ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 4, с. 389-391
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.9
О КОМБИНИРОВАННОМ МЕТОДЕ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
© 2015 г. Член-корреспондент РАН И. Б. Петров, А. В. Фаворская, А. В. Шевцов, А. В. Васюков, А. П. Потапов, А. С. Ермаков
Поступило 19.09.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215040052
ВВЕДЕНИЕ
Для моделирования упругих и упругопласти-ческих взаимодействий на протяжении значительного времени широко используются сеточные методы, в частности метод конечных объемов [1] и сеточно-характеристический (Grid Characteristic Method — GCM) [1—6]. Моделирование процессов разрушения, однако, является технически сложным и снижает точность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки. В последнем десятилетии XX века с ростом вычислительных мощностей стали приобретать распространение адаптации к моделированию упругопластических тел метода сглаженных частиц (Smoothed Particles Hydrodynamics — SPH) [7, 8], предложенного первоначально для моделирования звезд и претерпевшего затем ряд усовершенствований [9].
Суть комбинированного метода GCM-SPH [10] состоит в моделировании частей тел, подверженных существенным деформациям, методом сглаженных частиц [11], в то время как в остальной части области интегрирования используется более эффективный по затратам и точности се-точно-характеристический метод [1—6]. Соответствующее разделение позволяет использовать се-точно-характеристический метод для решения только системы уравнений линейной упругости, используя метод сглаженных частиц для решения аналогичной системы линейной упругости [12] в сочетании с критерием пластического течения Мизеса [13].
Московский физико-технический институт (государственный университет) Долгопрудный Московской обл.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды подчиняется следующим уравнениям [12]:
рд V = (V • ст)т, (1)
от
— ст = Х(У ■ у)1 + ц(У® V + (V® v)т). (2)
д?
Уравнение (1) является локальным уравнением движения, в нем р — плотность материала, V — скорость движения, а — симметричный тензор напряжений Коши. Уравнение (2) выводится путем дифференцирования по времени закона Гука. В нем X, ^ — параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала, а ® Ь — тензорное
произведение векторов а и Ь, (а ® Ь) = а Ь.
ПРИНЦИП
КОМБИНИРОВАННОГО МЕТОДА
Поскольку для обоих базовых методов решение в каждой точке пространства на каждом шаге по времени зависит только от решения в близлежащей области на предыдущем шаге, вдали от поверхностей, разделяющих области сплошной среды и разрушенного материала, каждый из методов может использоваться независимо. Поэтому наибольший интерес представляет организация взаимодействия двух методов вдоль границы раздела.
Как известно, основой сеточно-характеристи-ческого метода является перенос решения между временньши слоями вдоль характеристик [1—6], а конкретный способ вычисления этого значения может быть различным. Это позволяет реализовать учет решения в области с частицами при поиске решения в пограничной области с сеткой: вдоль попавшей в область с частицами характеристики переносится решение, интерполированное с использованием того же ядра сглаживания, ко-
389
2*
390
ПЕТРОВ и др.
асм
Аналитическое решение
асм-ярн
ярн
Аналитическое решение
асм-ярн
Рис. 1. Сравнение численного решения задачи распада разрыва с аналитическим.
торое используется в реализованной вариации метода сглаженных частиц.
Несколько сложнее реализован учет решения в области с сеткой при поиске решения в пограничной области с частицами. Суть метода сглаженных частиц [11] состоит в вычислении временных производных компонент решения, аналитически выраженных через решение в соседних частицах, и последующем явном интегрировании по времени. Для решения этой задачи используются "мнимые" частицы — тонкий слой особых частиц, расположенных вдоль границы раздела методов внутри области с сеткой. Эти частицы отличаются от обычных только тем, что решение в них, а также их смещения за шаг по времени не вычисляются обычным методом [11], а интерполируются по их значениям в сеточных узлах [10].
Максимальный шаг по времени для метода в целом определяется как минимум из максимально возможных шагов для каждого из методов.
ОПИСАНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО МЕТОДА
Приведем основные этапы алгоритма расчета на одном шаге интегрирования по времени [10]:
1. Интерполяция функций, характеризующих состояние вещества в "мнимых" частицах, по их значениям в сетке;
2. Предварительные вычисления в области с частицами с целью определения максимально возможного временного шага на данном временном слое;
3. Определение максимально возможного временного шага при использовании тетраэдральной сетки для сеточно-характеристического метода и выбор минимального из двух;
4. Расчет функций, описывающих состояние вещества в области, занимаемой сеткой;
5. Расчет функций, описывающих состояние вещества в области с частицами.
АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Было доказано, что при использовании комбинированного метода достигается первый порядок аппроксимации решения при условии, что каждый из методов-компонент обеспечивает первый порядок аппроксимации [10]. Также аналогичное утверждение доказано и для второго порядка аппроксимации.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
С целью изучения поведения метода в различных ситуациях были проведены следующие численные эксперименты [10]:
1) решение задачи распада разрыва скорости в одномерной и трехмерной постановках;
2) моделирование пробоя тонкой стальной пластины стальным ударником кубической и шарообразной формы;
3) моделирование столкновения шарообразного ударника с массивной преградой.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 460 № 4
2015
О КОМБИНИРОВАННОМ МЕТОДЕ
391
Для каждой из перечисленных задач производилось сравнение решений, полученных одним из методов-компонент и комбинированным методом. Кроме того, численное решение первой задачи сравнивалось с известным аналитическим решением, при этом моделирование производилось в двух основных постановках: для продольных и поперечных упругих волн внутри железного куба размером 4 х 4 х 4 м3, исходный фронт волны проходил через центр куба с наклоном ко всем координатным осям. Начальную скорость слева от фронта разрыва брали равной некоторой ненулевой константе, а справа — нулевой. Проверке подвергалось распределение параметров вдоль отрезка, проходящего через центр куба перпендикулярно исходному фронту волны и выходящего незначительно из куба. Обе постановки решались каждым из базовых методов в отдельности и комбинированным методом.
На рис. 1 приведены распределения У-компо-ненты скорости вдоль контрольного отрезка для случая продольных волн в различные моменты времени (на 0-м и 30-м шаге по времени) и для различных численных методов. Слева представлены решения сеточно-характеристическим методом, комбинированным методом ОСМ—8РН и аналитическое решение. Справа представлены решения методом сглаженных частиц, комбинированным методом ОСМ—8РН и аналитическое решение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Был разработан комбинированный метод численного моделирования упругопластических сред, в основе которого лежит идея объединения сеточно-характеристического метода и метода сглаженных частиц. Теоретически доказано сохранение комбинированным методом порядка сходимости базовых методов. Результаты численных экспериментов показывают оправданность предложенного подхода и
демонстрируют перспективность метода. Ожидается его успешное применение в задачах моделирования ударных нагрузок, вызывающих частичное разрушение сложных конструкций.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 14—11— 00263).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений М.: Физматлит, 2001. 608 с.
2. Холодов А.С. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Сер. Б. М.: Янус-К, 2008. Т. УП-1. Ч. 2. С. 91-103.
3. Петров И.Б, Холодов А.С. // ЖВМиМФ. 1984. Т. 24. № 5. С. 722-739.
4. Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов А.С. // ПМТФ. 1984. № 4. С. 132-139.
5. Иванов В.Д., Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов А.С. // Мат. моделирование, 1990. Т. 2. № 11. С. 10-29.
6. Матюшев Н.Г., Петров И.Б. // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. № 9. С. 1-7.
7. Libersky L.D., Petschek A.G. In: Proc. The Next Free Language Conf. N.Y., 1991. P. 248-257.
8. Медин С.А., Паршиков А.Н. // Теплофизика высоких температур. 2010. Т. 48. № 6. С. 973-980.
9. Monaghan J.J. // Comput. Phys. Commun. 1988. V. 48. P. 89-96.
10. Petrov I.B., Favorskaya A.V., Shevtsov A.V., Vasyukov A.V., Potapov A.P., Ermakov A.S. // Comput. Math. and Math. Phys. 2014. V. 54. № 7. P. 1176-1189.
11. Потапов А.П., Ройз С.И., Петров И.Б. // Мат. моделирование. 2009.Т. 21. № 7. С. 20-28.
12. Новацкий В.К. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
13. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. 307 с.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 460 № 4 2015
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.