ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 421, № 2, с. 177-180
ФИЗИКА
УДК 539.12.01
О КОЛЛАПСЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
© 2008 г. Академик С. С. Герштейн, академик А. А. Логунов, М. А. Мествиришвили
Поступило 18.03.2008 г.
Основные уравнения Гильберта-Эйнштейна для гравитационного поля имеют вид
rHV 1 = кТM.V, к =8кО. (1)
2 c
Рассмотрим массивный (M > 3M0) холодный нестатический сферически-симметричный источник. Он будет описываться интервалом
ds2 = U(t, r)dt2 - V(t, r)dr2 - r (dQ2 + sin2 Qdф2) .(2)
Мы положили c = 1.
Гильберт в статье [1], исходя из псевдоримано-вой геометрии и причинности, ввел общие требования на метрические коэффициенты, удовлетворяющие уравнениям (1). В нашем случае для интервала (2) они определены неравенствами
U > 0, V > 0. (3)
Первое неравенство исключает возможность остановки гравитационным полем течения времени. Вводя представления
U (t, r) = e
v(t, r)
V (t, r) = e
x(t, r)
на основании (1) получим для интервала (2) следующие уравнения Гильберта-Эйнштейна [2, 3]:
-л -xív 1 к T1 = - e I - +
1
+ -2'
к T2 = к T3 = -e"
xí V Xv
2
V
2-Т+4 +
2
V-X'
"27
+
-ví X XX XX V +e 12 +X"-T
^o -xíxX 1 ^ 1 к To = e I----I +
2
Институт физики высоких энергий, Протвино Московской обл. Институт теоретических проблем микромира им. H.H. Боголюбова
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
-xX
к T 0 = -e -'
0 -vX к T1 = e -, 1r
дХ ' дх ... ...
где Х = --г- , Х = -■—. Уравнения (4) справедливы ш д г
как в вакууме, так и в веществе.
Метрические коэффициенты и и V в соответствии с физическими требованиями мы будем относить к классу С3, т. е. они обладают непрерывными производными до третьего порядка включительно внутри вещества и вне его, а в окрестности границы они относятся к классу С1 [4].
Поскольку в вакууме все компоненты тензора энергии-импульса вещества равны нулю, то имеем
X = 0.
(5)
Но при этом равенстве уравнения в вакууме для статического сферически-симметричного тела и нестатического сферически-симметричного тела точно совпадают, а следовательно, внешнее решение нестатического сферически-симметричного тела есть статическое решение Шварцшильда. Этот вывод установлен Биркгоффом и носит название теоремы Биркгоффа [2].
Таким образом, в вакууме имеем
Ясс = U = ev = = 1 - Г-, rg = 2 GM. (6)
Определим теперь физическую скорость пробного тела в псевдоримановом пространстве-времени. Интервал общего вида равен
(4) ds2 = g^v( x) dx^dxv. (7)
Это выражение можно записать в форме
ds2 = d т2- dl2, (8)
где физическое время dT и квадрат физического пространственного расстояния dl2 определяются выражениями
d т =
g o V d xv
"■ÍSoo
dl2 = к^х dx '
Kik = - gik +
goo
На основании (8) квадрат физической скорости пробного тела определяется выражением
2
V =
di d т
(9)
Величины йт и й1 не являются полными дифференциалами. Для статического гравитационного поля из уравнений геодезического движения имеем равенство [3, 5]
7g¡0 = const*/b-
(10)
Поскольку пробное тело обладает массой покоя, отличной от нуля, оно не может иметь скорость, равную скорости света, так как его энергия, равная
E =
m
JT-
(11)
V
(т - масса покоя пробного тела), была бы бесконечна, что недопустимо, поэтому в вакууме
goo > 0.
(12)
Таким образом, с учетом равенства (6) и неравенства (12) в вакууме справедливо неравенство
r > r„.
(13)
a(t) > rg
(14)
a(t) > rg
(15)
На основании изложенного следует, что общие требования Гильберта на метрические коэффициенты (3), которые возникают из свойств псевдоримановой геометрии и причинности, в соединении с равенством (11) и теоремой Биркгоф-фа исключают возможность коллапса нестатического сферически-симметричного тела независимо от величины его массы, а следовательно, "черные дыр ы" невозможны.
Теперь изучим характер внутреннего решения тела. Посмотрим, какие выводы следуют отсюда.
Интервал для массивного холодного нестатического сферически-симметричного тела запишем опять в форме
ds2 = U(t, r)dt2 - V(t, r)dr2 - r2(d92 + sin29dф2),(16)
согласно условию Гильберта
U > 0, V > 0.
Рассмотрение изменения гравитационного поля проведем в синхронной системе координат. Для этой цели совершим преобразования
dt = tdT + tdR, dr = rd t + rdR.
(17)
dr dr
десь и далее r = — , r = — . Подставляя эти вы-dT dR
ражения в (16) и накладывая условия
Отсюда следует, что радиус а(г) нестатического сферически-симметричного тела удовлетворяет неравенству
22
t U - r2V = 1, Utt = Vrr,
(18)
получим выражение для интервала в синхронной системе координат в форме
Это означает, что поверхность нестатического с ф е р и ч е ск и - си м м е т р и ч н о-го тела не может уходить под шварцшильдовскую сферу. Поскольку внутри тела и на его поверхности и и V, согласно условиям Гильберта (3), отличны от нуля и конечны, они должны быть сшиты с внешним решением Шварцшильда. Отсюда следует, что должно выполняться строгое неравенство для радиуса а(г) тела
ds2 = dт2- A(т, R)dR2-- r2(т, R)(d92 + sin29dф2).
(19)
Здесь йт и йЯ - полные дифференциалы. Функция
А(т, Я) = Vr2- иг2. (20)
Исключая с помощью (18) из А зависимость от пе-ц /
ременной г, получим А(т, Я) =
2
Vr 1 + V?"2
(21)
что находится в соответствии с теоремой Бирк-гоффа.
В книгах часто пишут, что в вакууме ничего особенного в точке г = гё не происходит, забывая при этом, что пробное тело, согласно (11), в этой точке получило бы бесконечную энергию, что физически неприемлемо. Именно поэтому сферическая поверхность г = гё не может быть в вакууме.
Уравнения Гильберта-Эйнштейна (1) для интервала (19) и компонент 00, 11, 22 имеют вид
A A +--------
4 A
8 A
= KP
= т
V
1- V
1
2 + 2
кр
V
L1- v
3" 2 + 2
(22)
2
2
+
О КОЛЛАПСЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
179
г
гА
Аг АГ А 2 + 2гА + 4А
_ кр _ 2
2гА
2
8 А
V
1-1- V
1
2 + 2
кр
V
2
-1 - V
(23)
г
--- +
Аг АГ 1
+ -;—т + -- -
га 2 га2 2га г2
' 2 .2
Г Г Г К , X А Ч
-т: + - + -_2(Р - р}-(24)
г А г ' а
Здесь V - физическая скорость радиального движения частиц тела относительно синхронной системы координат. Она определена равенством
V
2 _ А ГйЯП2
V й ту
Вычитая из уравнения (23) уравнение (24), получим
А_ 4А
_ КР
_ т
2
2
г
■ - 1 +
8 А2 г2 аг2 г2
2
Г Г
2
V
1-1- V
_ 1
2 2
+
кр
V
1-1- V
1
2 + 2-
(25)
Складывая уравнения (22) и (25) и учитывая (21), находим
0 .. V-1
-2 гг _ -+ к
V
Р + (Р + Р) -
V
2
1 - V
2
Г .
(26)
Из уравнения (26) следует, что в окрестности сферы Шварцшильда правая часть положительна, а следовательно, ускорение г сферической поверхности радиуса г(т, Я) при фиксированном значении Я отрицательно, что соответствует процессу сжатия. Отсюда следует, что в области г, близкой к сфере Шварцшильда, действуют только силы притяжения, которые исключают возможность остановки процесса сжатия.
Таким образом, из динамических уравнений Гильберта-Эйнштейна мы пришли к выводу, противоположному (15). Уравнения ОТО оказались неадекватны общим положениям Гильберта, следующим из псевдоримановой геометрии. Возникла ситуация, когда общие ограничения Гильберта (3) на метрические коэффициенты в соединении с равенством (11), полученным из геодезического движения, приводят к утверждению, что радиус нестатического сферически-симметричного тела всегда превышает радиус Шварцшильда, тогда как динамические уравнения Гильберта-Эйнштейна показывают, что гравитационные силы всегда остаются силами притяжения.
Согласно этим уравнениям холодное достаточно массивное тело, исчерпав ядерное горючее, под действием гравитационных сил притяжения
будет сжиматься: наступит коллапс. Возникло противоречие.
Гравитационный коллапс Уиллер рассматривал как "один из величайших кризисов всех времен" фундаментальной физики. Позднее в работе [6] отмечалось: "Неизбежен ли коллапс? Неизбежен, если только справедливы принципы, положенные в основу анализа. Решающую роль во всех рассуждениях играет предположение, что вызываемое массой-энергией искривление пространства описывается элементарным законом, выраженным уравнением (2) (под уравнением (2) имеется ввиду уравнение, из которого получается полная система уравнений Гильберта-Эйнштейна - авторы)". И далее отмечено: "Если кто-либо собирается отказаться от теории относительности, то здесь самое подходящее место сделать это".
Отсюда видим, что авторами [6] за основу выбраны уравнения Гильберта-Эйнштейна, которые, как видно из (26), приводят к процессу сжатия. Но такой выбор достигается в [6] только путем нарушения следующего фундаментального свойства псевдоримановой геометрии: пробное тело, обладающее массой покоя, отличной от нуля, не может иметь в гравитационном поле физическую скорость, равную скорости света с. Таким образом, коллапс и последующее образование черных дыр у авторов [6] возникли в нарушение ими фундаментального принципа теории относительности. Это означает, что совершается выход за пределы физической реальности.
Поскольку общее представление о том, что гравитация есть псевдориманова геометрия пространства-времени, более фундаментально, чем конкретные физические уравнения, то в данной ситуации, чтобы не нарушать фундаментальный принцип относительности, необходимо видоизменить уравнения ОТО, приведя их в соответствие со структурой псевдоримановой геометрии как основы гравитации.
Этот путь был осуществлен в релятивистской теории гравитации (РТГ) [7], в которой на основе общего положения, что все физические поля, в том числе и гравитационное, развиваются в пространстве Минковского, а источником является полный тензор энергии-импульса всех полей материи, включая и гравитационное поле, была получена полная система уравнений гравитационного поля и вещества, отличная от уравнений Гильберта-Эйнштейна.
Полная система общековариантных уравнений РТГ имеет вид
Яцу _ к(- 2^г) + т(^ - У^), (27)
_ 0.
(28)
2
2
+
2
2
Здесь (27) - уравнение гравитационного поля, (28) -уравнение движения вещества в гравитационном поле. Эта система уравнений может быть получена из принципа наименьшего действия. Решения уравнений (27) и (28) должны удовлетворять принципу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.