ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 453, № 1, с. 17-19
МАТЕМАТИКА
УДК 512.81
О ЬР-АЛГЕБРАХ © 2013 г. С. Т. Садэтов
Представлено академиком В.В. Козловым 20.01.2013 г.
Поступило 14.02.2013 г.
БОТ: 10.7868/80869565213230060
ЬБ-алгебры с 1, или алгебры Ли с умножением на подполе, были введены и использованы в [1, разделы 2—4] для доказательства ослабленной в [1] гипотезы Гельфанда—Кириллова [2, 3].
В данной работе алгебры Ли с умножением на поле обобщены до понятия, над которым возможны естественные операции факторизации, локализации по коммутативному идеалу и некоторого расширения. В частности, существует полупрямая сумма по представлению: ЬБ-алгебры на алгебре Ли.
В разделе 6 на ЬБ-алгебры обобщены понятия алгебры Пуассона (универсальной обертывающей алгебры), теоремы Пуанкаре—Биркгофа—Витта и функтора (из [4, §2.2]) и, с естественными изменениями, остальные конструкции, необходимые для доказательства в редукции гипотезы, — к связке точной алгебраической ЬБ-алгебры Гейзенберга и полупростой алгебры Ли.
1. Обозначения. Для алгебры Ли , поля О и алгебры А (Ли, ЬБ-, или Пуассона) пусть zf обозначает центр, аё^ — присоединенное представление, А — подалгебру инвариантов для представления. Если алгебра Ли определена над полем О, то это обозначается в индексе: Ю Если алгебра А является левым О-пространством, то ёегОА обозначает алгебру Ли дифференцирований алгебры А над полем О. Пусть V* обозначает сопряженное пространство к линейному пространству V, а ~[=] — рациональный изоморфизм расслоений (со структурой алгебры Ли), в разделе 7 — в более слабом смысле: как многообразий [Пуассона].
2. Определение ЬБ-а л г е б р ы.
Определение 1. Пусть ^ — алгебра Ли и О)
О-линейное пространство (О-). И пусть Н) р: ^ ^ ^ ёегО является О-линейным гомоморфизмом алгебр Ли, согласующим структуры для любых а е О и Ь, с е ^ формулой Лейбница: Ье)
аёс(аЬ) = [р(с)а]Ь + ааёсЬ.
Тогда будем называть ^алгеброй Ли с умножением на поле О или ЬБ-а л г е б -рой. Обозначение р, коротко или ^ (см. рис. 1).
Определение 2. Подалгеброй, идеалом ЬБ-а лгебры называются О-линейные подалгебра Ли, идеал Ли.
Следствие 1.
а) Ядро Кегр является алгеброй Ли (Кегр)О.
б) Идеал в р, отличный от лежит в Кегр.
Определение 3. ЬБ-алгебру р будем называть простой, если она не содержит нетривиальных идеалов и для любого расщепления из раздела 5
^/Кегр ~ О ®р |
подалгебра Ли проста.
3. ЬБ-алгебры с единицей 1.
Определение 4. ЬБ-алгебра р называется алгеброй Ли с умножением на подполе О или ЬБ-алгеброй с единицей 1, если и) в линейном пространстве с ^Кег р (рис. 1)
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Рис. 1. ЬБ-алгебра ^о р. Разложение Леви для Кег р. Центр
2
17
18
САДЭТОВ
exp p(f)
Mg
Рис. 2. Декартово произведение [псевдо-] действий группы Ли exp f.
вне 0 выбрана единица 1 : 1 • 1 = 1, задающая на подпространстве G1 структуру поля, естественно отождествляемого с полем G отображением
а -— а ■ 1 для любых а е О.
(В [1, разделы 2, 3] рассматриваемая структура G• названа левой).
Следствие 2.
а) [G1, G1] = 0,
б) [$, G1] с G1,
в)
G Ö р(b) X i для b е $. G • 1 Ö adb
4. Размерность.
Определение 5. Размерностью LF-алгебры $G называется размерность dimG[^G/G].
В разделах 6, 9—12 все объекты определены над полем характеристики нуль, все LF-алгебры предполагаются конечномерными, а их поля умножения над полями инвариантов конечнопо-рожденными.
5. Конструкция расщепимых LF-алгебр. Для поля G, алгебры Ли f, представления р: f Л der G, некоторого линейного пространства V и некоторого точного представления т: f Л gl(V) рассмотрим на рис. 2 сумму р + т:
f л der [ G ® V].
Предложение 1. На образ суммы слева натянута LF-подалгебра
G ® f - G(р + т)(f) =: (G ®р f)
G'
6. От LF-алгебр с 1 к LF-алгебрам.
Следствие 3. С техническими изменениями формулировок, перечисленными в разделе 12, на LF-алгебры переносятся следующие определения и утверждения из [1, разделы 2, 4—9]:
1) Предложение 1: инвариантный идеал Ли ядра Kerp является идеалом LF-алгебры;
2) Предложение 2 об алгебраическом расширении.
