МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.516.013.4:536.24
О КРИТЕРИЯХ АБСОЛЮТНОЙ КОНВЕКТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
© 2014 г. М. М. РАМАЗАНОВ
Дагестанский научный центр РАН, Институт проблем геометрии, Махачкала e-mail: mukamay.ipg@mail.ru
Поступила в редакцию 09.11.2012 г.
Исследованы условия отсутствия естественной конвекции в сжимаемых жидкостях и газах. Показано, что в параметрической плоскости число Рэлея—заданный перепад температуры имеется область, где конвекция не возникает ни при каких числах Рэлея. Предложено эту область назвать областью абсолютной конвективной устойчивости, а критерий, определяющий границу этой области, — критерием абсолютной конвективной устойчивости. Выведены необходимое, достаточное, а также необходимое и достаточное условия абсолютной конвективной устойчивости сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости. Показано, что в частном случае, когда тепло-физические свойства жидкости и адиабатический градиент постоянны, указанные условия совпадают с критерием Шварцшильда.
Ключевые слова: конвекция сжимаемой жидкости и газа, критерий Шварцшильда, критерий абсолютной устойчивости, адиабатический градиент, окрестность термодинамической критической точки, небуссинесковские параметры.
Критерии наличия и отсутствия конвекции занимают важное место в теории свободной конвекции жидкостей и газов. Как известно, конвекция имеет место, если число Рэлея превосходит критическое значение, определяемое из решения спектральной задачи для линеаризованной системы уравнений гидродинамики [1]. Большинство исследований по конвекции проводится в приближении Буссинеска. Однако в последнее время резко активизировались исследования конвекции в сжимаемых средах, что прежде всего связано с изучением гидродинамики жидкостей с параметрами вблизи критической точки фазового перехода жидкость — пар [2, 3]. В случае сжимаемых жидкостей и газов для исследования условий устойчивости необходимо привлечь еще один критерий — критерий Шварцшильда [4—6].
В линеаризованной безразмерной системе уравнений конвекции для сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости заданный перепад температуры 5 входит в систему не только через число Рэлея. Это отличает рассматриваемую модель конвекции от приближения Буссинеска (для простоты считаем, что критерий сжимаемости и другие небуссинесковские параметры фиксированы). Условие существования нетривиального решения указанной системы уравнений в данном случае запишется в виде Rac = f(8) (см., например, [5, 7—9]). Исследование некоторых, общих для всех сжимаемых жидкостей и газов, особенностей и свойств этой зависимости и есть предмет исследования данной работы. В работе показано, что в плоскости число Рэлея Ra-перепад температуры 5 имеется область (0 < 5 < 5*, Ra > 0), где конвекция не возникает ни при каких числах Рэлея. При этом прямая 5 = 5* есть вертикальная асимптота нейтральной кривой Rac = f(8). Предложено указанную область назвать областью абсолютной
конвективной устойчивости, а критерий, определяющий ее границу 8* — критерием абсолютной конвективной устойчивости. Отметим, что в области 5 > 5* конвекция отсутствует, только если число Рэлея меньше критического, т.е. Яа < Яас. Эту область ниже назовем областью отсутствия конвекции.
Исследования показали, что в случае, когда теплофизические свойства и адиабатический градиент постоянны, 5* можно найти из критерия Шварцшильда К. В общем же случае, когда физические свойства и параметр К переменны, критерий Шварцшильда, вообще говоря, не позволяет найти точное значение 5*. В этой связи цель работы заключается в том, чтобы найти критерий, позволяющий точно определить указанную границу, а также найти способы ее приближенной оценки.
1. Необходимое условие абсолютной конвективной устойчивости. Пусть известно, что механическое равновесие сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости, занимающей некоторый подогреваемый снизу объем V, абсолютно устойчиво, т.е. устойчиво при любых числах Рэлея. Найдем оценку сверху для критического перепада температуры 8*, которая в то же время будет необходимым условием абсолютной конвективной устойчивости (но не конвективной устойчивости вообще). Рассмотрим систему уравнений Навье—Стокса для сжимаемой жидкости [6]
du du —1 + Uk—L
dt dxk
dp +д_ dxi Xk
dUj + dUk _2g dU dxk dxj 3 dxi
._d_
dxj
: dul = dxi
+ pgi
dp ~dt
+ V(pv) = 0, gt =SB g; i = 1,2,3
pCp dT - втТ ^ + pCpvV T - eTTvVp = V(XV T) + D
(1.1)
p = p(p, T)
f
D =П
dut dvj 2 0V —1 + —J- - - о j Vv
ydxj dxi 3
\2
+ S (Vv)
При механическом равновесии получим следующую систему уравнений:
dpo
л = -Po g dz
dT0 _ const
dz MT>, Po) Po = P(Po,T>)
- -A(z)
(1.2)
Здесь Л(г.) — локальный градиент температуры, полученный с учетом граничных условий. Положим
P = Po + P, T = To + T, p = po + p', v = v'
(1.3)
где величины со штрихом — малые поправки к равновесным значениям.
