; ^змернос-, определить работе этом роль щимы-построены —и этом ис-;:»jdc с целью откали-. S2 может 5U{2) и от-указанную it сфер S2. юсти, вы-типа геомет->й геомет-
fcrr? глничество
Р. 5112. [ 96 (Boulder,
rids Scientific,
-th/9711162.
P. 1765. LI. P. 5463. 498. P. 467.
iant. Grav. 1984. 15; E.H. Saidi, . 46. P. 777. B. 2004. V. 677.
кцию 8.1.2005 r.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 2 ноябрь, 2005
«м
© 2005 г. Е. К. Логинов*
О КОНСТРУКЦИИ МУЛЬТИИНСТАНТОНОВ В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ й ^ 8
Изучаются уравнения автодуальности для калибровочных полей в евклидовых и псевдоевклидовых пространствах размерности й= 8 и й = 7. Находятся новые решения таких уравнений.
Ключевые слова: калибровочные поля, автодуальность, мультиинстантоны.
1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно, электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия описываются калибровочными полями группы 11(1) х 51/(2) х 51/(3). Динамика этих полей задается уравнениями Янга-Миллса (ЯМ) в пространстве размерности й = 4, поэтому нахождение нетривиальных решений данных уравнений представляет значительный интерес. В последние годы повышенное внимание было обращено к калибровочным волновым уравнениям в пространствах размерности большей, чем четыре, поскольку возникла надежда получить физически интересные теории посредством размерной редукции. Такие уравнения появляются в многомерной теории супергравитациии и в низкоэнергетическом пределе теории суперструн [1]. Использование решений уравнений ЯМ в размерности с1 > 4 позволяет получить солитонные решения в таких теориях [2]. Кроме того, наложение условий симметрии на калибровочные теории ЯМ в (1 измерениях приводит к теории Янга-Миллса-Хигса (ЯМХ) в к < (1 измерениях [3]. И потому решения уравнения ЯМХ в й = 4 могут быть получены из решений уравнений ЯМ в размерности ¿> 4.
В 1983 году Корриган с соавторами [4] предложили обобщение уравнений автодуальности на случай (I > 4:
Imnps
Fps = A Frr
(1)
где Л = const, a fmnps " полностью антисимметричный тензор с постоянными числовыми коэффициентами. В силу тождества Бианки всякое решение уравнений Корри-гана (1) (мы будем их называть CDFN-уравнениями) удовлетворяет уравнениям ЯМ.
* Ивановский государственный университет, Иваново, Россия. E-mail: loginov@ivanovo.ac.ru
192
Е.К. ЛОГИНОВ
Поэтому одним из методов получения решений уравнений ЯМ является поиск решений CDFN-уравнений. Некоторые из них были получены в работах [5]. В данной работе мы находим новые решения CDFN-уравнений.
Статья организована следующим образом. В разделах 2 и 3 приведены основные факты об алгебрах Кэли-Диксона (КД) и связанных с ними алгебрах Ли. В разделах 4 и 5 находятся решения CDFN-уравнений в размерностях d = 8 и d = 7, соответственно.
2. АЛГЕБРА КД
Напомним, что алгебра А, удовлетворяющая тождествам
х2у = х{ху), ух2 = (ух)х, (2)
называется альтернативной. Важнейшим примером альтернативной неассоциативной алгебры является алгебра КД. Напомним ее конструкцию (см. [6]).
Пусть А - алгебра над полем F характеристики /2с инволюцией х —► х. Зафиксируем 0 ф а € F и определим на векторном пространстве (А, а) = А © А операцию умножения
(Xl,yi)(x2,y2) = (XiX2 -ау2У\,У1Х\ +yix2).
Полученная алгебра (А, а) называется алгеброй, полученной из А с помощью процесса КД. Ясно, что А изоморфно вкладывается в (Л, а) и сНт(Л, а) = 2 dim А. Пусть е = (0,1), тогда е2 = —а и {А, а) = А ф Ае. Для произвольного элемента z = х + уе в (А, а) положим z = х — уе. Тогда отображение г —> z есть инволюция алгебры (А, a), продолжающая инволюцию алгебры А. Таким образом, последовательно получаются следующие альтернативные алгебры:
1) F - поле;
2) С(а) = (F, а) - поле, если многочлен х2 + a неприводим над F; в противном случае С(а) ~ F (В F;
3) Н(а,/3) = (C(a),j3) - алгебра обобщенных кватернионов; эта алгебра ассоциативна, но некоммутативна;
4) 0(а, /3,7) = (И(а, /3), 7) - алгебра КД.
