ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 4, с. 665-670
УДК 519.632.4
О КОМБИНИРОВАННОМ СЕТОЧНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ1)
© 2007 г. Е. А. Волков
(119991 Москва, ул. Губкина, 8, Матем. ин-т РАН) Поступила в редакцию 02.11.2006 г.
Предлагается комбинированный сеточный метод решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольном параллелепипеде, когда в узлах, расположенных на расстоянии шага сетки от границы, применяется 6-точечный оператор усреднения, а в остальных узлах используется 26-точечный оператор усреднения. В предположении, что заданные граничные значения имеют на гранях параллелепипеда третьи производные, удовлетворяющие условию Липшица, на ребрах граничные значения непрерывны и их вторые производные подчиняются условию согласования, вытекающему из уравнения Лапласа, доказана равномерная сходимость сеточного решения с четвертым порядком относительно шага сетки. Библ. 8.
Ключевые слова: численное решение уравнения Лапласа, сходимость сеточных решений, область в виде прямоугольного параллелепипеда.
ВВЕДЕНИЕ
Классический метод Гершгорина позволяет получить оценку погрешности сеточного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, имеющую второй порядок относительно шага сетки И, в предположении, что искомое решение задачи Дирихле обладает ограниченными четвертыми производными. Таким образом, применение метода Гершгорина требует, чтобы у решения дифференциальной задачи было число ограниченных производных на две единицы больше, чем порядок получаемой оценки погрешности. Бахваловым была получена в [1] равномерная оценка погрешности сеточного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа на достаточно произвольной двумерной области, имеющая вид 0(И2 1п И-1), в предположении, что у искомого решения ограничены вторые производные. По-видимому, оценка Бахвалова при указанной гладкости решения является неулучшаемой для произвольной области.
В данной работе рассматривается задача Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольном параллелепипеде, решение которой при заданных граничных значениях имеет в открытом параллелепипеде ограниченные производные четвертого порядка, полученные четным числом раз дифференцирования по каждой из трех независимых переменных. При этом четвертые производные с нечетным числом раз дифференцирования по некоторым переменным, вообще говоря, не ограничены вблизи границы параллелепипеда (см., в частности, пример в [2]).
Ставится цель получения сеточного решения, сходящегося к решению рассматриваемой задачи Дирихле в равномерной метрике со скоростью 0(И4). Использование простейшего сеточного метода с 6-точечным оператором усреднения (7-точечная схема) не может дать сходимость сеточного решения со скоростью более высокой, чем 0(И2), если искомое решение не является достаточно простым гармоническим многочленом (см. [3], [4]). При применении 26-точечного оператора усреднения (27-точечная схема) возникают затруднения с получением надлежащей оценки невязок для искомого решения в узлах сетки, ближайших к границе параллелепипеда. Эти затруднения вызваны особенностями вблизи границы у некоторых указанных выше четверных производных решения.
Поставленная цель достигается с помощью комбинированной схемы, построенной так, что в узлах, расположенных на расстоянии шага И от границы параллелепипеда, применяется 6-точечный оператор усреднения, а в остальных внутренних узлах сетки используется 26-точечный опе-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00370) и программ "Ведущие научные
школы" (проект НШ-2841.2006.1) и "Современные проблемы теоретической математики" ОМН РАН.
