научная статья по теме О МЕТОДАХ ИЗМЕРЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ И ФРАКТАЛЬНЫХ СИГНАТУР МНОГОМЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «О МЕТОДАХ ИЗМЕРЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ И ФРАКТАЛЬНЫХ СИГНАТУР МНОГОМЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 12, с. 1468-1491

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 530.1:573.86+621.396.96

О МЕТОДАХ ИЗМЕРЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ И ФРАКТАЛЬНЫХ СИГНАТУР МНОГОМЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ © 2004 г. А. А. Потапов, В. А. Герман

Поступила в редакцию 06.07.2004 г.

Предложен новый метод измерения фрактальной (дробной) размерности и соответствующих фрактальных сигнатур сигналов, изображений и волновых полей. Эффективность метода подтверждена многочисленными примерами соответствующей цифровой обработки оптических и радиолокационных природных и синтезированных изображений, в том числе и малоконтрастных.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в связи с разработкой средств снижения радиолокационной и оптической видимости различных целей и интенсивным развитием стелс-технологий [1] приоритетными видами становятся новые методы обнаружения и выделения слабых сигналов над уровнем и под уровнем фоновых помех. Как показывает опыт, при обнаружении малозаметных и малоконтрастных целей на фоне земных покровов традиционные классические алгоритмы обнаружения малоэффективны и требуют больших затрат времени. Для успешного решения таких задач необходим поиск и разработка нетрадиционных алгоритмов и новых адаптивных прикладных решений [2-4].

В ИРЭ РАН в течение ряда лет, начиная с 80-х гг. XX в., проводят исследования по синтезу нетрадиционных алгоритмов обработки радиолокационных сигналов и изображений с целью выделения малоконтрастных объектов (см., например, [539] и приведенную там библиографию). Разработка цифровых текстурных и фрактальных методов фильтрации малоконтрастных изображений, по сути, привели к новым информационным технологиям в радиолокации. Отметим, что в работах ИРЭ РАН с самого начала была заложена идея фрактальной обработки малоконтрастных оптических, радиолокационных и синтезированных сложных (при наличии целей) изображений, в том числе и фракталов на фрактальном фоне [5-12].

Теория фракталов удачно совмещается с методами адаптивной обработки сигналов когерентной и некогерентной радиолокации. Алгоритмы вычисления фрактальных характеристик многомерного сигнала, несмотря на их разнообразие, можно свести к одному из методов, и их обычно эвристически подбираются под вид решаемой задачи (см., например, [3]).

Цель работы - предложить и обосновать новый, названный авторами "локально-дисперсионный", метод измерения фрактальной размерности и соответствующих фрактальных сигнатур сигналов, изображений и волновых полей. Эффективность данного метода подтверждена на практике многочисленными примерами соответствующей цифровой обработки оптических и радиолокационных природных и синтезированных изображений, в том числе и с малоконтрастными объектами.

1. К ПОНЯТИЮ "ФРАКТАЛ" В РАДИОЛОКАЦИИ

Радиолокационное изображение в общем виде можно представить как множество элементов Хк, значения которых пропорциональны эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) к-го элемента разрешения радиолокационной станции (РЛС). На рис. 1а показано радиолокационное изображение (РЛИ) местности, полученное на длине волны X = 8.6 мм с вертолета [40]. На рис. 16 показано РЛИ того же участка местности, полученное РЛС на длине волны примерно 30 см. Оба изображения являются двумерными с уровнем серого, пропорциональным ЭПР. Предположим, что для каждого РЛИ построена поверхность (рис. 1в) с высотой Н, пропорциональной уровню серого. Пусть требуется измерить площадь полученной поверхности. На РЛИ, соответствующем длине волны 30 см, площадь поверхности получится меньше, чем для РЛИ на X = 8.6 мм, из-за того, что с уменьшением длины волны различаем больше деталей местности. Зондирующая электромагнитная волна является в этом случае некоторой "измерительной" линейкой. При этом начинает сказываться все более тонкая структура пространственно-временных сигналов или волновых полей [3, 5, 41].

D = 2.440393

Они

ln 8

Рис. 1. Примеры, объясняющие сущность фрактальной обработки (а-г) и фрактальный пространственный кепстр РЛИ (д).

Если в нашем распоряжении имеется РЛИ, полученное в более коротковолновом диапазоне, то его площадь будет больше, и так далее. Уменьшая длину волны, будем получать возрастающие значения площадей. Тогда возникает вопрос: а какова в действительности площадь поверхности, с которой получены РЛИ? Если поверхность покрыта простыми объектами, например прямоугольным возвышением (рис. 1г), и размеры этого возвышения значительно больше длины волны, то площади РЛИ объектов на коротких и длинных волнах будут примерно одинаковыми. Тогда на поставленный вопрос можно ответить, подсчитав число элементов разрешения, покрывающих объект. Площадь S поверхности в этом случае равна

S = S(X) = N (Х)8(Х), (1)

где N(X) - число элементов разрешения, необходимых для покрытия объекта; S(X) - площадь элемента разрешения РЛС. Как уже было отмечено, для простого объекта (рис. 1г) S(X) = const.

