Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 4, с. 282-288 © 2015 г. 25 февраля
О кулоновской задаче в графене со щелью в электронном спектре
В. М. Кулешов, В. Д. Мур, Н. Б. Нарожный1\ А. М. Федотов, Ю. Е. Лозовик+ ^ Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", 115409 Москва, Россия
+Институт спектроскопии РАН, 142190 Троицк, Россия
Поступила в редакцию 27 октября 2014 г. После переработки 25 декабря 2014 г.
Рассмотрены свойства носителей заряда в графене на подложке ЯЮ, допированном примесью с зарядом Z. Для модифицированного на малых расстояниях кулоновского потенциала получены замкнутые аналитические уравнения, определяющие спектр носителей. Определены критические значения заряда ZCr, при которых уровень с данными квантовыми числами достигает границы валентной зоны. При Z < гсг для низших значений орбитального момента получена зависимость положения уровня энергии связанного состояния от заряда Z. При Z > Zcr вычислены положение и ширина низшего квазистационарного состояния, а также изучен вопрос об экранировке заряда примеси.
БО!: 10.7868/80370274X15040104
В зависимости от подложки электронные свойства графена описываются эффективным бесщелевым или, напротив, со щелью (массивные фер-мионы) двумерным уравнением Дирака [1-19]. В присутствии многозарядной примеси особый интерес представляет второй случай [2-6,11,12], когда спектр энергий двухмерной гетероструктуры полностью аналогичен спектру трехмерной кулоновской задачи, в том числе с зарядом ядра 2 > 137 (см., например, [20, 21]). Экранировка заряда кулоновской примеси в графене со щелью рассматривается в работах [5, 7-11], причем в последней из них обсуждается экранировка электронами, рождаемыми вместе с дырками из дираковского моря (по аналогии с трехмерным случаем). Цель настоящей заметки - показать, что указанный механизм экранировки не может реализоваться.
Согласно работам [4, 11] электронные свойства графена на подложке БЮ, допированного атомными ядрами или ионами с зарядом Z, могут быть описаны двумерным эффективным уравнением Дирака:
hvp ( -icr--
ох
Я_
|х|
К
(jz фЕ(х) = Е'фЕ(х).
(1)
Здесь vp - скорость на поверхности Ферми, х = = (xi,x2), сг = (сгх, оу, crz) - матрицы Паули, q = = Zap, ар = е2 /hvp - "постоянная тонкой структуры" в графене, V'-e(x) - двухкомпонентная волновая функция электрона с эффективной массой то*, а Е — его энергия.
-^e-mail: narozhny@theor.mephi.ru; lozovik@isan.troitsk.ru
Для указанных в [4, 11] значений ширины щели Д = 2тФг1р = 0.26 эВ, эффективной константы связи ар = 0.4 и расстояния между ядрами углерода асе = 1.42 А имеем
-ур = 5.53 • 10е см/с, то* = 7.65 -10 4 то
(2)
где тое - масса электрона. При этом "комптоновская длина" в графене 1р = Н/то*-ур = 271 А.
В силу аксиальной симметрии сохраняющимся квантовым числом является полный момент Н.1, т.е. собственное значение генератора двумерных вращений —гКд/д^р-\- На^/2 [22]. Орбитальный момент КМ = Н( J =р 1/2) является собственным значением оператора —гКд/д^р, собственные функции которого равны [23, 24] 2>
= М = 5 + т-
27Г
¿ = 0, 1/2, то = 0,±1,±2,...
(3)
Полагая
Е = т*г>р£, х :
lFp, р= (рcos ¡р,р simp),
для волновой функции с заданным полным моментом имеем
Фе^(р)
1
jjtp
f e-iV! 2 F{(j)\ уге+^С(р)) '
(4)
Полуцелое квантование орбитального момента реализуется в двумерных циркулярных квантовых точках с нечетным числом электронов [25].
Функции -Р(уо) и С(/э) удовлетворяют двумерному радиальному уравнению Дирака:
= £Фе,Ар)> =
Мр),
/1-1 ¿ +
Яо
р
3 (1 \ р <1р
р (1р Ч
(5)
-1 -
Р'
которое с точностью до обозначений совпадает с системой для радиальных функций в трехмерной задаче [26]. Однако в двумерном случае возможно значение .1 = 0, а также полуцелые значения .1 = = то+ 1/2, то = 0, ±1,±2,....
Вопрос о глубоких уровнях (т.е. об уровнях с энергией, сравнимой с шириной щели) системы (5), который для примесных полупроводников, по-видимому, впервые рассматривался в работе [27] (см. также [28]), в уравнении Дирака с зарядом ядра Z > 137 был поставлен в пионерской работе [29] и подробно обсуждался в работах [20] и в обзоре [21]. Для низшего состояния с «/ = 1/2в [11] вычислено, в частности, критическое значение дсг = Zcrap, т.е. то значение заряда, при котором данный уровень достигает границы нижнего континуума решений уравнения (5). Обсуждается также вопрос о возможной экранировке заряда примеси при </ > дсг за счет рождения электрон-дырочных пар по аналогии со сценарием, рассмотренным в [21]. Однако основным в двумерной кулоновской задаче является уровень с J = 0. Именно он первым опускается до границы нижнего континуума. Наша работа посвящена обсуждению свойств преимущественно этого состояния. Отметим, что уравнение (5) с .1 = 0 определяет также спектр энергий примесных состояний в оптических и экси-тонных изоляторах [28].
Задача поставлена, если наряду с системой (5) указаны физически приемлемые граничные условия для волновых функций. В данном случае это эквивалентно самосопряженности соответствующего дифференциальному выражению Но гамильтониана, действующего в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций с эрмитовым скалярным произведением
/•ОО
(ФЬФ2) = / {адад + сг1(р)с2(р)}д,р.
Поскольку кулоновский потенциал Ус (р) вымирает на больших расстояниях, значениям е > 1 отвечает верхний континуум решений уравнения Дирака,
значениям е < —1 — нижний континуум, а области — 1 < е < 1 — дискретный спектр. Полагая
г = 2Ар, А = у/1 -е2 > 0, сг = л/- > 0 (6)
и следуя [26], получаем убывающее на бесконечности решение уравнения (5):
^ = суТ^е-г/2г<т |ф( Т (7-|)ф(а+1,с;г)|.
а, с; г)
(7)
Здесь С - постоянный множитель, Ф(а, с; г) - функция Трикоми [30] с параметрами а = а — ед/Х, с = = 1+2<т, а верхние (нижние) знаки относятся к функции Р(С).
На малых расстояниях решение (7) имеет структуру
->• 0) = с А иаР°
+ <т,
°Ф о,0,
(8)
где
М±<т =
^Т2(Т)(2А)е (9)
Г (1т <7- ТЧ)
(При <т = 1/2, 0 в асимптотике (8) появляются логарифмические слагаемые.)
Поскольку собственные значения дифференциального оператора Но могут быть сколь угодно большими, отвечающий ему оператор Н является неограниченным. В соответствии с теорией фон Неймана таких операторов (см. также работу Кейза [31]) приходим при 0 < а < 1/2 к условию
М-<7 \и-а) 2 2
(10)
При 1/2 < а < 13\ реализуется так называемое встроенное граничное условие и для энергии справедлив двумерный аналог формулы Зоммерфельда (см., например, равенство (4.19) работы [6], в котором следует положить а —> </ > 0, М = 1, 7(^7) = \/^ — </2, 7 0). Условие (10) определяет ассоциированное с дифференциальным оператором Но однопараметри-ческое семейство самосопряженных операторов Неа ■
Если же </ > |.7|, то вместо (10) имеем
= 1т0т(7)=О, (И)
и-т \ ит /
т = \/q2 — J2 > 0, где амплитуды и±т получаются из (9) заменой <т —> гт. Отсюда следует, в частности, уравнение
argT
2 г
(п) Qcr
-.Р
(п) Qcr
- J2 х
х In - 6>T( J) + nn, n = 0,1, 2,... (12)
(n) Г7
для критического заряда qcr = Zcrap, при котором ??-й уровень с заданным квантовым числом J достигает границы нижнего континуума.