2^) Определения алгебры Пуассона [универсальной обертывающей Н(-)];
3) Предложение 3 о продолжении гомоморфизма;
4) Предложение 4, обобщающее теорему Пу-анкаре—Биркгофа—Витта;
5) Предложение 5. Пункты:
A) о продолжении вложений;
Б) о разложениях (при алгебраическом расширении) в косое тензорное произведение;
B) о том, что Н(-) является ассоциативным кольцом Оре с единицей и без делителей нуля;
Г) о выполнении Б) для локализации: тела Ли.
6) Лемма 1 о разложении [Н(-)] в тензорное произведение.
7. Рациональный изоморфизм LF-алгебр.
Определение 6 [6]. Будем называть LF-ал-гебры g и $ [некоммутативно] рационально изоморфными, если некоторые локализации алгебр Пуассона ^(Q), [универсальных обертывающих алгебр H(Q), Н($)] являются изоморфными.
8. Гомоморфизм и расширение LF-а л г е б р ы.
Определение 7. Гомоморфизмом т: $G, а Л Л eG,р LF-алгебр называется G-линейный Ли-гомоморфизм, для которого надстроенная диаграмма
derG
т \
$ Л е
коммутативна.
Определение 8. Расширением LF-а л г е б р ы eG посредством LF-алгебры jG называется LF-алгебра $G, включаемая в точную последовательность гомоморфизмов
j л $ л е.
9. Пуассоново многообразие. Для LF-алгебры $G рассмотрим класс бирациональ-ной эквивалентности многообразий, определяемый алгеброй Пуассона над подполем G$ инвариантов согласно задаче 24 из [5, §1.7].
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 453 № 1
2013
О LF-АЛГЕБРАХ
19
Пусть Mjj обозначает являющуюся G-линей-ным пространством одну из минимальных моделей класса.
10. Разложение LF-алгебры дифференцирований der в полупрямую сумму.
Теорем а 1.
а) для LF-алгебры \G существует подалгебра Ли
d -— derG, такая что имеет место полупрямая сумма Ли
deri = (derGj) н d; (1)
б) алгебры Ли в (1) допускают естественную структуру LF-алгебр:
и алгебры Ли:
( der G )G, dG, ( der] )e
( derG ï )G
в) H в (1) является связкой согласно разделу 11.
11. Представление LF-алгебры.
Определение 9. Представлением
LF-а л г е б р ы CG на алгебре Ли iG называется гомоморфизм LF-алгебр С -— deri.
Теорема 2 (о существовании). Полупрямая сумма LF-алгебры CG с алгеброй Ли \G по представлению т существует.
Определение 10. При 1тт ç d и i ° т = а представление т LF-алгебры CG, а на алгебре Ли iG будем называть с в я з к о й.
12. Изменения к [1, разделы 4—10] при переходе от LF-алгебр с 1.
D1) Вместо подалгебр согласно определению 5 из [1, раздел 5] рассматриваются подалгебры CG согласно определению 2. При 1 £ CG :
D2) В определении алгебры Пуассона ^(С) [универсальной обертывающей П(С)]: в порождающие идеала /С ] из [1, разделы 6, 5] добавляются коммутационные соотношения между LF-алгеб-рой и полем:
С') ba = ab[+p(b)a] для любых a е G и b е С;
D3) В качестве базиса {ea} из [1, раздел 8] берется базис в линейном пространстве G такой, что e0 е k\0;
D4) в формулировках примера 4D и обобщения теоремы Пуанкаре—Биркгофа—Витта рассматривается левый базис "i)", в котором
при V = V2 = ... = v„ = 0 (2)
берется только e0 ;
D5) В предложении 5 и лемме 1 "лакуна (2) заполняется" заменой ^(С) [П(С)] на
G^(с)- G + ^(С) = ^(G -| р С)
[GU(С) = G + Ü(С) = Ü(G-\ р С)].
Здесь равенства вытекают из отождествления единиц в [1, раздел 5, 6].
Автор глубоко благодарит Э.Б. Винберга за прочтение шести работ и многие полезные замечания. Двумя работами, в том числе данной, автор обязан Э.Б. Винбергу: в 2000 г. он акцентировал внимание на возможных обобщениях следствия 3'' из [6, §2]. В 2004 г. при нахождении истоков возникшей из теории динамических систем редукции и доказательства ослабленной в [1, введение] гипотезы Гель-фанда—Кириллова Э.Б. Винберг отмечал незавершенность понятия.
Автор благодарит Математический институт университета г. Бонна за гостеприимство и Немецкую службу академических обменов (DAAD) за стипендию A/04/06212.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Садэтов С.Т// ДАН. 2005. Т. 405. № 5. С. 604-608.
2. Гельфанд ИМ, Кириллов А.А. // ДАН. 1966. Т. 167. В. 3. С. 503-505.
3. Gelfand I.M., Kirillov A.A. // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1967. V. 31. P. 5-19.
4. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978. 407 с.
5. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988. 344 с.
6. Садэтов С.Т. // Функцион. анализ и его прил. 2007. Т. 41. В. 1. С. 52-65.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 453 № 1 2013
2*
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.