научная статья по теме О КОЛЛАПСЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Математика

Текст научной статьи на тему «О КОЛЛАПСЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 421, № 2, с. 177-180

ФИЗИКА

УДК 539.12.01

О КОЛЛАПСЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

© 2008 г. Академик С. С. Герштейн, академик А. А. Логунов, М. А. Мествиришвили

Поступило 18.03.2008 г.

Основные уравнения Гильберта-Эйнштейна для гравитационного поля имеют вид

rHV 1 = кТM.V, к =8кО. (1)

2 c

Рассмотрим массивный (M > 3M0) холодный нестатический сферически-симметричный источник. Он будет описываться интервалом

ds2 = U(t, r)dt2 - V(t, r)dr2 - r (dQ2 + sin2 Qdф2) .(2)

Мы положили c = 1.

Гильберт в статье [1], исходя из псевдоримано-вой геометрии и причинности, ввел общие требования на метрические коэффициенты, удовлетворяющие уравнениям (1). В нашем случае для интервала (2) они определены неравенствами

U > 0, V > 0. (3)

Первое неравенство исключает возможность остановки гравитационным полем течения времени. Вводя представления

U (t, r) = e

v(t, r)

V (t, r) = e

x(t, r)

на основании (1) получим для интервала (2) следующие уравнения Гильберта-Эйнштейна [2, 3]:

-л -xív 1 к T1 = - e I - +

1

+ -2'

к T2 = к T3 = -e"

xí V Xv

2

V

2-Т+4 +

2

V-X'

"27

+

-ví X XX XX V +e 12 +X"-T

^o -xíxX 1 ^ 1 к To = e I----I +

2

Институт физики высоких энергий, Протвино Московской обл. Институт теоретических проблем микромира им. H.H. Боголюбова

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

-xX

к T 0 = -e -'

0 -vX к T1 = e -, 1r

дХ ' дх ... ...

где Х = --г- , Х = -■—. Уравнения (4) справедливы ш д г

как в вакууме, так и в веществе.

Метрические коэффициенты и и V в соответствии с физическими требованиями мы будем относить к классу С3, т. е. они обладают непрерывными производными до третьего порядка включительно внутри вещества и вне его, а в окрестности границы они относятся к классу С1 [4].

Поскольку в вакууме все компоненты тензора энергии-импульса вещества равны нулю, то имеем

X = 0.

(5)

Но при этом равенстве уравнения в вакууме для статического сферически-симметричного тела и нестатического сферически-симметричного тела точно совпадают, а следовательно, внешнее решение нестатического сферически-симметричного тела есть статическое решение Шварцшильда. Этот вывод установлен Биркгоффом и носит название теоремы Биркгоффа [2].

Таким образом, в вакууме имеем

Ясс = U = ev = = 1 - Г-, rg = 2 GM. (6)

Определим теперь физическую скорость пробного тела в псевдоримановом пространстве-времени. Интервал общего вида равен

(4) ds2 = g^v( x) dx^dxv. (7)

Это выражение можно записать в форме

ds2 = d т2- dl2, (8)

где физическое время dT и квадрат физического пространственного расстояния dl2 определяются выражениями

d т =

g o V d xv

"■ÍSoo

dl2 = к^х dx '

Kik = - gik +

goo

На основании (8) квадрат физической скорости пробного тела определяется выражением

2

V =

di d т

(9)

Величины йт и й1 не являются полными дифференциалами. Для статического гравитационного поля из уравнений геодезического движения имеем равенство [3, 5]

7g¡0 = const*/b-

(10)

Поскольку пробное тело обладает массой покоя, отличной от нуля, оно не может иметь скорость, равную скорости света, так как его энергия, равная

E =

m

JT-

(11)

V

(т - масса покоя пробного тела), была бы бесконечна, что недопустимо, поэтому в вакууме

goo > 0.

(12)

Таким образом, с учетом равенства (6) и неравенства (12) в вакууме справедливо неравенство

r > r„.

(13)

a(t) > rg

(14)

a(t) > rg

(15)

На основании изложенного следует, что общие требования Гильберта на метрические коэффициенты (3), которые возникают из свойств псевдоримановой геометрии и причинности, в соединении с равенством (11) и теоремой Биркгоф-фа исключают возможность коллапса нестатического сферически-симметричного тела независимо от величины его массы, а следовательно, "черные дыр ы" невозможны.

Теперь изучим характер внутреннего решения тела. Посмотрим, какие выводы следуют отсюда.

Интервал для массивного холодного нестатического сферически-симметричного тела запишем опять в форме

ds2 = U(t, r)dt2 - V(t, r)dr2 - r2(d92 + sin29dф2),(16)

согласно условию Гильберта

U > 0, V > 0.

Рассмотрение изменения гравитационного поля проведем в синхронной системе координат. Для этой цели совершим преобразования

dt = tdT + tdR, dr = rd t + rdR.

(17)

dr dr

десь и далее r = — , r = — . Подставляя эти вы-dT dR

ражения в (16) и накладывая условия

Отсюда следует, что радиус а(г) нестатического сферически-симметричного тела удовлетворяет неравенству

22

t U - r2V = 1, Utt = Vrr,

(18)

получим выражение для интервала в синхронной системе координат в форме

Это означает, что поверхность нестатического с ф е р и ч е ск и - си м м е т р и ч н о-го тела не может уходить под шварцшильдовскую сферу. Поскольку внутри тела и на его поверхности и и V, согласно условиям Гильберта (3), отличны от нуля и конечны, они должны быть сшиты с внешним решением Шварцшильда. Отсюда следует, что должно выполняться строгое неравенство для радиуса а(г) тела

ds2 = dт2- A(т, R)dR2-- r2(т, R)(d92 + sin29dф2).

