УДК 524.726-856
О МЕТОДЕ МОНОТОННОСТИ СПИРАЛЬНЫХ РУКАВОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛОВ ОРИЕНТАЦИИ ГАЛАКТИК
© 2007 г. С. Г. Полторак, А. М. Фридман
Институт астрономии, Москва, Россия Поступила в редакцию 11.12.2006 г.; после доработки 27.12.2006 г.
Предлагается метод определения позиционного угла и угла наклона плоскости спиральной галактики, основанный на предположении о монотонности спиральной структуры. Этот метод может дать более точные результаты, чем наиболее распространенный метод изофот, не лишенный определенных недостатков. На примере выборки из 43 объектов показано, что результаты применения предлагаемого метода хорошо согласуются с данными из других источников.
РАС Б: 98.52.Nr, 98.62.Hr
1. ВВЕДЕНИЕ
Одним из важнейших параметров спиральных галактик, необходимых для изучения их морфологии и динамики, является ориентация плоскости галактического диска к лучу зрения. Последняя определяется позиционным углом и углом наклона плоскости диска к картинной плоскости (здесь и далее РА и г, соответственно). На данный момент существует несколько методов определения этих углов. Одни основаны на кинематических данных, другие — на фотометрических. К последним, в частности, принадлежит наиболее распространенный метод определения угла наклона г плоскости галактики к картинной плоскости — так называемый метод изофот. Угол г оценивается по степени сплюснутости эллипсов наблюдаемых изофот галактики — с учетом или без учета толщины диска. Однако этот метод дает большие ошибки при сильном отклонении распределения яркости диска галактики от осесимметричного. Во многих наблюдаемых галактиках это действительно имеет место — из-за ярких спиралей, наличия бара или пылевых полос; если изофоты относятся к далеким от центра областям диска, то из-за изгиба диска. Предлагаемый в настоящей статье метод в этих случаях может дать более точный результат.
Все используемые методы предполагают, что к галактическому диску применима та или иная модель. Описываемый нами способ определения углов РА и г основан на простых и очень общих предположениях о спиральной структуре. Требуется, чтобы форма спиральной структуры была монотонной, т.е. радиус-вектор спирали К в галактической плоскости монотонно увеличивался с ростом угла 9: ^ > 0. В разделе 2 мы опишем суть метода
и обоснуем сделанные предположения. В разделе 3 мы аналитически опишем возможности метода в применении к самой простой с математической точки зрения форме спиралей — логарифмической. В разделе 4 мы сравним описываемый метод с другими, обсудим его достоинства и недостатки, а в разделе 5 покажем результат его применения к выборке из 43 галактик обзора Ohio1 . Для упрощения восприятия все формулы вынесены в Приложение.
2. ИДЕЯ МЕТОДА
Описываемый в данной статье метод основан на интуитивно понятном предположении, что все спиральные рукава, кроме кольцевых структур, являются монотонными. Это означает, что, следуя вдоль спирали от центра галактики к периферии, радиус должен расти монотонно. Причем это должно выполняться не только для идеальных двухру-кавных (или многорукавных) спиралей, но и для ветвящихся спиралей. В качестве используемых спиралей могут выступать как молодые звезды (изображения в фильтре B), так и газ (Ha-, NII-фильтры), и даже пылевые прожилки (B-, V-, R-фильтры). Старое звездное население в данном случае мало пригодно из-за сравнительно большой ширины спиральных рукавов.
Нетривиальность предлагаемого метода состоит в том, что, как показано на рис. 1, если в галактической плоскости спираль является монотонной функцией, т.е. радиус-вектор спирали R увеличивается с ростом угла в, то для наблюдателя та же
1 "Обзор ярких спиральных галактик" Государственного университета штата Огайо (США) — Ohio State University Bright Spiral Galaxy Survey.
r ф
Линия луча зрения
Рис. 1. Cхема, показывающая, что в галактической и картинной плоскостях характер монотонности функций К(в) и г{}р) разный: если в галактической плоскости функция И{в) монотонна > 0), то в картинной плоскости г{^р) она может такой и не быть, а именно, ^ может менять знак. Это особенно сильно заметно при малых питч-углах2 и больших углах наклона i. Заметим, что в галактической плоскости используются полярные координаты К, в, тогда как в картинной плоскости — г, ф.
спираль на картинной плоскости может представляться немонотонной функцией. Другими словами, если мы выберем центр галактики и поставим на спиральный рукав несколько точек, описываемых координатами п и ^ (радиусом и азимутом в картинной плоскости), и для всевозможных РА от 0° до 180° и г от 0° до 90° подсчитаем координаты соответствующих точек в депроецированной плоскости РА, г) и , щ, ЯД ,г), то область РА и г, для которых спираль монотонна (т.е. вг(Щ) — монотонная функция), будет областью возможных углов наклона и позиционных углов для данной спирали.
