ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ШАСИЧлК ОП
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 145, № 3
декабрь,2005
© 2005 г. Р. Р. Гадыльшин*
О ЛОКАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ
Приведены необходимые и достаточные условия возникновения собственных значений оператора Шредингера в полосах и цилиндрах при малых: локализованных возмущениях. Построены асимптотики собственных значений.
Ключевые слова: оператор Шредингера, волновод, возмущение, спектр, асимптотика.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе рассматривается возмущение квантового волновода, математической моделью которого является задача Дирихле для оператора Н^ := -(Д + цт) в п-мерном цилиндре П = (—оо, оо) х , где И С R" ~1 - односвязная ограниченная область с достаточно гладкой границей при п ^ 3 и интервал (о, Ь) при п = 2. Здесь и далее 0 < /ii < fi2 ^ • • • ~ собственные значения задачи Дирихле в области ii для оператора — Д' := — {д^/дх^л-----\-д2/дх^) прип ^ 3 и для оператора—Д' := — d?jdx\ при п = 2. Хорошо известно, что при возмущении волноводов может возникать малое собственное значение для ш = 1 (т.е. для В частности, в работах [1], [2] было показано существование такого собственного значения для слабо изогнутых волноводов, а в работе [3] была вычислена его асимптотика по малому параметру. В [3] также были приведены условия, при которых возникает собственное значение в случае возмущения волновода малым потенциалом, и построена его асимптотика. В [4] - [7] рассматривались локальные деформации волноводов. В [4] было доказано, что если среднее значение возмущения положительно, то собственное значение возникает, а если отрицательно, то собственного значения не существует. Кроме того, в двумерном случае была построена асимптотика возникающего собственного значения. Для трехмерного осесимметричного цилиндра асимптотика возникающего собственного значения (на физическом уровне строгости) была построена в [5]. В работе [6] было показано, что при п — 2 в критическом случае, когда среднее значение возмущения границы равно нулю, собственное значение может как возникать, так и не возникать. В работе [7] была построена асимптотика такого собственного значения в случае, когда оно все же возникает. В работе [8] были исследова-
* Башкирский государственный педагогический университет, Уфа, Россия. E-mail: gadylshin@bspu.ru, gadylshin@yandex.ru
ны вопросы возникновения собственного значения и его асимптотики при возмущении малым локализованным дифференциальным оператором второго порядка, к частному случаю которого сводится (помимо упомянутых выше возмущений) и слабое кручение волновода. Причем для последнего случая было показано отсутствие собственных значений.
В настоящей работе рассмотрено малое возмущение, которое представляет собой произвольный локализованный оператор второго порядка и частными случаями которого являются все упомянутые выше возмущения волноводов. По существу, мы развиваем подход, предложенный в работе [9], где было рассмотрено аналогичное возмущение оператора Шредингера на оси и дано простое объяснение "нерегулярного" (необязательного) появления собственных значений при, очевидно, регулярном возмущении.
Структура работы следующая. В разделе 2 дается формулировка основного утверждения, в разделе 3 - его доказательство. В остальных четырех разделах приведены некоторые примеры, иллюстрирующие основное утверждение работы и его следствия.
2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ н
Всюду далее /^¿С(П) - множество функций, определенных на П, сужения которых на любую ограниченную область £> С П принадлежат НЦБ), || • Цс и || • Ц^д - нормы в Ь2(С) и Н1 (б), соответственно. Далее, пусть С} = (—Я, Д)хП, где Д > 0 - произвольное действительное число, Ь2(П; С}) - подмножество функций из Ь2{П) с носителями из <3, - линейное отображение Я,оС(П) в Ь2(П; <3) такое, что ||£е[и]||д ^ С(£)||и||2,<э, где постоянная С (С) не зависит от г, 0 < £ « 1,
• «5«* - ._ I р ¿г I ЙКМ й!
Jп
Р<Ь.
Целью работы является исследование вопросов существования и асимптотик собственных значений задачи Дирихле для оператора := — еСЕ в цилиндре П:
^тЩт) _ Л(т)^(т) при х & П; ф(гп) =0 при х е 5П (2.1)~
Для простых Цт и малых комплексных к определим линейный оператор А^ (к):
:= £ ^ётт / (2-2)
,-=12К) >(к);п
где х' = (х2, ■ • •, хп), фз - ортонормированные в ¿2(Г2) собственные функции задачи Дирихле в области П для оператора — А', соответствующие собственным значениям К^т\к) = г^/цт - \х3 - к2 при] < т, К^\к) = киК^т\к) = у/щ - цт + к2 при > т. Далее, на функциях из Ь2(П; <5) определим оператор Т^т\к)-. Ь2(П;<3) —» Ь2(П;<?) как
Т<тНк)д := £е[А<тЧк)д] - ±(дфт)£е[фш]. (2-3)
360
p.p. гадыльшин
„аяог. о
Обозначим через В(Х, Y) (через В(Х)) банахово пространство линейных ограниченных операторов из банахова пространства X в банахово пространство У (в банахово пространство X), а через #hol(X, Y) (через $hol(A")) обозначим множество голоморфных операторнозначных функций со значениями в В(Х, Y) (в В(Х)).
В этих обозначениях из определения следует, что при малых к оператор
r¿m)(ifc) € Вш (12(П; Q)), а следовательно,
Sim\k) - {1-sT^ik))-1 etfhol(L2(II;Q)), S¡mHk) -4>qI, (2.4) где I - тождественный оператор. В свою очередь, из (2.4) вытекает
Лемма 1. Если цт - простое собственное значение задачи Дирихле для —А' в Í2, то при достаточно малых к уравнение
2к-£(фТп8<Г\к)СЕ[фт\) = Ъ (2.5)
имеет единственное решение kim\ причем
4т) = е\{ФМфт}) + Е2±(фтТ^№е[Фт}) + 0(е3), (2.6)
а если С£[фт] = 0, то ki™^ = 0.
Основным утверждением, доказательству которого посвящена работа, является следующая
теорема 1. Пусть \хт - простое собственное значение задачи Дирихле для—А' в íí, a k¡m) - решение уравнения (2.5). Тогда:
1) если СЕ[фт] — 0 или Refci"^ ^ 0, но ki™^ Ф 0, то не существует малого собственного значения краевой задачи (2.1);
2) если Rekim^ > 0, а при то ^ 2 дополнительно и > 0, то существует единственное малое собственное значение краевой задачи (2.1), и оно определяется равенством
4т) = ~(4т))2, (2-7)
а соответствующая единственная собственная функция имеет вид
4т) =Л(т)(^го))^т)(^т))£Л<Ат]; (2.8)
3) если то > 2, Rek[m) > 0, Imfc£m) <С 0, но
faS^ik^CcM = О (2.9)
при всех j = 1,... ,т — 1, то существует единственное малое собственное значение краевой задачи (2.1), определяемое равенством (2.7), а соответствующая единственная собственная функция имеет вид (2.8);
4) если то ^ 2, Rek{m) > 0, Irnkim) ^ 0, но
(ф^тЦк^)£г[фт])фО (2.10)
хотя бы для одного j ^ т — 1, то не существует малого собственного значения краевой задачи (2.1).
Непосредственно из теоремы 1 и из (2.6) вытекает
СЛЕДСТВИЕ. При выполнении условий 2 или 3 теоремы 1 собственное значение имеет асимптотику
*{ет) = -^-(фМфт])2 + 0{£% а если (фтСе[фт)) = о(е), то . г j>-, cj
4m) = -e4^^mTim)(O)£e[0m])2 + o(£4).
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОГО УТВЕРЖДЕНИЯ
Обозначим через Втет(Х, Y) (через Втет(Х)) - множество мероморфных оператор-нозначных функций со значениями в B(X,Y) (в В(Х)). Множество линейных операторов из банахова пространства X в Я,2С(П) таких, что их сужение на любое ограниченное множество D принадлежит В(X, H2(D)), обозначим как В(Х, Я,2С(П)). Через ВШ(Х, Н^С(П)) (через В'пет(Х, Я^С(П)) ) обозначим множество операторнозначных функций со значениями в В(Х,Н2ос{П)) таких, что для любого ограниченного D они принадлежат Вш(X,Я2(D)) (принадлежат Bmer(X,H2{D))). Далее, пусть Р(™\к) и 7l[m) (к) - операторы, определяемые равенствами joqara мо-хнп
2к-е{фт5Г\к)Се[фт\) 71{ет)(к) := А^т\к)Р^(к). (3.2)
Обозначим С+ {к ;Rek > 0}. ; (I
Лемма 2. Пусть ц,т - простое собственное значение задачи Дирихле для —А' в Г2. Тогда существуют R > 0 и £q(R) > 0 такие, что при е < £q справедливы утверждения.
1. 7zi™\k) £ Бшег(£2(П; Q), Я,2С(П)) в круге |/с| < R, причем, если к тому же к б С+, то llim)(k) е Втет(1/2(П;Q), Я2(П)). а
2. В этом круге лежит единственный полюс kim\ который является решением уравнения (2.5) и имеет первый порядок. Вычет функции n[m\k)f в полюсе кеопределяется равенством (2.8) при к[т^ ф 0, равенством
V4m) = Пш А(т\к)3(тНк)СЕ[фт] (3.3) к—
при ki= 0, Се[фт\ ф 0 и равенством
ф^(х)=фт(х'), (3.4)
если £е[фт] =0, с точность до скалярного множителя, причем этот множитель не равен нулю, если (фт/) ф 0.
Ш2 g, •г.ояоягтй p.p. гадыльшин :алаж>п о
Доказательство. Так как Р^т\к) е Bmer (L2(П-, Q)) в силу (2.4) и определения (3.1), а А^т\к) € Bmei(L2(U-Q),H2oc(U)) в силу (2.2), причем А^{к) е БЬо1 (¿2(П;Q), (П)) при А; € С+, то из (3.2) вытекает справедливость утверждения 1.
Покажем справедливость утверждения 2. Пусть ki- решение уравнения (2.5). Из (2.2)—(2.4), (3.1), (3.2) следует, что к{т^ - полюс оператора 1z{m\k), причем если д.(т) ф q^ ТО это полюс первого порядка. Из этих же формул следует, что других полюсов при fc ^ 0 не существует, к = 0 является полюсом первого порядка, если ki™1^ = О, и к = 0 не является полюсом, если ф 0. Действительно, на любом ограниченном подмножестве из П при к 0
тiimHk)f ~ ^(фтр<т)т), 4т) Ф о,
n{mHk)f ~ ^{фт5{т\^СЛФт\), = о.
Если к[т) Ф 0, то (фтРет)(о)/) = о в силу (3.1), а если к{£т) = 0, то (фт3^т\о)С£[фт]) = 0 в силу уравнения (2.5). Следовательно, нуль не является полюсом второго порядка, если кi™^ = 0, и нуль не является полюсом, если ki™^ ф 0. Равенства (2.8), (3.3) и (3.4) для вычета следуют из явного вида оператора (к).
Лемма 3. Пусть fim - простое собственное значение задачи Дирихле для —А' в П, ki- решение уравнения (2.5), а - функция, определяемая равенст-
вом (2.8), если ф 0, и равенством (3.4), если С£[фт\ = 0. Тогда:
1) если Refc'm) ^ 0, то ф{£т) £ Ь2(П);
2) если Reki"1^ > 0, а при т ^ 2 дополнительно и Im ki"1^ > 0, то ipi™^ € H2{Jl)\
3) если т ^ 2, Reki> 0, Im ki"1^ ^ 0, но выполняются равенства (2.9) при всех j = 1,..., то — 1, то "фе™1^ € Н2(П);
4) если т. ^ 2, Refc'"^ > 0, Imfc'77^ ^ 0, но имеет место неравенство (2.10) хотя бы для одного j ^ т — 1, то ф^™^ L2(П).
Доказательство. Если ki"1^ ф 0 - решение уравнения (2.5), то в силу этого уравнения (фтБ^71^ С£[фт]) ф 0. Тогда справедливость утверждений леммы, за исключением пункта 1, для случая Се[фт] = 0 вытекает непосре
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.