициент K обеспечивает точную формулу для линейного преобразования (1.1):

Ох = Ka.

Чаще всего работа измерительной системы сводится к разрешению уравнения

Dx = t, Ct = a?' D N, (1.4)

где D - точно известная матрица размера N х n, N > > n, t е [N - непосредственно измеряемый столбец с

ковариационной матрицей Ct = a?' D N, x е [n - искомый столбец.

Заведомо считаем, что система (1.4) - полноранговая, т.е.

rank D = п

(в противном случае K = ^ и результат работы измерительной системы следует считать несостоятельным).

Метод наименьших квадратов (МНК) [9] разрешения (1.4) состоит в МНК-оценке

x = VDTt, (1.5)

где

V = (DTD)-1. (1.6)

При этом ковариационная матрица столбца x при Ct = a?' D N, есть

Cx = a?V. (1.7)

Определение 2. Коэффициент чувствительности системы (1.4)

K = JtrV. (1.8)

2. Коэффициент чувствительности нелинейной системы. Обратимся к исходной формулировке принципа наименьших квадратов, сразу предназначенного Лежандром для нелинейного случая. Современные нелинейные системы косвенных измерений являются результатом продуктивной работы многих поколений инженеров и поэтому опираются на высокоточные прямые измерения. Если к тому же математическая модель, принятая для описания системы косвенных измерений, гладкая, то удачным образом открывается возможность применения старомодного, но в силу высокоточности эффективного способа обработки данных через линеаризацию исходной нелинейной модели. Таким образом, вся линейная теория преобретает реальный смысл.

Итак, дана система условных уравнений

F(x) = t, Ct = a?'D n , (2.1)

где F: [n —► [N - некоторое гладкое отображение, N > п. Столбец t е [N является непосред-

ственно измеряемым, столбец х е К" - искомым. Общий случай с произвольной ковариационной матрицей Сг столбца г стандартным образом приводится к принятому умножением системы уравнений (2.1) на С-1/2.

Метод наименьших квадратов состоит в замене (2.1) на экстремальную задачу

(F(x) - t)2

min.

(2.2)

Решение х экстремальной задачи (2.2) называется МНК-решением условной задачи (2.1) или МНК-оц&нкой неизвестного столбца х.

Практический смысл МНК-оценка имеет только при условии несмещенности [10] прямых измерений

F(x) = Мг (2.3)

или хотя бы

F(x) - Мг,

где х - точное значение неизвестного столбца.

Для полноты изложения заметим, что минимум в (2.2) может и не достигаться, как, например, в случае уравнения ех = 0. Такую ситуацию в работе конкретной измерительной системы следует рассматривать как аварийную, свидетельствующую о том, что, скорее всего, измерительная система неправильно сконструирована.

Далее будем считать, что МНК-решение х существует. Тогда в силу гладкости F по правилу Ферма

((F(х) - X)2)Х = 0. (2.4)

Следуя принципам многомерного дифференцирования

((¥(х) - X)2)' = 2(F(х) - X(х).

Подстановка в (2.4) и последующее транспонирование даст аналог нормальной системы из линейной теории МНК

(F (X))Т F (X) = (F( X ))T t.

(2.5)

Второй, обязательной, частью выступает оценка точности этой процедуры. Классическая методика, родоначальником которой является, без сомнения, Гаусс [10], опирается, по сути, на волевой принцип, предполагающий сведение анализа точности к исследованию рассеяния решения линеаризованной (с центром в МНК-оценке) задачи. Такой подход маскирует смещенность, вызванную нелинейностью, но очень прост опе-рационно.

Согласно сформулированному принципу, имеем

F( X) dx = dt, Cdt= Ct = a

>t UN-

Тогда

Таким образом, где

Cx = Cdx.

2/ гчТ „.-1

Cx = a2 (D D) ,

D = F(х). (2.6)

Также, согласно сформулированному принципу, определяется коэффициент чувствительности К задачи (2.1).

Определение 3. Коэффициент чувствительности К нелинейной системы (2.1) есть

K = JtrV,

где

(2.7)

Это система размерности п х п, но, как видим, -довольно сложной структуры.

Если к (2.5) применить метод Ньютона, то возникнут производные второго порядка. В этом нет ничего опасного, но шаг итерационного процесса становится весьма громоздким. Может быть поэтому более популярен метод Гаусса-Ньютона вместе с его модификациями [8, с. 197-199], который также использует линеаризацию, но не в (2.5), а в невязке под квадратом (2.4). Это позволяет воспользоваться линейной теорией МНК, вернее - нормальной системой линейных алгебраических ур

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком