ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 5, с. 903-922
УДК 519.634
О КОЛЕБАНИЯХ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ ЕЕ СВОБОДНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ДВИЖУЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ1-*
Исследуется распространение малых возмущений в слабо стратифицированной невязкой вращающейся с постоянной угловой скоростью жидкости, заполняющей нижнее полупространство. Возбуждающим источником является плоская волна, бегущая по свободной поверхности жидкости. Строится явное аналитическое решение задачи, обосновывается его существование и единственность, изучается волновая картина, складывающаяся в жидкости при больших временах. Библ. 8.
Ключевые слова: стратифицированная жидкость, частота вращения жидкости, функция тока, внутренние волны, поверхностные волны, уравнение гидродинамики.
Рассмотрим стратифицированную несжимаемую невязкую жидкость, заполняющую неограниченное снизу полупространство со свободной верхней поверхностью. Известно, что направление стратификации жидкости перпендикулярно ее горизонтальной верхней границе и сама жидкость находится в состоянии равномерного вращения вокруг некоторой оси, тоже ортогональной свободной поверхности полупространства. Свяжем жестко с жидкостью декартову систему координат (хх, х2, х3), при этом ось Ох3 расположим так, чтобы она совпадала с осью вращения, а значит, и плотность жидкости в стационарном состоянии будет изменяться только в этом же вертикальном направлении. Будем изучать малые двумерные движения жидкости, при которых все функции, описывающие процессы, не зависят от одной из пространственных переменных, например от х2. Согласно выбранной модели, угловая скорость вращения жидкости направлена вдоль оси Ох3 и вектор Кориолиса имеет вид а = {0, 0, а}, где а - удвоенная частота вращения жидкости.
Чтобы учесть вторую силу, действующую на частицы жидкости, обусловленную увеличением плотности среды с глубиной, введем в рассмотрение величину щ (х3) = р0 (х3)/р0(х3), называемую квадратом частоты Вейсяля-Брента. В ней р0(х3) - плотность жидкости в невозмущенном состоянии, g - ускорение свободного падения. Для сориентированной указанным образом системы координат (хх, х2, х3) уравнения гидродинамики принимают вид
© 2007 г. Л. В. Перова
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) Поступила в редакцию 14.12.2006 г.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
(1.1)
= 0,
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00-122).
^ + ^ = 0
Эх, д х3
где ^(х^ х3, t), ■ = 1, 2, 3, - компоненты вектора скорости частиц жидкости V = {v2, Р(х^ х3, ^ -давление, р1(х1, х3, t) - изменение плотности, вызванное движением жидкости, остальные величины были введены выше.
Отметим, что вторая составляющая вектора скорости v2(x1, х3, 0 определяется из второго уравнения (1.1) через первую компоненту у1(х1, х3, t) по формуле
v2(x1, x3, t) = a J vj(x1, x3, t)dT + v2(Xj, x3, 0).
0
Для того чтобы поставить начально-краевую задачу, нужно замкнуть систему уравнений (1.1) граничными и начальными условиями. На свободной поверхности, как и в [1], [2], записываются кинематическое и динамическое условия
Ро(0)£хь t) + Ро(хь t) = р(хь t)|г,
ЭЕ (1.2)
(х1, t) = Vз(х,, t)|г,
где Е(х1, t) - функция, описывающая возвышение свободной поверхности над невозмущенным уровнем х3 = г(х1, х2) = 0, р0(х1, t) - заданное внешнее давление, Г - верхняя граница области.
Поскольку другие границы у нижнего полупространства отсутствуют, то при х3 —«- нужно будет позже уточнить условия, обеспечивающие затухание колебаний на бесконечности.
Начальные условия выберем нулевыми.
При исследовании задач гидродинамики обычно бывает удобно заменить решение начально-краевой задачи для векторной системы уравнений с несколькими функциями изучением начально-краевой задачи относительно одной скалярной величины, но уравнение для нее будет иметь более высокий порядок. Для этого перехода исключим из системы (1.1) функции v2(x1, х3, р1(х1, х3, 0 и р(х1, х3, 0, а для оставшихся двух составляющих скорости v1(x1, х3, 0 и v3(x1, х3, 0 введем скалярную функцию трех переменных ^(х1, х3, 0, называемую функцией тока, связанную с указанными компонентами двумерного вектора скорости V = {у1, соотношениями
{ V1, Vз } = (Ух3, -Ух, } . (1.3)
После несложных стандартных преобразований, как, например, в [1]-[4], система уравнений гидродинамики (1.1) сводится к двумерному уравнению гравитационно-гироскопических волн
д.
Э t2
дч 1роЭх0< Kt
2 д2 w , 2 Э ( ЭуЛ
р0»0 ЭХ2+«эх; lp0 dXJ = 0. (L4)
Аналогичные преобразования и подстановку новой функции у(х1, х3, t) нужно произвести и в условиях на свободной поверхности (1.2), при этом получатся следующие граничные условия для функции тока:
2
Э2
— w + a Vх3- gVX, X, dt
1 Э2 p
р0( 0 )Э t Э х1
(1.5)'
Заметим, что уравнение (1.4) помимо неизвестной функции у(хь х3, t) содержит считающуюся заданной функцию р0(х3), описывающую стационарное распределение плотности. В настоящей задаче вид стратификации жидкости известен - она является экспоненциальной: р0(х3) = A ехр(-2вх3), где в - параметр стратификации. При этом ценно, что частота Вейсяля-Брента, вычисленная по
формуле ®2 (х3) = -g р0 (х3)/р0(х3) = 2Pg, оказывается постоянной величиной. Рассмотрим в данной работе случай слабой стратификации жидкости, носящей название математической модели жидкости в приближении Буссинеска. Это предполагает, что входящая в уравнение стационарная плотность р0(х3) может быть заменена на постоянную величину р0 = const, равную средней стационарной плотности, но при расчете частоты Вейсяля-Брента зависимость плотности невозмущенной жидкости от координаты х3 принимается во внимание.
г
г
Итак, после сокращения упрощенного уравнения (1.4) на константу р0 дифференциальное уравнение, которое нам предстоит решать, выглядит так:
72 (^ х, + ¥х3х3) + «0^ х, + а2¥х3 х3 = 0. (1.6)
дt
Уточним граничные и начальные условия для функции тока. Как уже отмечалось, мы предполагаем, что до момента времени t = 0 жидкость покоилась, поэтому для функции тока ставятся нулевые начальные условия:
х,, Хз, 0) = ^(х,, Хз, 0) = 0. (1.7)
Затем по свободной поверхности побежала плоская периодическая волна, она описывается функцией аргумента (хх - с0, значит, и давление на верхней границе изменяется по такому же закону. Это позволяет конкретизировать вид правой части граничных условий (1.5)':
Э2 ^ 2 —у + а у - g у
д t
= f( xx- ct)n( t) + C (t), (1.5)
где n(t) e C02) [0, +~), n(0) = n'(0) = 0, 3T : n(t) s 1, t > T, a функцияf z) e C(2)(R1) и имеет период 2п, т.е. Va : fa) = f(a + 2nk), k e Z, C(t) - функция, подлежащая определению.
Требования отсутствия источников на бесконечности выберем в виде ограничения
\DktDl у( x, x3, t)\\ < B(t) exp (5 x3), k = 0, 1, 2, p = 0, 1, j = 1, 3, 0 <5< 1. (1.8)
' j '1x2 ^
Наконец, поскольку единственный источник, возбуждающий возмущения, - это плоская волна, имеющая период 2п, то и решение должно обладать таким же периодом по переменной xx:
DkDPy(xls Хз, t)| = DktDPp,у(xls Хз, t)| Va, k = 0, 1, 2, p = 0, 1, j = 1, 3. (1.9)
j Х! = a j Х! = a + 2n
Сформулируем задачу.
Задача А. Найти при t > 0 в полупространстве О = < x1 < x3 < 0} непрерывную вместе с входящими в условия частными производными 2п-периодическую по переменной xx функцию y(xj, x3, t), удовлетворяющую в классическом смысле уравнению (1.6) в открытой области О, а также системе граничных условий (1.5), начальных условий (1.7) и требованиям регулярности на бесконечности (1.8). Определить функцию C(t) из граничных условий (1.5).
г
2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ
И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Используем для построения решения задачи А широко распространенный метод Фурье, а именно: опираясь на условие 2п-периодичности по переменной х1 (см. (1.9)), будем искать решение в виде ряда
+ ^ + ^ ¥(х,, хз, t) = ^ ехр(тхх)у„(хз, t)= ^ у„(хь хз, t), (2.1)
п = —^ п = —^
в котором vn(x3, t) - не известные пока функции. Построение решения задачи А заключается в их определении.
Чтобы получить задачи для функций vn(x3, 0, подставим ряд (2.1) в уравнение (1.6), начальные условия (1.7) и условия (1.8) при х3 —► При этом формально проводится почленное дифференцирование ряда, возможность которого будет обоснована позже в теореме существования. Каждая из счетного числа задач для ^(х3, 0 выглядит следующим образом:
-71 [( Уп)хзхз- П Vп] - «0п Vп + а2( Vп)хзхз = 0 Ot
vn\ = (vn VI = 0,
n\t =0 4 n/t\t =0
V„(Хз, X)|
<В(X)ехр(5х3), к = 0, 1, 2, р = 0, 1, 0 <5< 1.
Заметим, что решение задачи для п = 0 находится сразу, так как функцией, удовлетворяющей соответствующему уравнению и всем условиям, может быть только ноль:
Vo(Хз, X) = 0.
(2.2)
Для остальных номеров п Ф 0 воспользуемся стандартной методикой построения решения подобных задач (см. [3]-[5]), заключающейся в перемещении в пространство лаплас-образов искомых функций при проведении преобразования Лапласа по переменной X. В этом пространстве образуется задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, решение которой, согласованное с требованиями регулярности на бесконечности, имеет вид
Vn (Хз, р) = Сп (р) ехр
где Сп(р) - зависящая от параметра р константа из общего решения.
Обратимся к не использованным пока граничным условиям на свободной поверхности жидкости (1.5). Проведем для них преобразование Лапласа и подставим в результат выражение ^(х3, X) при х3 = 0. В итоге придем к лаплас-образу каждой гармоники фп (хх, х3, р), т.е. каждого члена ряда (2.1) решения задачи А.
Договоримся далее вместо записи трех переменных функций (хь х3, р) объединять две пространственные компоненты хь х3 в один символ х без индекса, т.е. указывать аргументы так: (х, р). Итак:
Vп ( Х р ) =
фп ( р )
(р2 + а2) |п| [(р2 + ®2)(р2 + а2) 1 ]1/2 + 5п2
ехр
тх
п Ф 0.
Как видим, теперь роль неопределенной константы Сп(р) из общего решения задачи Коши стала играть функция фп(р).
Следующим шагом построения решения задачи А является преобразование выражения для ф п (х, р) к такому виду, чтобы стало возможным возвращение из пространства лаплас-образов в пространство ориги
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.