ратор усреднения. Эта схема дает равномерную сходимость сеточного решения со скоростью 0(И4) (см. теорему 2).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть R = {(х1, х2, x3) : 0 < xi < a, i = 1, 2, 3} прямоугольный параллелепипед; г,, j = 1, ..., 6, его грани, включая края, причем при j = 2i - 1 (j = 2i) грань Г,- лежит в плоскости xi = 0 (xi = ai); Г =
= Г1 и ... и Г6 - граница параллелепипеда; у - объединение ребер параллелепипеда R; Г, = ГДу;
Ym = Г; п Гт; А = Э2/Эx1 + Э2/Эx2 + Э2/Эx3; Ck, X(E - класс функций, которые имеют на E непрерывные k-е производные, удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем X е (0, 1], являющемуся при X = 1 условием Липшица. Рассмотрим задачу Дирихле
Аи = Она R, и = ф- на Г,, j = 1, ..., 6, (1.1)
где ф- - заданные функции. Предположим, что
ф, е Сз,! (Г-), j =1,..., 6, (1.2)
Фг = Ф»
ЭФг , Э2ФИ
^-Т = 0 На Y im,
(1.3)
dtm d tlm
где 1 < l < 4, 2[(/ + 1)/2] + 1 < m < 6, [a] - целая часть числа a, tlm - длина дуги вдоль ylm, tj и tm -нормали к Ylm на гранях Г1 и Гт соответственно. Задача (1.1) имеет единственное непрерывное на
R решение.
Пусть Mj - постоянная в условии Липшица, которому, согласно (1.2), удовлетворяют на Г,- третьи производные функции ф-, j = 1, ..., 6,
M = max{ Mj,..., M6}. (1.4)
Теорема 1. При выполнении условий (1.2), (1.3) справедливо неравенство
max max sup
0 < p < 2 0 < q < 2- p (Xj, x2, х3) e R
Э4 u
< 4 M,
(1.5)
Эх Эх2 Эх3
где и - решение задачи Дирихле (1.1), М- величина (1.4).
Доказательство. По теореме 2.1 из [5], решение и задачи Дирихле имеет на замкнутом параллелепипеде Я непрерывные вторые производные. Поэтому гармоническую на Я и непрерывную на Я функцию V = Э2и/Э х2г можно рассматривать как решение краевой задачи
Av = Она Я, V = ^ на Г), ) = 1, ..., 6, (1.6)
где
ЭX2 Эх?
на Г*, к = 1, 2,
э2фг
Э xj
на Гг, 3 < l < 6.
Очевидно, е х(Г,), причем постоянная в условии Липшица, которому удовлетворяют на Г) первые производные функции не превосходит 2М,) = 1, ..., 6. Кроме того, граничные значения в задаче (1.6) непрерывны на у. Отсюда на основании теоремы 4.1 из [5], применяемой к решению краевой задачи (1.6), получаем
max sup
1 < i < 3 (х1; х2, х3) e R
Э4 u
Э x 21 Э x 2
= max sup
1 < i < 3 (х1; х2, х3) e R
d2v
Э х,-
< 4 M.
(1.7)
Аналогично устанавливаются неравенства
max sup
1 < i < 3 (x1; x2, x3) e R
d4u
д x2md x
= 4M, m = 2, 3.
(1.8)
Из (1.7), (1.8) вытекает неравенство (1.5). Теорема 1 доказана.
Замечание 1. При условиях (1.2), (1.3) четвертые производные решения u задачи Дирихле (1.1), полученные с применением нечетного числа раз дифференцирования по некоторым переменным, могут быть неограниченными не только вблизи ребер параллелепипеда R (пример имеется в работе [2]), но и в окрестности внутренних точек граней параллелепипеда (пример строится аналогично).
Построим кубическую сетку с шагом h > 0 плоскостями xi = 0, h, 2h, ..., i = 1, 2, 3. Предположим, что a/h > 4, i = 1, 2, 3, целые. Пусть Dh - множество узлов построенной сетки; Rh = R n Dh;
Rkh с Rh - множество узлов сетки Rh, удаленных от Г на расстояние kh; R* = Rh\Rh ; Г— = Г,- n Dh\y;
rh = r'lh U ... U Г6h.
Введем на сетке оператор усреднения A:
6
^Au(Xi, X2, X3) —
X Up/6, (Xi, X2, X3)e R\,
1 p
P = 1
6
(1.9)
14 X 1up+3 X 2uq + X
V p = 1
q = 7
/128, (X1, X2, X3) e R*.
r =19 /
где Ък - сумма, распространяемая на узлы, находящиеся на расстоянии k1/2h от точки (xj, x2, x3), а up, uq, ur - значения функции u в соответствующих узлах.
Рассмотрим систему сеточных уравнений, аппроксимирующую задачу Дирихле (1.1):
uh = Auh на Rh, uh = на rjh, j = 1, ..., 6. (1.10)
Она имеет единственное решение в силу принципа максимума, справедливость которого для этой системы очевидна.
Условимся обозначать через c, c0, c1 постоянные, не зависящие от стоящего рядом сомножителя, причем будем допускать одинаковые обозначения для различных постоянных.
Теорема 2. При выполнении условий (1.2), (1.3) имеет место неравенство
max |uh - u| < c0h4M,
(Xj, x2, x3) e Rh
где u - решение задачи Дирихле (1.1), uh - решение системы (1.10), M- величина (1.4). Доказательству теоремы 2 предпошлем две леммы.
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ Рассмотрим две системы сеточных уравнений:
Vи = Л^И + /и на Яи, Vи = 0 на ГИ, (2.1)
Vи = Л Vи + /и на Яи, Vи = 0 на ГИ, (2.2)
где/И, /и - заданные функции, причем / < /и на ЯИ.
Лемма 1. Решения уИ, VИ систем (2.1), (2.2) удовлетворяют неравенству
Ы < VИ на ЯИ.
Доказательство леммы 1 аналогично доказательству теоремы сравнения в [6, гл. III, § 3].
Пусть щ = [шт{аь a2, а3}/(2Ь)] = 0(Ь-), 1 < k < пь
* = {'
10,
' (x', х2> Х3 ) е
(Х', Х2, Хз) е Як\Якк,
vкh = А vkh + / на Яъ = 0 на Г^. (2.3)
Лемма 2. Решение VI системы (2.3) удовлетворяет неравенству
тах V\ < 6к, ' < к < щ,. (2.4)
(х', x2, хз) е Я
Доказательство. Зададим на ЯЬ и Г функцию
0 (х', х2, хз ) е Гь ,
wkh = { 6т, (х1; х2, х3) е Я^, ' < т < к, .6к, (х1; х2, х3)е ЯЬ, к < I < .
Имеем wh - Awh > / на ЯЬ, к = 1, 2, ..., пЬ. Следовательно, по лемме 1, VI < wkh < 6кна ЯЬ, т.е. верно неравенство (2.4). Лемма 2 доказана.
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2
Положим
= иь - и на Яь и Г, (3.1)
где и - решение задачи Дирихле (1.1), и - решение системы (1.10). Имеем
= АеЬ + (Аи - и) на Як, = 0 на Г, (3.2)
где А - оператор усреднения (1.9).
Оценим величину (Аи - и) отдельно на Я' и на ЯкЬ с Я* , к = 2, 3, ..., щ. Принимая во внимание,
что, в силу теоремы 2.1 из [5], решение и задачи Дирихле (1.1) имеет на Я непрерывные третьи производные, и опираясь на оценку (1.5), справедливую, в частности, для чистых четвертых производных, с помощью формулы Тейлора приходим к неравенству
тах |Аи - и| < с^М, (3.3)
(х', x2, х3) е Я1
где М определена в (1.4).
Пусть Qm - произвольный гармонический многочлен от трех переменных хъ х2, х3 степени т. Методом неопределенных коэффициентов с помощью простых, но достаточно громоздких вычислений, которые опустим, получим соотношение
AQV = Q1 на Я* . (3.4)
Очевидно, что любая восьмая производная функции и может быть получена путем четырехкратного дифференцирования некоторой четвертой производной вида Э4/Э х'р д д х^, р + д + 5 = 2. Отсюда на основании доказанной выше теоремы 1 и леммы 3 из [ 7, гл. IV, § 3] следует, что
8 8-11
|1 = 0 V = 0
д8и(х', х2, х3)
д х^д х^ х3
< ср (х', х2, х3)М, (3.5)
где и - решение задачи Дирихле (1.1), р(хх, х2, х3) - расстояние
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.