Для РЛИ на рис. 1а, 16 можно построить зависимость S(X) = f(X), а предположив, что S(X) = K(X), где K - известная функция, затем построить зависимость S(X) = f(S). Оказывается, что измеренная площадь S поверхности описывается формулой

S (X) = kX~D. (2)

Тогда ln(S(X)) = lnk - DlnX (k и D - константы), и можем вычислить параметр D. Зависимость ln S(X) = f(ln S), определяющая фрактальную сигнатуру РЛИ (рис. 1а, 16), показана на рис. 1д. Она характеризует пространственный фрактальный кепстр изображения (данное понятие введено в 1997 г. первым из авторов [3, 11, 21, 23]). Дробный параметр D называется размерностью Хаусдор-

Рис. 2. Классификация и морфология фрактальных

множеств (сигнатур).

фа-Безиковича или фрактальной размерностью [3]. Для РЛИ объектов, имеющих простой геометрический вид (прямоугольники, круги, гладкие кривые), эта размерность совпадает с топологической, т.е. равна значению 2 для двумерных РЛИ, и определяется угловым коэффициентом прямых (2) в логарифмических координатах. Однако значение Б для большинства изображений реальных покровов и метеорологических образований больше топологической размерности 2, что подчеркивает их сложность и хаотичность.

Фрактальные дробные размерности и сигнатуры Б не только характеризуют топологию объектов, но и отражают процессы эволюции динамических систем и связаны с их свойствами. Теория фракталов и нелинейность составляют геометрию хаоса. По-видимому, фракталы - это не только язык хаоса, но и язык природы. По своему содержанию контуры всех природных объектов суть динамические процессы, внезапно застывшие в физических формах и объединяющие устойчивость и хаос. Можно отметить, что одним из важнейших вопросов фрактальной геометрии является связь фракталов и текстур.

Фрактальная концепция актуальна во многих областях естествознания, но только в последнее время, как отмечено во Введении, она стала очевидной для современных задач радиофизики в приложении к радиолокации, связи, распространению радиоволн и дистанционному зондированию. На рис. 2 показана специально разработанная в [23] для практических задач радиолокации и

радиофизики классификация математических и физических фракталов.

Повторим введенные в [23] определения. Формализованное математическое определение фрактала следующее. Фрактал - это функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом и имеющее следующие свойства: 1) самоподобие или масштабную инвариантность (бесконечный скейлинг), т.е. фракталы на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших; 2) их размерность (называемую размерностью Хаусдорфа), дробную и строго больше топологической размерности; 3) недифференцируемость и оперирование дробными производными и интегралами. Физическое определение фрактала следующее: фракталы - это геометрические объекты (линии, поверхности, тела), имеющие сильно изрезанную структуру и обладающие свойством самоподобия в ограниченном масштабе. Отметим, что Б0 - топологическая размерность пространства, в котором рассматривается фрактал с дробной размерностью Б. Подобно всем геометрическим понятиям, фрактал - это прежде всего абстракция, теоретическая модель, результат предельного перехода, недостижимый в действительности.

2. ИЗМЕРЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФРАКТАЛЬНЫХ СЦЕН

Под сложными изображениями в дальнейшем будем понимать изображения местности с расположенными на ней целями [3, 11, 21, 23]. Предлагаемые авторами методы обработки сложных изображений базируются на понятиях фрактальной размерности и соответствующих фрактальных сигнатур. При многочисленных исследованиях отечественных и зарубежных (в первую очередь) ученых в течение десятков лет установлено, что большинство природных ландшафтов, а также участки поверхности планет и некоторых структур во Вселенной можно рассматривать как фрактальные в различных диапазонах пространственных масштабов.

Исследования фрактальной структуры разнообразных поверхностей и дискуссии описаны в [6-8, 11, 32, 37, 42-44] и обобщены в [3]. Сводная таблица характерных видов различных поверхностей, для которых авторы по своим разработанным методам и алгоритмам измерили их фрактальные размерности Б и фрактальные сигнатуры, оформлена в виде рис. 3 [37]. Исследованы синтезированные фрактальные сцены; фотографии, полученные на сканирующем электронном микроскопе (разрешение составляет нанометры); результаты аэрофотосъемки; РЛИ.

Математические

Число итераций п ^ <*>

Дробная размерность Хаусдорфа О > О0

Дробные производные и интегралы

Значения измеренных фрактальных размерностей некоторых структур во Вселенной

№ Наименование объекта Фрактальная размерность по зависимости S = f(5) Средняя дисперсионная фрактальная размерность Размерность одномерного разреза изображения

1 Галактика NGC 1569 2.36 2.34 1.27

2 Галактика NGC 1850 2.32 2.32 1.28

3 Туманность Орла 2.47 2.49 1.44

4 Рентгеновское изображение 2.14 2.11 1.09

5 Поверхность планеты Марс 2.6...2.42 2.12.2.44 -

Измерения фрактальных сигнатур некоторых структур во Вселенной представлены в [44]. Исходные данные взяты из [45, 46]. Фрактальные размерности Б измеряли как по яркостному полю изображений, так и по одномер

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком