ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 5, с. 414-423
= ТОКАМАКИ
УДК 533.9.01
О ЛОКАЛЬНОЙ ИЗОДИНАМИЧНОСТИ В ТОКАМАКЕ
© 2013 г. А. А. Сковорода
НИЦ "Курчатовский институт", Институт физики токамаков, Москва, Россия
e-mail: skovorod@nfi.kiae.ru Поступила в редакцию 25.05.2012 г. Окончательный вариант получен 01.10.2012 г.
Показано, что нет запрета на локальную изодинамичность (постоянство модуля магнитного поля на одной магнитной поверхности) на периферии токамака у сепаратрисы с внутренней Х-точкой. Изо-динамический слой из нескольких магнитных поверхностей в токамаке невозможен из-за малости запаса устойчивости q и предопределенности формы поверхностей. Слоистая и глобальная изодинамичность возможна в пинчевых конфигурациях с малым q (конфигурации Палумбо).
DOI: 10.7868/S0367292113050090
ВВЕДЕНИЕ
Термин изодинамичность введен Палумбо [1] и обозначает постоянство модуля магнитного поля B на равновесной магнитной поверхности. Палумбо доказал существование изодинамичных во всем объеме удержания равновесных аксиально-симметричных тороидальных конфигураций с током. Конфигурации Палумбо оказались МГД-не-устойчивыми, имели B = 0 на магнитной оси и не представляли по этим причинам практического интереса в качестве магнитных ловушек для УТС.
Конфигурации Палумбо интересны в теоретическом плане, поскольку дают пример общего решения уравнения Грэда—Шафранова без конкретизации формы граничной магнитной поверхности, зависимостей B = B (у), давления p = p (у) и тока F = F (у). Бишоп и Тейлор [2], изучая вопрос о существовании специальной "degenerate" конфигурации с тороидальными магнитными поверхностями, соответствующими более чем одному плазменному равновесию (как в цилиндре), нашли ее совпадающей с конфигурацией Палумбо. Бернардин и др. [3] исследовали изодинамичность различных симметричных конфигураций: аксиально-симметричный тор, винтовая конфигурация с прямой осью и винтовая конфигурация с винтовой осью. Помимо решения Палумбо для тора была обнаружена возможность изодинамич-ности в конфигурациях с прямой осью и однородным магнитным полем на магнитной оси. Изоди-намические конфигурации с кривой осью и постоянным магнитным полем на оси имеют открытые (незамкнутые вокруг магнитной оси) магнитные поверхности. Авторы работы [3] приходят к выводу о потенциальной пригодности изодинамичности только для линейных "mirror" конфигураций. Из редких современных публикаций по изодинамичности упомянем работу [4].
В последнее время появилось понятие квази-изодинамичности. Оно введено Нюренбергом [5] для обозначения инновационной конфигурации стеллараторов с замкнутыми вокруг магнитной оси изомагнитными контурами B = const на равновесных магнитных поверхностях. Это понятие непосредственно связано с такими геометрическими характеристиками 3D магнитного поля, как квази- и псевдосимметрия (подробнее см., например, в [6]).
Обращение в настоящей работе к изодинамич-ности в аксиально-симметричном торе продиктовано надеждой получить локальную (на одной магнитной поверхности) изодинамичность (ЛИ) в токамаке. При ЛИ дрейф заряженных частиц плазмы осуществляется точно по магнитной поверхности, что может способствовать образованию барьера для потерь плазмы на периферии токамака. Поскольку устойчивая работа токамака возможна только при достаточно большом запасе устойчивости на периферии q > 1 (малом вращательном преобразовании ц = q<§ 1), то вопрос о вращательном преобразовании при условии изо-динамичности становится актуальным.
В разд. 2 мы воспользуемся результатами работ [1, 2] для более детального изучения особенностей запаса устойчивости в "degenerate" конфигурациях. Мы увидим, что q равно нулю на магнитной оси и приближается к единице только возле экзотической сепаратрисы с Х-точкой на главной оси тора. Рассмотрение изодинамичного слоя (несколько соседних изодинамических магнитных поверхностей) приводит только к выбору из предопределенного набора форм поверхностей Палумбо с малыми значениями запаса устойчивости. Поэтому единственной возможностью для токамака является ЛИ, рассмотрению которой посвящается третий раздел статьи.
z 1.0
q
0.5
-1.0
Рис. 1. Магнитные поверхности Палумбо при с = 0.6; 0.85 и 0.9089 (сепаратриса 2Е = К). с = 0, г = 1 - магнитная ось.
0.8 с
Рис. 2. Профиль q конфигурации Палумбо.
2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В КОНФИГУРАЦИИ ПАЛУМБО
Пионерская фундаментальная работа Палумбо [1] малодоступна (близкое к оригиналу краткое изложение можно найти в книге [6]) и сложна в использовании из-за отсутствия многих деталей получения формул. Поэтому мы вынуждены были повторить вывод, непростые детали которого приводим в Приложении 1. Совсем другой подход использовался в работе [2].
На рис. 1 показаны "degenerate" магнитные поверхности из работы [2], совпадающие с магнитными поверхностями Палумбо [1], построенные по формулам (см. Приложение 1),
(1)
г = 2 RK (с)А 2 ^ -1 + с2 cos2 0, п \ K (с)
z = ПRK(с)fE(0,с) -§МF(0,с)
п I K (с)
= 2 RK (с) Z (0, с), п
где с — метка магнитной поверхности, E, K, E, F — полные и неполные эллиптические интегралы, Z — дзета-функция Якоби, R — радиус магнитной оси.
