МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 532.546
© 2008 г. М. М. АЛИМОВ О КОНКУРЕНЦИИ ПАЛЬЦЕВ В ТЕЧЕНИЯХ ХЕЛЕ-ШОУ
В экспериментах по вытеснению вязких жидкостей в ячейке Хеле-Шоу типа канала иногда наблюдается катастрофический характер конкуренции пальцев, когда два пальца долгое время идут почти вровень, а затем один палец резко подавляет другой. Считается, что это проявление капиллярных сил на межфазной поверхности [1]. С использованием найденного в [2] решения задачи в идеализированной постановке показано, что такой сценарий вполне реализуем и без учета действия капиллярных сил.
Ключевые слова: задачи со свободными границами, ячейка Хеле-Шоу, неустойчивость Сэфф-мена-Тейлора, случай отсутствия капиллярных сил.
1. Постановка задачи. Течения вязкой жидкости в лотках Хеле-Шоу с эволюционирующей межфазной границей в односторонней идеализированной постановке описываются краевой задачей [3]
г): Ар = 0; Гг( г): = ип, р = 0 (1.1)
к которой надо добавить естественные граничные условия на фиксированных границах лотка и в бесконечности. Здесь Ог(г) - область физической плоскости г = х + ¡у, занятая жидкостью, Гг(г) - межфазная граница между жидкостью и воздухом, п - внешняя нормаль к Гг(г), р(х, у, г) - давление в жидкости, ип - нормальная составляющая скорости движения границы Гг(г). Все параметры задачи (1.1) безразмерны.
Как правило, решения задачи (1.1) строятся в виде функции g(Z, г), конформно отображающей вспомогательную плоскость ^ фиксированного вида на физическую плоскость г
г = 8(С, г),
* 0,
Все известные точные решения являются частными представителями класса отображающих функций 8(С, г), характеризующегося рациональностью частных производных Э8/Э^, Э8/Эг. Соответственно все сингулярности отображающей функции 8(С, г), лежащие вне области О^, могут быть только нулями ап(г) и полюсами Ъ(г) производной Э8/Э^. В работе [2] построено общее решение задачи (1.1) в указанном классе для лотка Хеле-Шоу типа канала. Свободные параметры решения - некоторые функции времени г, характеризующие сингулярности конформного отображения ^ ^ г. Для вектора независимых свободных параметров решения Х(г) размерности Ь выписана задача типа обобщенной задачи динамики системы точек
А (X) X (г) = В (X) (1.2)
где В(Х) - вектор размерности Ь, зависящий известным образом только от Х(г); А(Х) -квадратная матрица размерности Ь х Ь, зависимость которой от Х(г) также известна. Показано, что метод функций Шварца [4] позволяет в принципе получить все первые интегралы такой системы, т.е. полностью проинтегрировать динамическую задачу.
оо
Тем не менее при построении конкретных примеров возникают определенные трудности. Отметим неудобство полученного в [2] решения - для интегрирования системы (1.2) в режиме заданного расхода жидкости необходимо вводить преобразование времени. Далее это решение содержит большое количество свободных параметров и для некоторых из них определение соответствующих первых интегралов сопряжено с громоздкими выкладками. Можно указать достаточно широкий подкласс отображающих функций g(Z, Г), все сингулярности которых могут быть только нулями и простыми полюсами производной дg/дZ. В этом подклассе первые интегралы строятся элементарно, но по сути представляют собой трансцендентные уравнения относительно свободных параметров. Поэтому при построении конкретных примеров предпочтительнее численно интегрировать систему (1.2), а первые интегралы привлекать для независимой оценки точности интегрирования.
Численный анализ отдельных примеров показал, что динамическая система (1.2) характеризуется жесткостью [2, 5, 6]. Поэтому необходимо: во-первых, использовать специальные методы интегрирования; во-вторых, критически проанализировать и, возможно, преобразовать динамическую систему, чтобы обеспечить необходимую точность вычислений при неизбежных ошибках округления.