3. ТЕСТИРОВАНИЕ МЕТОДА
Прежде всего, исследуем возможности описываемого метода, называемого далее методом МСР, или методом монотонных спиральных рукавов. Как уже было сказано, данный метод может быть применен к любым спиралям, однако для простоты выкладок мы исследуем теоретически, как он работает с логарифмическими спиралями в = p ln R, где p определяет питч-угол2 , а именно, тангенс питч-угла равен ¿^f = Очевидно, что логарифмическая спираль e(R) является монотонной функцией.
Для начала заметим, что логарифмическая спираль с питч-параметром p, наклоненная на
2(1+71+^2)
угол г меньше гкр = агс^-*-^-, в картинной плоскости все еще будет выглядеть монотонной
' Питч-углом называется угол между касательной к кривой спирали и перпендикуляром к радиус-вектору в данной точке. Легко показать, что, имея уравнение кривой, питч-угол вычисляется следующим образом: тангенс питч-угла
(вывод приведен в Приложении). Таким образом, для спирали плашмя (лежащей в картинной плоскости) описываемый метод даст диапазон углов наклона от 0 до гкр. Далее легко показать, что для спирали, наклоненной на произвольный угол г, наш метод даст область возможных значений РАмср и гМсР в диапазоне (см. вывод формул (17) и (29) в Приложении):
(i)
p2 V J cos г
| sin(PAмcР - PA)| <
(2)
<
cos г
. 2 sin2 г
г
'Vi^TT
-1
p
Очевидно, что истинное значение г и РА находятся внутри этой области. На рис. 2 нанесены ширины областей для получаемых описываемым методом значений ¿мср и РАмср как функции угла наклона г (от РА, очевидно, ничего не зависят, так как изменение РА сводится к простому повороту всей системы вокруг луча зрения).
Для применения излагаемого метода мы написали программу, позволяющую выбирать центр и ставить точки на спиральные рукава. На выходе программа рисует область найденных углов на диаграмме РА — г.
Для начала мы применили описываемый метод к искусственному, но достаточно реалистичному изображению галактики с логарифмическими спиральными рукавами. Была выбрана следующая
2
Рис. 2. Ширины областей PA (слева) и i (справа), получаемые методом МСР для логарифмических спиралей, в зависимости от истинного угла наклона i. На правом графике для каждого значения p изображены две кривые: Ai-(нижняя кривая) и Ai+ (верхняя кривая).
зависимость яркости точек от галактических координат:
I(R, в) = e-R/Ro + Ae-R/Rl e~
cos(в—р In R)
7Г
-sR
где A, R0 ,Ri ,a,s и p — константы модели3. Полученную искусственную галактику мы наклоняли, используя разные углы PA и i.
Применение описываемого метода к этим изображениям показало следующее:
— метод действительно дает область возможных углов ориентации модельной галактики, содержащую истинные значения PA и i,
— Ai и APA находятся в отличном согласии с аналитическими расчетами (формулами 1 и 2),
— метод МСР мало чувствителен к количеству точек на рукаве (мы рекомендуем ставить точки на расстоянии как минимум в 10 раз большем, чем размер точек изображения (пикселы), для уменьшения ошибок дискретизации),
— для определения углов PA и i достаточно проследить за куском спирали длиной в половину оборота вокруг центра, причем достаточно лишь 6 равномерно поставленных точек,
— слежение за разными частями одного или нескольких рукавов может улучшить точность и
Мы использовали значения А = 0.7, Д0 = Д1 = 100, а = = 30, в = 0.001 и р = 2—7. Изображение имело размеры 500 х 500 точек, а центр галактики располагался в центре изображения. Член а/Д был включен для того, чтобы ширина спиральных рукавов оставалась примерно постоянной, тогда как член вД немного уширяет рукава к периферии.
указать на возможные изгибы диска на периферии (эквивалентные изменению углов PA и i),
— неопределенность, вносимая из-за неточности выставления центра, обычно значительно меньше, чем получаемые ширины областей для значений углов,
— метод МСР хорошо работает для галактик с большими углами наклона и тугой закруткой (большими p) и практически бесполезен для галактик, расположенных почти плашмя.
4. СРАВНЕНИЕ С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ
Описав метод МСР, теперь сравним его с другими существующими методами определения углов ориентации галактик.
Фотометричекие методы
• Вписывание эллипсов в изофоты галактик Так как данный метод предполагает, что галактический диск осесимметричен, он хорошо работает для галактик раннего типа или галактик с малоконтрастными спиралями. Он чувствителен к наличию бара и спиральной структуры (см., например, [1]), поэтому его применяют лишь к внешним частям галактик. Однако многие галактики имеют изгиб диска во внешних областях, что делает этот метод не очень точным.
• Вписывание логарифмических или других форм спиралей в наблюдаемые спиральные рукава Данный метод применим к галактикам с хорошо выраженными спиралями, т.е. к галактикам позднего типа.
2
Однако не все спирали хорошо описываются логарифмическими спиралями, тем более, что во многих галактиках спиральные рукава ветвятся, а на периферии диска часто становятся открытыми. Как и наш, этот метод неявно предполагает, что спирали являются монотонными, но накладываемые им ограничения являются более строгими. Первый вариант данного метода был предложен в работе [2].
• Максимизация осесимметричной компоненты фурье-раз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.