Таблица 1
Значения критического заряда q^ (J) = Z(./)*->■ ,
при которых низший (п = 0), и первый возбужденный, (n = 1), уровни с данным значением J достигают границы нижнего континуума при радиусе обрезания R = 1/25
R = 1/25 J = 0 J = 1/2 J = -1/2
Qcr{J) 0.61 0.87 1.09
Яхуг {J) 1.64 1.54 1.82
Равенства (10) и (11) определяют необходимые граничные условия для решений системы (5). Чтобы фиксировать параметры 6а(1) и 0Т(1), требуются дополнительные физические соображения. Согласно Померанчуку и Смородинскому [29] нужно рассмотреть кулоновский потенциал, модифицированный на малых расстояниях (р < До <С 1):
VR0(P) = -jr
-Ко
До/а р > До, Яр/До), P<RO-
(13)
Уравнение (5) с заменой Ус(р) —> Уц0(р>) имеет аналитическое решение для /(р/До) = 1. В этой модели, полагая для краткости До = Д, при .1 ф 0 получаем
tgMJ) =
(J + a)[qJTl/2±j{q) Т {J- a)J±i/2±j(g)] " (J-a)[qJTl/2±j(q)T(J + v)J±l/2±j(q)}Ra '
где Л/(</) - функции Бесселя, а верхние (нижние) знаки отвечают J > 0 (J < 0).
При q > | ,7| >0, полагая здесь а = гт, приходим к равенству
exp[2i6»T(J)] =tg0iT(J), т = vV -J2 > 0. (15)
В случае J = 0 даже при замене Vc (р) —> Vr0(p) остается неопределенность
ехр(2г0т) = exp ^2iqln - , Imtf0 = 0, (16)
причем
Д=Дое-л, /п= I /{х)сЬ.
.] о
Вместе с тем можно показать, что = 0. Это равенство следует из требования, что при выключении взаимодействия дискретные уровни из спектра исчезают, т.е. £J=o(q) —> 0 при д —> 0. Заметим, что при значении J = 0 аналитическое рассмотрение возможно при любой форме модификации кулоновского потенциала на малых расстояниях. При этом зависимость £J=o{q) энергии, в том числе основного состояния, от заряда определяется из уравнения
(1-е - гА)(2А)*9Г(—2г</)Г (1 +'щ -(1 - е + гА)(2А)-^Г(2гд)Г (1 -'щ - ~
= ехр
(17)
при всех 0 < q < qcr.
Уравнение (12) с учетом равенств (14)—(16) определяет критическое значение заряда </сг(./; Щ в зависимости от квантового числа .1 и радиуса обрезания Д (см. табл. 1), а уравнения (10) и (11) с учетом (14) и (15) - зависимость энергии е/(</, Д) от заряда при заданном радиусе обрезания (см. рис. 1). Таблица 2
(14)
Рис.1. Зависимости значений низшего уровня энергии е(д, 3\ К) от заряда д = Za-p при радиусе обрезания кулоновского потенциала К = 1/25 для разных значений квантового числа J
демонстрирует зависимость от величины радиуса Д критического заряда для основного уровня, а рис. 2 -его энергии согласно (17).
Рис. 2. Зависимость значений основного уровня энергии е(д; J = 0; К) от заряда д = Za-p при различных радиусах обрезания кулоновского потенциала К (слева направо К = 1/75, 1/50, 1/40, 1/30, 1/25)
Таблица 2
Значения критического заряда для основного ((/,'У) и
первого возбужденного уровней с полным
моментом J = 0 при различных радиусах обрезания
R 1/25 1/30 1/40 1/50 1/75
0.61 0.56 0.51 0.47 0.42
¿1\о) 1.64 1.56 1.44 1.36 1.23
Параметры ea{J) и 0T(J) полностью определяют энергетический спектр и стационарные волновые функции задачи (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.