Соответственно пока до конца неясно, какие качественные особенности эволюции межфазных границ в течениях Хеле-Шоу в канале способна описать идеализированная задача (1.1). Так, до появления работы [7] считалось, что формирование боковых отростков на пальцах, внезапное расширение или сужение пальца можно объяснить только с учетом капиллярности. Сейчас считается, что только с учетом капиллярности можно объяснить конкуренцию пальцев катастрофического характера, когда два пальца долгое время идут почти вровень, один немного впереди другого, а затем передний палец резко подавляет другой и далее идет уже один [1].
Цели данной работы - преобразовать решение [2] идеализированной задачи (1.1) к виду, удобному для прямого интегрирования динамической системы в режиме заданного расхода; далее, ограничиваясь указанным выше подклассом отображающих функций, провести анализ качественных особенностей эволюции межфазных границ для течений Хеле-Шоу в канале в отсутствие капиллярных сил, и, в частности, оценить возможность реализации катастрофического характера конкуренции пальцев.
2. Преобразование решения [2] к виду, удобному для прямого интегрирования в режиме заданного расхода. Приведем основные моменты построения решения [2]. В безразмерной постановке ширина канала будет равна 1. К краевой задаче (1.1) необходимо добавить условия непроницаемости боковых стенок канала и задать постоянную скорость отбора жидкости на бесконечности, равную безразмерному расходу Q(t).
Введем вспомогательную плоскость комплексного переменного такую, что области течения Ог(0 в ней отвечает область - верхняя половина внешности единичного круга = 1. При этом границе Гг(0 отвечает единичная полуокружность Г^, стенкам канала - действительная ось, а бесконечности - бесконечность:
Наличие прямолинейных стенок канала в физической плоскости приводит к требованию симметрии решения относительно действительной оси во вспомогательной плоскости
ICI~<~, g(Z, t)~n1lnZ; ImZ = 0, Im =0
g(Z, t) = g (Z, t)
(2.1)
Сингулярности отображающей функции g(Z, Г) - нули ап(Г) и полюса Ь,(0 производной дg/дZ - должны лежать вне области О^, точнее, при учете симметрии (2.1), внутри единичного круга < 1:
УГ: |ап| < 1, п = 1, ..., N; |Ь,| < 1, ] = 1,..., J
(2.2)
В классе функций, характеризующемся рациональностью своих частных производных, общий вид решения задачи (1.1) для канала такой [2]
^ г ) = ^ + I
, = 1
0
1п(С-1- Ь-1) - I
к
к = 1 (С-1- ь-1 )кк.
м
р.
т = 0 ^
(2.3)
где 0, к, ЪР вт - свободные параметры, причем 0 - комплексные ГОСТЮЯ^Ь!^ й, к = й, к(0 и Ь ■ = Ь,(0 - комплекснозначные, а в. = Рт(0 - вещественные функции времени Г. В отличие от решения, приведенного в [2], где параметр Р0(0 имел вполне определенный вид, здесь он является свободным наряду с остальными рт(0.