На алгебре К Д индуктивный процесс построения альтернативных алгебр обрывается.
Алгебры типа 1-4 называются композиционнными. На любой из них существует невырожденная квадратичная форма (норма) п(х) - хх, удовлетворяющая равенству п(ху) — п(х)п(у). В частности, над полем К вещественных чисел описанная конструкция дает 3 расщепляемых алгебры (если a = /3 = 7=—1)и4 алгебры с делением (если a = Р = 7 = 1): само поле К, поле комплексных чисел С, алгебру кватернионов И и алгебру чисел Кэли (октонионов) О, взятые с евклидовой нормой п(х) = |х|. Заметим также, что всякая простая неассоциативная альтернативная алгебра изоморфна алгебре 0(а,/3,7).
Пусть А - алгебра КД, и пусть а € А. Обозначим через Ла и Ьа операторы правого и левого умножения на а:
хЯа = ха, хЬа = ах. Из тождеств (2) следует тогда, что
Яаь — В,аЩ = [-Ка,Ьь] = [ьа, Яь] = Ььа ~ (3)
Рассмотрим алгебру Ли С(А), порожденную всеми операторами В,х и Ьх, где х 6 А. Выделим в С(А) подпространства Л(А), 5(Л) и £>(А), порожденные операторами Ях, 5Х = Их + 2Ьх и 2Ох<у = [5Х, + соответственно. Используя тождества (3),
легко показать, что
3[RX, Лу] = Dx,y + S[x>y], (4)
[-R^Sj,] = R[x,y], (5)
[Rx,DyiZ] = R[XtyiZ], (6)
[Sx,5y] = Dx,y ~ (7)
[Sx,Dy,z] = S[Xtyt¿\, (8)
[Dx,y, DZit] = D[XtZii]ty + DXi[ytZ<t], (9)
где [x, y, z] = [ж, [y, z]] - [y, [z, x]] - [z, [x, у]]. Из тождеств (4)-(9) следует, что алгебра С(А) разлагается в прямую сумму
С(А) = R(A) Ф S(A) Ф D(A)
подалгебр Ли D(A), D(A) ф 5(Л) и векторного пространства R(A).
В частности, если А - вещественная алгебра с делением, то алгебры D(A) и D(A) ф S(A) изоморфны компактным алгебрам Ли д2 и so(7), соответственно. Если же А - расщепляемая вещественная алгебра, то алгебры D(A) и D(A) ф S(A) изоморфны некомпактным алгебрам Ли д'2 и so(3,4).
3. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Пусть А - вещественное линейное пространство с невырожденной симметричной метрикой д сигнатуры (8,0) или (4,4). Выберем в А базис 1, ei,..., ej, в котором
■ И
д = diag(l,a,/3,a/3,7Ja7,/?7,a^7)í (10)
где а, /?,7 = ±1. Определим умножение
к
CiCj = "~9ij "f" C%j Cfc,
(11)
194
E.K. ЛОГИНОВ
где Cijk = Cij gsk ~ полностью антисимметричныи тензор, элементы которого отличны от нуля, только если
С123 = С145 = С167 = С246 = С275 = С374 = С365 = 1-
Умножение (11) превращает А в линейную алгебру. Легко проверить, что алгебра А изоморфна алгебре 0(а, ß, 7).
В базисе 1, ei,..., е-т операторы Re¡ и Le¡ представляются в виде
Re¡ = Ем + -Ci^Ejk, Lei = Ем - -Ci^Ejk, (12)
где Emn - генераторы алгебры Ли C(Ä), удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Emn> Eps\ = dmpEns ~ 9ms^np ~ 9npEms + ffns^mp-
Теперь пусть G - матричная группа Ли, соответствующая алгебре Ли D ( А) ©S( А). В пространстве А с метрикой (10) введем полностью антисимметричный G-инвариантный тензор fmnps (ср. [7]):
fijk 0 = cijki
fijkl = 9il9jk — 9ik9jl + CijmCklm, где i, j, к, I ф 0. Выписывая ненулевые компоненты fmnps в явном виде:
/0123 = /о 145 = /о 167 = /о246 = /о275 = /о374 = /о365 = 1> /4567 = /2367 = /2345 = /l357 = /l364 = /l265 = /l274 = 1,
легко убедиться, что тензор fmnps удовлетворяет тождеству
fmnijfps — ^Í9mp9ns ~~ 9ms9np) 4fmnps- (13)
Зададим проектор fmnps алгебры £{А) на подпространство D(A) ф S(A), полагая
fmnps = g(39mp9ns -3 g ms9np fmnps)-
Из тождества (13) следует тогда, что
fmnij fps ^ = —2 fmnps- (15)
Заметим, что тождества (13) и (15) хорошо известны. Они эффективно использовались при нахождении всех известных 8рт(7)-инвариантных решений CDFN-уравнений (см. [5]).