Подставляя (1.3) в (1.1) после линеаризации, опуская штрихи и используя первое уравнение в (1.2), получим
р — = -дР + —
dt dx, xk
до, + dUk -2g dvL dxk dxi 3 dxi
_d_
dxi
^ | + Pog, (XP -PtT)
. dxi J
+ div(p0v) = 0; i = 1,2,3 (1.4)
dt
PoCp ^ - втТо djp = V(XVT) + poCpvZA at at
(
1 -
яРтТо ACp
х = ±(дР| , рг = _± (ЁР
Ро \др)т ро \ЗТ,р
Далее рассмотрим частный случай возмущений, когда р = 0. Умножим третье уравнение в (1.4) на T и проинтегрируем полученное уравнение по всему объему, используя интегрирование по частям и граничные условия на температуру. В результате
2д 1 PoCpT2dV = -JX(VT)2dV + JpoCpA 11 - AT0\zTdV
V V V ^ p '
Пусть в начальный момент времени имеет место произвольное возмущение температуры 90(х, у, г), удовлетворяющее граничным условиям. Тогда для достаточно малого промежутка времени справедливо уравнение
, Л
2 д 1 PoCpT 2dV = - J X(V9o)2 dV + J poCpA 11 -
,, о р ......о р , (1.5)
2дгу р * о р 1 АСр , г
V V у у р ;
Проецируем первое уравнение в (1.4) на ось z и проинтегрируем его в течение достаточно малого промежутка времени т. При этом учтем, что начальное распределение скоростей тождественно равно нулю и равенства
р = 0, р = -ровтТ
Тогда с точностью до квадратичных членов по т получим
иг = gвт 6оТ (1.6)
Подставляя (1.6) в (1.5), имеем
2 Jt J PoCpT 2dV = - |X(V9o)2 dV + T J PoCpg^TA
( n rn \
1 -
_o
V V V V ACp J
¿PtT
e2dV (1.7)
Для абсолютной устойчивости системы необходимо, чтобы при возмущении механического равновесия для любых чисел Рэлея возникала возвращающая сила, т.е. чтобы правая часть (1.7) оставалась отрицательной при А ^ o. Для этого, как видно из (1.7), необходимо, хотя и недостаточно, чтобы выполнялось неравенство
max K > 1, K = getTo (1.8)
v ACp
Здесь K — критерий Шварцшильда.
Из (1.8) для оценки сверху границы абсолютной устойчивости 8* получим следующее неравенство:
5* <8 max, max K(5 max) = 1
v
Таким образом, критерий (1.8) есть необходимое условие абсолютной устойчивости сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости (газа).
2. Достаточное условие абсолютной конвективной устойчивости. Из (1.7) видно: для того чтобы правая часть была отрицательной для любых рассмотренных в предыдущем разделе возмущений и для любых чисел Рэлея возникала возвращающая сила, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
В качестве достаточного условия абсолютной устойчивости естественно предположить условие (2.1). Однако это предположение требует доказательства, поскольку равенство (1.7) получено для изобарических возмущений и с учетом ограничений на начальные условия.
Будем исходить из системы (1.4), сделав предварительно несколько оценок, позволяющих упростить задачу. Отношение первого члена уравнения неразрывности в (1.4) ко второму имеет порядок безразмерного перепада температуры 5.
В третьем уравнении (1.4) отношение второго члена к первому имеет порядок критерия сжимаемости е . Названные параметры, например, для совершенного газа, определены следующим образом:
Здесь у — показатель, адиабаты, е — критерий сжимаемости, 5 — безразмерный перепад температуры, Я — удельная газовая постоянная, 7 — характерная температура, А Т — перепад температуры.
Будем рассматривать величину е в диапазоне от ~10-6 до ~0.1, что соответствует изменению толщины слоя газа от ~1 см до ~1 км [5]. В интересующей нас области параметров К ~ 1, т.е. 5 ~ е < 1, поэтому, пренебрегая указанными малыми величинами, запишем систему (1.4) в виде
шт К > 1
V
(2.1)
¿1
уЯТ
о
р0ди =-др +
81 8x1 ШуфоУ) = 0; г = 1,2,3
8x1
+ 1 + Ро ¿г (ХР-РтТ)
8х{ ^ 8x1)
(.2)
Ведем функцию
( г Л
Подставляя ее в первое уравнение (2.2), получим
(2.3)
Введем массовую скорость w = р 0у . Умножим (2.3) на w, уравнение энергии в системе (2.2) — на ю Т, где
Ю = •
ßT Po gfo
(K - 1)CPA
Проинтегрируем полученные уравнения по всему объему. Используя интегрирование по частям, граничные условия и уравнение неразрывности, получим
д dt
д dt
( \
2 Jfow 2dV = -Fi [w] + J ßT Po gfowzTdV
V V У V ( \
i J poCp®T 2dV = —F [T ] - J ßT Po gfowTTdV
V v ) V
Fi [w] = jnV [fow ]V [vow ]dV + jw2 + (fo)' (uo )'dV - ¡ц' VofowVwzdV
(2.4)
F2 [T] = JХюфГ)2dV + JХю' TT'dV, fo = exp -g JpoXd2
Uo =■
Po
Здесь штрих означает производную по ^ Складывая эти уравнения, получим
д dt
1
2
V V
J (fow2 + poCp&T 2)dV
= -Fi [w] -F2 [T]
Отсюда следует: для того чтобы все возмущения равновесия монотонно затухали, достаточно, чтобы оба функционала справа были положительно определенными.
Используя обобщенную теорему о среднем и неравенство Шварца, получим соответствующие условия
in) > max{2(n(fouo)')' - П Uofo'}
f ]> max{2((fouo)')' - (¡j + 4l)uofo - (n'uofo)'}
(2.5)
min [max ('
Здесь первые два условия для функционала .FJw], а третье — для .F2[w], l — характерная толщина слоя.
Таким образом, условия (2.1), совместно с (2.5) и есть достаточное условие конвективной устойчивости сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости. При этом, как показано в разд. 4, эта устойчивость абсолютная, поскольку ограничения (2.5) практически всегда выполняются, если справедливо неравенство (2.1).
Чтобы лучше понять полученные условия, рассмотрены случаи совершенного газа и газа Ван-дер-Ваальс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.