Вещественность Рт(0 - следствие симметрии (2.1) функции g(Z, Г). Другое ее следствие - попарная сопряженность всех невещественных свободных параметров. Иначе говоря, весь интервал ] = 1, ..., Jособенностей Ь ($) функции g(Z, Г) можно условно разбить на три интервала
]< J0: 1тЬ, = 0, \rndj к = 0;
J0 < ■ < Jo + JV 1тЬ■ > 0, Ь■ = Ь■ + J1, к = й ■ + J1, к; (2.4)
J0 + J1 < ■ < Jo + 2 J1: 1тЬ, < 0, Ь, = Ь,- J1, й,,к = - J1,к
Свободные параметры решения составляют вектор неизвестных Х(Г)
Х(Г) = {[р.(Г), т = 0,., м],[Ь(Г), к(Г); ; = 1, ..., J; к = 1,.... К,]}
Целесообразно ввести образ функции Шварца в плоскости ^ [4], определив ее из конкретного вида (2.3) функции g(Z, Г)
Г (С, Г ) = g (С1, г )
-1п_с+1
п ^
} = 1
,0
1п(С - Ь-1) - I
ч, к
к=1 (с - ь-1 )к
м
+ I РтС
т=0
Очевидно, что г(£, Г) удовлетворяет условию симметрии типа (2.1). Тогда краевая задача (1.1) сводится к эволюционному уравнению [2]
УГ > 0, СеГ^: Г(с ОС - ^(С, Г) г'(с ОС = 2 п-1
(2.5)
Здесь и далее для функций переменных (С, Г) частная производная по времени обозначается точкой сверху, а частная производная по С - штрихом.
Устраивая определенным образом эволюцию свободных параметров функции g(Z, Г) вида (2.3), можно удовлетворить уравнение (2.5) всюду в плоскости С, в том числе и на
г-1
границе Г^. В частности, перенос особенностей С = Ь, функции г(С, Г) в плоскости С определяет комплекснозначное векторное поле и(С, Г) вида
.(С,,)
(2.6)
Непосредственным дифференцированием выражения (2.3) найдем частные производные функции g(Z, Г) и, подставив их в (2.6), определим особенности функции и(С, Г).
К
Она также рациональна в плоскости имеет простой полюс в бесконечности и полюса ак(г), лежащие внутри единичного круга в силу требования (2.2). Ввиду регулярности функции и(£, г) всюду в области О^ возможно ее разложение в ряд Тейлора в окрестности точек Ъ-1
и(С> г)1 1 = £ с,,п(г)(С-Ъ-1) , } = 1,..., з (2.7)
^ Ъ' п = 0
с коэффициентами разложения С,, п(г), причем первые коэффициенты С,, 0(г) определяются простой подстановкой
CJo( г) = и (С, г )| 1, } = 1,., з (2.8)
£ = Ъ,
В окрестности бесконечности соответственно возможно разложение функции и(£, г) в ряд Лорана с коэффициентами Сте, п(г)
и(С>= £ с„,п(г)С1-п (2.9)
п=0
Локальным анализом эволюционного уравнения (2.5) в окрестности бесконечности и
особенностей Ъ-1 функции г(£, г) приходим к динамическим уравнениям для свободных параметров решения (2.3) [2]
Ъ}(г) = -Ъ2(г)С,,0(г), } = 1,..., 3;
+ 1 -к
dj,k(t) = k £ Chn(t)dj,n + k-1(t), j =1,..., J, k =1, K;
n = 1
M-m
Pm(t) = - £ (m + n)n(t)Pm + n(t), m = 1, ..., M
Существенные различия появляются только в динамическом уравнении для параметра Ро(г). Дополнительный локальный анализ уравнения (2.5) в окрестности бесконечности, аналогичный проведенному в [2] для определения закона изменения расхода, приводит к уравнению
(1 + у°)р0 (г) = 2 а (г) + (г) + Г> 0 (г)
3
у° = 1 -п£ 0
} = 1
J
t) = £
Ki , sk , , kn
dj, oln b + £
(-1) dj, kbj
j = 1
J Kj +1
k=1
En(t) = п£ £ (-1 )k(n + n- 1)dj,k-:bk + n, n>0
M
, o( t) = £Pm [ Em- 1+ П mpm ]
(2.11)
} = 1 к = 1
Непосредственным интегрированием уравнения (2.11) можно найти отвечающий ему первый интеграл. Первые интегралы, отвечающие остальным обыкновенным дифференциальным уравнениям (2.10), приведены в [2].
o
n
m
Система уравнений (2.10), (2.11) имеет структуру обобщенных уравнений динамики сис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.