Заметим, что набор форм изодинамичных магнитных поверхностей предопределен и не зависит от выбора конкретных зависимостей давления и тока от с. Запас устойчивости оказывается тоже предопределенным,
= п-11
I-12E - 2 + с2)(2E -1)(2E -1 + с2 W0
K
K
K
>
(2 E -
K
1 + с cos' !0W 1 - с2 sin 0
•• (2)
На магнитной оси, при с = 0 имеем q = 0. На рис. 2 показана рассчитанная по формуле (2) зависимость q = #(с). Видно, что запас устойчивости не превышает единицы. Мы приходим к выводу, что конфигурации Палумбо не имеют отношения к токамакам. Более того, в токамаке невозможно получить слой изодинамических поверхностей. В слое можно ввести координаты по методу Па-лумбо, повторить решение уравнения равновесия и прийти к тем же универсальным решениям с малым значением запаса устойчивости.
3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ ИЗОДИНАМИЧНОСТИ
Аксиальная симметрия тора гарантирует существование семейства вложенных магнитных поверхностей и возможность введения магнитных потоковых координат ф, 0, £, в которых в качестве радиальной координатной поверхности выступают поверхности постоянства тороидального магнитного потока ф, а угловые координаты вводятся произвольно. Наше изучение ЛИ основано на потоковом и токовом представлениях магнитного поля токамака при использовании в качестве £ тороидального угла [6]
2nB = (i + dj) Уфх V0 + Vy х VZ, 2nB = F (ф) VZ + (j (ф) + ^V0 + Vфfдф - v^
50/
5ф
(3)
Здесь п, Ф, V — координатные периодические функции с нулевым средним значением, Е и / — внешний полоидальный и тороидальный токи.
q
0
Из (3) следует часто используемое комбинированное представление магнитного поля токамака 2nB = VyxVZ + FVC,. (4)
Для демонстрации продуктивности представлений (3) в Приложении 2 приводится вывод выражения (2) для запаса устойчивости конфигурации Палумбо. Другой пример — вывод из представления (4) необходимого и достаточного условия для
"degenerate" равновесия |Vy|2 = а (у) + р (у) г2, полученного в [2]. Достаточно возвести (4) в квадрат, чтобы прийти к универсальному выражению для цилиндрического радиуса r магнитной поверхности токамака
F2 + |W|2
4п2В 2
(5)
J + ■
1Ы
(6)
50
1 + дц = (7)
59 r |Vy| ' В изодинамическом случае B = const из (5) имеем
-1,
(8)
q = ■
2п
_ Г_
2п 0 (1 — s cos е))A2 (1 — s cos е)2 - 1
d е
(9)
cos 0 в первом сомножителе в знаменателе, получаем
_ 2sK(k)
(10)
п
При изодинамичности получается результат [2]. В Приложении 3 показано, что (5) естественно следует и из решения Палумбо.
Если известна форма равновесной тороидальной поверхности, то для определения всей геометрии магнитного поля на ней достаточно знать только распределение модуля магнитного поля [7]. Используя цилиндрическую систему координат с нулевым перекрестным матричным элементом g23 = 0, g33 = г и представления (3)—(5), выявляем следующие соотношения для величин, определяющих вектор магнитного поля:
где к2 = 4Ае/С, С = [А(1 - б) + 1] [А(1 + б) -1]. При к2 —1 (А —► (1 — б)-1) имеем логарифмическую
особенность К ~ ^1п | 16 _ |. Для б = 0.3 при А =
2 - к2)
= 1.42858, Г = 1.42858 • (2пВЯ), I = 0.263^ будет 4 = 1.384.
Таким образом, как и в конфигурации Палумбо, ЛИ с большим q тяготеет к сепаратрисе с положением Х-точки на внутренней стороне экватора тора. Изменение формы поверхности кардинально не меняет этот вывод. Это можно показать, задавая форму магнитной поверхности через магнитные функции В и |Уу| [8].
Форма ЛИ магнитной поверхности
В случае ЛИ форма поверхности определяется одной функцией |Уу|. Действительно, формула (5) непосредственно определяет радиус г через функцию |Уу|, а для координаты г имеется уравнение, вывод которого приводится ниже.
Представления (3) позволяют выразить угловые базисные векторы е2 = 5г/50, е3 = 5г/5^ через магнитные функции в инвариантном магнитном базисе Ь = В/В, 1 = (В х У у)/В |Уу| [6]
e 2 =
J+t0 NÍ1+it
_50,
2пВ
где r = r/R, A = 2nBR/F. Угловое усреднение (6) и
(7) позволяет определить константы J = J/F и q как функции параметра A (фактически F).
Характерные особенности поведения запаса устойчивости при локальной изодинамичности проще всего продемонстрировать на примере круглой поверхности Т = 1 -бcos9, z = ssin0 (е = a/R < 1). Из (7) находим
-3
2пВ
2пВ
eN t
2пВ '
(11)
и, следовательно, можно написать поверхностную метрику в виде
g 22 ='
ÍJ+fD2+Í'+l)2 и2
4п2В 2
g 23 =
J
Из (9) следует, что величину 4 > 1 при большом аспектном отношении (е ^ 1) можно получить, имея малую величину | Уу| в некотором диапазоне углов, т.е. при значениях А вблизи (1 - е)-1. Значение А = (1 - е)-1 соответствует сепаратрисе с положением Х-точки на внутренней стороне тора,
|Уу| (0 = 0) = 0. Пренебрегая в (9) слагаемым с
g33 =
if)-И ( +1)2
4п2В 2
F2 + И2 N2
(12)
4п2В 2
В принятых выше координатах и нормировках из условия g23 = 0 получаем при ЛИ
7+1=q ' Í1+d¿
дц
(13)
q
2 • п
п • 2
Рис. 3. Спрямляющий угол 9 * как функция цилиндрического угла 0.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.