АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 84, № 6, с. 483-486
УДК 524.834
О ЛАГРАНЖЕВОЙ ТЕОРИИ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ
© 2007 г. В. Н. Строков
Астрокосмический центр Физического института им. П.Н. Лебедева, Москва, Россия Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный, Россия
Поступила в редакцию 15.12.2006 г.; после доработки 27.12.2006 г.
Показано, что для одной среды гидродинамический и полевой подходы в теории космологических скалярных возмущений эквивалентны. Даны соотношения между переменными, введенными в работе Лукаша, работах Бардина и др. и работе Чибисова и Муханова.
РАС Б: 98.80.Jk, 95.30.Sf
1. ВВЕДЕНИЕ
В линейной теории первичных космологических возмущений метрический тензор и тензор энергии-импульса материи разбиваются на
фоновую и возмущенную часть [ 1 ]: = д$ +
+ , = Т$ + 5Т^. Такое разбиение на фон и возмущение, очевидно, неоднозначно. Производя малые преобразования координат, мы получим новый фон и новое возмущение. В данной системе отсчета мы можем получить возмущения, которые не являются физическими, а появляются в результате выбора системы отсчета. Чтобы избежать таких нефизических возмущений, используют калибровочно-инвариантные переменные. Уравнения, описывающие эволюцию калибровочно-инвариантной переменной, выводятся из возмущенной части уравнений Эйнштейна и свойств материи. Ясно, что одних уравнений Эйнштейна недостаточно, чтобы решить динамическую задачу, так как они без указания на физику только связывают между собой возмущения метрического тензора и тензора энергии-импульса. Для получения динамического уравнения нужно физическое соотношение. Например, это может быть соотношение между возмущениями давления и плотности энергии, что соответствует гидродинамическому подходу. Мы также можем написать достаточно общий лагранжиан поля р (р является потенциалом 4-скорости материи), и это будет соответствовать полевому подходу. Первый обычно подразумевает уравнение состояния материи, а второй используется при рассмотрении возмущений в моделях инфляции. Любой из двух подходов позволяет получить динамическое уравнение и лагранжиан возмущений. При этом
как уравнение, так и лагранжиан возмущений не зависят от применяемого подхода.
Далее мы даем основные результаты лагранже-вой теории скалярных возмущений [2] без вывода. Мы показываем эквивалентность гидродинамического и полевого подходов для одной среды. Затем даются соотношения между переменными, введенными Лукашом [2], Бардиным [3], Бардиным и др. [4] и Чибисовым и Мухановым [5].
2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ
КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНОГО ОПИСАНИЯ
Ниже мы будем работать с фоновой геометрией Фридмана—Робертсона—Уокера:
(1в2 = (И2 — а2(хг(хг = а2((1г]2 — йхгйхг), (1) Т^ = (е + р)п^пи — рд^.
Фоновый метрический тензор имеет вид = = diag(1, —а2, —а2, —а2), плотность энергии е и давление р являются функциями времени. Фоновая 4-скорость есть и = (1,0,0,0), скорость света с принята равной единице, п есть конформное время, йп = М/а. Ниже мы опускаем индекс (0) для фоновых величин.
Уравнения для масштабного фактора а^) есть уравнения Фридмана:
- 87Г(Ч (2)
Н2
3
- Н 7 = ~Р = 2У1 + е
484
СТРОКОВ
где Н = а/а = а'/а2 — постоянная Хаббла, а С— гравитационная постоянная. Точка и штрих обозначают производные соответственно по физическому времени £ и по конформному времени п.
Скалярные возмущения метрики в общем случае могут быть выражены через четыре потенциала [6] А, В, С и Б:
Ъ =
2Б С г
С\г 2а2(А6г3 + В гц)
Потенциал А есть возмущение масштабного фактора: А = -5а/а.
Возмущения тензора энергии-импульса выражаются через другие четыре потенциала и, 5е, 5р и Е:
5Т00 = 5е, 5Т0 = (е + р)и,, -5Тг = 5р5гу + (е + р)аг3,
1
=
(Е,г3 - АЕ5г3), а3^ = 0,
и
Н
а2В С =
А-Ф
н '
Б = ^д -
(И
Н
А Н
5ес = 5е — еи =
ДФ 4тгСа2'
Н
Ф = — / а-у(д + Е)сМ,
(11)
(4)
(5)
4 ~ 2а2Н2
где Е представляет собой анизотропную часть давления, а и есть потенциал 3-скорости:
пи = (1 + Б,и г). (6)
Таким образом, у нас есть четыре гравитационных потенциала А, В, С, Б и четыре потенциала материи и, 5е, 5р, Е. Все из них, кроме Е, калибровочно-неинвариантны. При малых преобразованиях координат х^ — х^ + эти потенциалы меняются. Два из восьми потенциалов произвольны, они соответствуют выбору калибровки (произвольный вектор в скалярном представлении имеет вид = Еп^ + Н,м). Однако из этих потенциалов можно построить бесконечное количество калибровочно-инвариантных комбинаций.
Потенциалы А, В, С, Б, и, 5е, 5р, Е не являются независимыми. Они связаны через возмущение уравнений Эйнштейна в первом порядке:
5СЧ = 8пС5Т(7)
Естественная калибровочно-инвариантная комбинация, называемая д-скаляром [2], — это комбинация гравитационного потенциала А и потенциала скорости и:
д = А + Ни. (8)
Обратные преобразования от поля д к первоначальным потенциалам выглядят следующим образом:
д А 5рс = 5р -ри = ^г~д, (9)
где 5рс и 5ес есть калибровочно-инвариантные комбинации возмущений соответственно давления и плотности энергии. Первое уравнение в (11) — это фактически релятивистское уравнение Пуассона. Из обратных преобразований видно, что Ф и Е калибровочно-инвариантны.
Предыдущий анализ является общим и не зависит от физических свойств материи. Однако, чтобы ввести динамику, нам необходимо дополнительное соотношение между величинами, относящимися к материи (например, между 5рс и 5ес), т.е. нужно задать ее физические свойства. Есть две возможности: можно использовать или гидродинамический подход, чтобы связать 5рс и 5ес, или полевой подход, т.е. написать какой-нибудь лагранжиан материи для потенциала 4-скорости среды. Далее показано, что оба подхода эквивалентны в данной задаче. Ниже мы рассматриваем только одну среду. Мы также предполагаем отсутствие анизотропных давлений. Таким образом,
Н
Е = О, Ф = — а-удсМ. (12)
Гидродинамический подход. В гидродинамическом подходе мы предполагаем следующее соотношение:
5рс = в (Ь)5е,
(13)
где в(£) — функция времени. Следовательно, из (9) и (2) получаем:
5ес = а Нд, а =
2 _ 1
4пСв2
(14)
(10)
Соотношение (13) означает, что есть только одна среда, и мы описываем ее возмущения. Как только (13) выполнено, уравнения (11) и (14) немедленно дают:
Чв-2а3д = ! а^АдМ. (15)
После дифференцирования последнее соотношение дает уравнение, описывающее эволюцию д-скаляра:
+ (Ш + 2а) 4 ~ (а) Ад = (Ш)
Уравнение (16) может быть получено из действия [2]
<%] = \/а2(^2~ (а) =
(17)
(
О ЛАГРАНЖЕВОИ ТЕОРИИ
485
(аа)2 (д'2 — 02д,гд'г) йп^х.
Так как обратный путь от уравнения к лагранжиану дает лагранжиан с точностью до умножения на число, мы можем убедиться, что (17) содержит правильный коэффициент, если посмотрим на лагранжиан в каком-нибудь асимптотическом случае, например, в пределе малых шкал (частота звуковой волны ш ^ Н и скорость звука с3 ~ в). В этом приближении д ~ Ни, д ~ Ни и 5ес ~ 5е. Используя соотношения
5е е + р
С2
а
—V,
(18)
где V — гидродинамическая скорость в звуковой волне, мы имеем следующую цепочку равенств:
Ь[д\ = -(аа)2Ы2-13%д'г) =
(19)
= ^аН)2
2
— с2(Уи)2
а4
Т
2 бе2 . . 2 са—:--(е + p)v
'е + р
Соответствующая плотность энергии в сопутствующем объеме дается формулой:
бе2
е
+ (е + рК
С = С(ф, и).
п =
ОС
ди'
и =
бф ф
и, следовательно, следующее соотношение между бес и 5рс:
бес п, ш иби — п бф брс пби — пи; и-1бф п и и д2С
= С-2(Ф,и).
п
п ди2
Для линейных возмущений функция с32(ф,и) должна быть взята в нулевом порядке, в котором она зависит только от времени, т.е. с-2 = с-2(1). Это доказывает, что фоновые функции идентичны (с3 = в) и, значит, оба способа (т.е. (13) и (22)) вывода уравнения (16) также идентичны.
В полевом подходе можно получить лагранжиан возмущений путем прямого разложения действия для гравитирующего скалярного поля до второго порядка по возмущению. Стандартное действие имеет вид
= / ОС - Т¿£Д)(-<7)1/2<*4Я, (25)
где К — скалярная кривизна. Возмущая переменные в линейном порядке (д^ — + Н^, Ф — ф + ии) и разлагая (25) до членов второго порядка, получаем действие для возмущений (члены, являющиеся полными дивергенциями, опущены):
б(2 5 ] = —
1
64пО
Кв-а Н — (26)
(20)
е + р
Последнее выражение есть в точности плотность энергии в звуковой волне [2, 7].
Полевой подход. Мы предполагаем, что Вселенная заполнена скалярным полем ф. Связь последнего с 4-скоростью (6) следующая:
«„ = —> (21)
и
где и2 = ф, цф, и. Плотность лагранжиана скалярного поля можно взять в достаточно произвольной форме [2, 8]:
-ги.Ь'
— Н +
х (—д)1/2йАх + ^ J пи) [иьк + Х2(с-2 — 1) + т2и2 + 2ГиХ (—д)1/2(4х,
дС
пту = -т—, V,
дф
(ии)
би
т2 = —
» -и) д2С
п дф2
X
ии и д2
Г
п дидф
(22)
Имея лагранжиан материи (22), мы получаем тензор энергии-импульса, а именно,
е = пи — С, р = С, (23)
(24)
Здесь /ъ= }ъ— ^д^Ь,— так называемый тензор
с обратными следом: Н = ]г а = —¡г = —Ъ?а. Операции поднятия и опускания индексов выполняются с помощью фоновой метрики .
Переменная д является выделенной, так как после связи всех потенциалов через уравнения (9), (10), (11) и подстановки д-скаляра (8) в разложение (26) получим очень простое действие для возмущений (17) (полные дивергенции опущены), где д входит как пробное безмассовое поле.
3. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ д, ( И Ф
Переменные £ и Фн были введены Бардиным [3] и Бардиным и др. [4]. Они выражаются через д и Ф следующим образом:
_ 2Я~1Ф + Ф + ф _ ]_<!_ /аФ
3 1 +и)в а'у (М \ Н
= д, (27)
X
с
486
СТРОКОВ
Фн = Ф,
где (см. (3))
р 3
и)В = -, 7 =-(1+ гив). е2
Очевидно, £ совпадает с д, введенным в общей форме в уравнении (8).
В работе [9] динамическое уравнение (уравнение (5.22) в [9]) было написано в переменных Ф и
у(аг). в тех обозначениях переменная д [2] выглядит так:
д = Ф + Ни(дг),
где
Ъ = A -
(B' - C)a'
(28)
(29)
v
(g)
= и + a(B' - C).
Идентичность (28) и (8) очевидна, если подставить (29) в (28).
4. ВЫВОДЫ
Теория космологических скалярных возмущений может быть построена в довольно общей форме (формулы (1)—(11)). Чтобы получить лагранжиан для возмущений и ключевое динамическое ур
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.