(19)

Здесь йт и йЯ - полные дифференциалы. Функция

А(т, Я) = Vr2- иг2. (20)

Исключая с помощью (18) из А зависимость от пе-ц /

ременной г, получим А(т, Я) =

2

Vr 1 + V?"2

(21)

что находится в соответствии с теоремой Бирк-гоффа.

В книгах часто пишут, что в вакууме ничего особенного в точке г = гё не происходит, забывая при этом, что пробное тело, согласно (11), в этой точке получило бы бесконечную энергию, что физически неприемлемо. Именно поэтому сферическая поверхность г = гё не может быть в вакууме.

Уравнения Гильберта-Эйнштейна (1) для интервала (19) и компонент 00, 11, 22 имеют вид

A A +--------

4 A

8 A

= KP

= т

V

1- V

1

2 + 2

кр

V

L1- v

3" 2 + 2

(22)

2

2

+

О КОЛЛАПСЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

179

г

гА

Аг АГ А 2 + 2гА + 4А

_ кр _ 2

2гА

2

8 А

V

1-1- V

1

2 + 2

кр

V

2

-1 - V

(23)

г

--- +

Аг АГ 1

+ -;—т + -- -

га 2 га2 2га г2

' 2 .2

Г Г Г К , X А Ч

-т: + - + -_2(Р - р}-(24)

г А г ' а

Здесь V - физическая скорость радиального движения частиц тела относительно синхронной системы координат. Она определена равенством

V

2 _ А ГйЯП2

V й ту

Вычитая из уравнения (23) уравнение (24), получим

А_ 4А

_ КР

_ т

2

2

г

■ - 1 +

8 А2 г2 аг2 г2

2

Г Г

2

V

1-1- V

_ 1

2 2

+

кр

V

1-1- V

1

2 + 2-

(25)

Складывая уравнения (22) и (25) и учитывая (21), находим

0 .. V-1

-2 гг _ -+ к

V

Р + (Р + Р) -

V

2

1 - V

2

Г .

(26)

Из уравнения (26) следует, что в окрестности сферы Шварцшильда правая часть положительна, а следовательно, ускорение г сферической поверхности радиуса г(т, Я) при фиксированном значении Я отрицательно, что соответствует процессу сжатия. Отсюда следует, что в области г, близкой к сфере Шварцшильда, действуют только силы притяжения, которые исключают возможность остановки процесса сжатия.

Таким образом, из динамических уравнений Гильберта-Эйнштейна мы пришли к выводу, противоположному (15). Уравнения ОТО оказались неадекватны общим положениям Гильберта, следующим из псевдоримановой геометрии. Возникла ситуация, когда общие ограничения Гильберта (3) на метрические коэффициенты в соединении с равенством (11), полученным из геодезического движения, приводят к утверждению, что радиус нестатического сферически-симметричного тела всегда превышает радиус Шварцшильда, тогда как динамические уравнения Гильберта-Эйнштейна показывают, что гравитационные силы всегда остаются силами притяжения.

Согласно этим уравнениям холодное достаточно массивное тело, исчерпав ядерное горючее, под действием гравитационных сил притяжения

будет сжиматься: наступит коллапс. Возникло противоречие.

Гравитационный коллапс Уиллер рассматривал как "один из величайших кризисов всех времен" фундаментальной физики. Позднее в работе [6] отмечалось: "Неизбежен ли коллапс? Неизбежен, если только справедливы принципы, положенные в основу анализа. Решающую роль во всех рассуждениях играет предположение, что вызываемое массой-энергией искривление пространства описывается элементарным законом, выраженным уравнением (2) (под уравнением (2) имеется ввиду уравнение, из которого получается полная система уравнений Гильберта-Эйнштейна - авторы)". И далее отмечено: "Если кто-либо собирается отказаться от теории относительности, то здесь самое подходящее место сделать это".

Отсюда видим, что авторами [6] за основу выбраны уравнения Гильберта-Эйнштейна, которые, как видно из (26), приводят к процессу сжатия. Но такой выбор достигается в [6] только путем нарушения следующего фундаментального свойства псевдоримановой геометрии: пробное тело, обладающее массой покоя, отличной от нуля, не может иметь в гравитационном поле физическую скорость, равную скорости света с. Таким образом, коллапс и последующее образование черных дыр у авторов [6] возникли в нарушение ими фундаментального принципа теории относительности. Это означает, что совершается выход за пределы физической реальности.

Поскольку общее представление о том, что гравитация есть псевдориманова геометрия пространства-времени, более фундаментально, чем конкретные физические уравнения, то в данной ситуации, чтобы не нарушать фундаментальный принцип относительности, необходимо видоизменить уравнения ОТО, приведя их в соответствие со структурой псевдоримановой геометрии как основы гравитации.

Этот путь был осуществлен в релятивистской теории гравитации (РТГ) [7], в которой на основе общего положения, что все физические поля, в том числе и гравитационное, развиваются в пространстве Минковского, а источником является полный тензор энергии-импульса всех полей материи, включая и гравитационное поле, была получена полная система уравнений гравитационного поля и вещества, отличная от уравнений Гильберта-Эйнштейна.

Полная система общековариантных уравнений РТГ имеет вид

Яцу _ к(- 2^г) + т(^ - У^), (27)

_ 0.

(28)

2

2

+

2

2

Здесь (27) - уравнение гравитационного поля, (28) -уравнение движения вещества в гравитационном поле. Эта система уравнений может быть получена из принципа наименьшего действия. Решения уравнений (27) и (28) должны удовлетворять принципу

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»