4. РЕШЕНИЯ CDFN-УРАВНЕНИИ В РАЗМЕРНОСТИ d = 8
Определим элементы Етп подалгебры D(A) ф ¿"(Л) следующими равенствами:
Етп = fmni:>Eij. (16)
Используя тождества (7)-(9) и (12), находим их коммутаторы
— 1 ~ к ~ [EmmEps] = -^{Ет[рд8]п — En[pgs]m) - ~(fmn [pEs]k — fps [тЕп]к)- (17)
Теперь можно перейти к построению решений CDFN-уравнений. Выбираем анзац Ат в виде
_ 4 АУ ~ .
Ащ — ÖT-;—T-Emi, (18)
31 +yiy
где у - вектор-столбец с элементами yi,..., ун из алгебры КД такими, что
У1 = (Vi,--->VN)tk, У/ € К,
А+ = (AI,...,Ajv), А/ € = + Ък13 = Ъкп.
Здесь мы полагаем, что индекс к пробегает значения от 0 до 7, а элемент ео = 1 ■ Используя коммутационные соотношения (17), получаем выражение для тензора напряженнос-ти: __ __
р _ 4 At{(6 + 6ytу - 3у*у\)Етп + *fmniaEajyiy\}\ тп~ 9 (1 +у)уУ ■ (Щ
В силу тождеств (15), (16) очевидно, что тензор напряженности (19) удовлетворяет CDFN-уравнениям (1) как для евклидовой, так и для псевдоевклидовой метрики вида (10).
Заметим также, что полученное iV-инстантонное решение (18) зависит от 9N параметров и является аналогом хорошо известного решения т'Хоофта в размерности d = 4 (см. [8]).
5. РЕШЕНИЯ CDFN-УРАВНЕНИЙ В РАЗМЕРНОСТИ d = 7
Рассмотренный выше метод нахождения решений уравнений ЯМ может быть использован для нахождения решений уравнений автодуальности в размерности d < 8. Пусть Ва - собственная подалгебра алгебры А. Тогда подгруппа Н0 группы автоморфизмов алгебры А, оставляющая неподвижными элементы Ва, называется группой Галуа алгебры А над Ва. Описание групп Галуа алгебр К Д над собственными подалгебрами известно [9]. Так, если А - вещественная алгебра с делением и В\ ~ К, £?г — С, Вз ~ И, то
G ~ Spin(7), Я1~С2, Яг ~ 5(7(3), H3^SU(2).
196
Б. К. ЛОГИНОВ
Если же А - вещественная расщепляемая алгебра, то при таком же выборе подалгебр Ва
в ~ Брт(4,3), Я1 ~ С2, Н2 ~ 5[/(2,1), Я3 ~ 51/(1,1).
Очевидно, что ортогональное дополнение В^ подпространства Ва в А является На -инвариантным подпространством размерности (1а — & — (Иш На. Теперь легко построить полностью антисимметричный На-инвариантный (¿„-тензор четвертого ранга.
Он Будет проекцией й-тензора /тггрз е Л4(Л) на подпространство Л4{Ва). Ненулевые компоненты /тпрз можно выбрать в виде
/(1) _ /(1) _ /(1) _ /(1) _ /(1) _ /(1) _ /(1) _ /4567 - /2367 — /1274 _ /1357 ~ /1364 ~ /1265 _ /2345 ~ 1>
/■(2) _ г(2) _ ,(2) _ -
/1364 — /1265 — /2345 — 1>
/2345 =
(л)
Такой выбор компонент /тпрз позволяет легко получить аналоги тождеств (13)—(17). В частности, коммутационные соотношения (17) принимают вид
- 4 _ Фт\р9з]п - Ё%[р9з]т) ~ £ _ 2а (/тп^р^*: _ /яЛт
Заметим, что выбор Ат в виде
(2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.