Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 2, с. 143-147 © 2015г. 25 января
О мезоскопическом описании локально-неравновесных процессов затвердевания чистых веществ
В. Г. ЛебедевA.A. Лебедева, П. К. Галенко+* Удмуртский государственный университет, 426034 Ижевск, Россия
+ Friedrich—Schiller— Universität Jena, Physikalisch-Astronomische Fakultät, D-07743 Jena, Germany * Уральский федеральный университет, 620002 Екатеринбург, Россия
Поступила в редакцию 1 декабря 2014 г.
В работе предложена фазово-полевая модель локально-неравновесного процесса затвердевания переохлажденного расплава чистого вещества. Для вывода термодинамически согласованных уравнений модели использован метод расширенной необратимой термодинамики. Предполагаются известными потенциалы Гиббса, описывающие термодинамически равновесные состояния на основе экспериментальных данных. Рассмотрен предел резкой границы модели, из которого получена аналитическая зависимость скорости движения плоского фронта затвердевания от температуры на фронте.
DOI: 10.7868/S0370274X15020137
Идея использования диффузной границы для описания межфазных явлений восходит к работам Ван-дер-Ваальса [1], Ландау [2, 3] и Кана [4-6]. Для процессов затвердевания первые модели с диффузной границей были сформулированы и проанализированы Левиным [7], Лангером [8] и Кейджиналпом [9]. Современным развитием этих моделей является метод фазового поля [10] - эффективный способ описания эволюции микроструктур при фазовых переходах. Однако используемые неизотермические модели фазового поля до сих пор имеют модельное феноменологическое происхождение [11], которое может быть проанализировано при термодинамически самосогласованном выводе уравнений. Целью настоящей работы является вывод термодинамически согласованной модели затвердевания чистых веществ на основе локально-неравновесной термодинамики [12] и равновесных потенциалов Гиббса [13]. Полученные уравнения модели фазового поля являются гиперболическими. Поэтому для их сопоставления с уравениями гиперболической задачи Стефана [14] использован предел резкой границы [9, 15].
Для описания состояний сплошной среды затвердевающей системы вводится параметр у (фазовое поле), принимающий значения (р = 1 в твердой фазе (Б) и (р = 0 в жидкой фазе (Ь). Однозначность локального фазового состояния нарушается вблизи границы раздела фаз, обладающей малой, но конеч-
ной толщиной. Объемные свойства фаз внутри диффузной границы интерполируются функциями вида
= g(íp) = (f2(l — (f)2
(1)
выбор которых обусловлен требованием устойчивости фаз [16].
Потенциалом, определяющим релаксацию неравновесной неизотермической системы, является энтропия, термодинамически сопряженная с температурой:
где С = С(Т, Р) - плотность потенциала Гиббса, Тт - температура равновесия фаз. Плотность энергии
1
е =
ßy
"IV
r(Vcpy
(3)
^e-mail: lvg@udsu.ru
учитывает вклад неравновесных эффектов [12]. В последнем выражении Л - тепловой поток; /3, 7, а - кинетические коэффициенты, определенные ниже. Точкой над переменной обозначена частная производная по времени.
Пренебрежем изменением объема при затвердевании, считая, что фазовый переход происходит при постоянном давлении и полностью контролируется температурой. Полную плотность энергии Гиббса выберем как интерполяцию по плотностям потенциалов Гиббса каждой из фаз
С(Т, <р) = С8{Т)р{<р) + СЬ(Т)[ 1 -р(<р)] + Шд^Х (4)
где \¥ - высота потенциального барьера между состояниями ¿У и Ь.
144
В. Г. Лебедев, А. А. Лебедева, П. К. Галенко
Уравнения динамики следуют из условия возрастания энтропии (2) при релаксации к равновесию [17] и имеют следующий вид:
т^ф + ф = М¥
ггТ72/л BG Ф Т~Жр\
(5)
J = -KVT.
Теплоемкость при постоянном давлении выражается как Ср = —Тд2С(Т,ср)/дТ2, величины т^ = М^7 и тт = Мт(Т)/3/Тт являются характерными временами релаксации фазового поля и теплового потока соответственно, к = Мт(Т)/Т2 - коэффициент теплопроводности, Мт(Т) > 0 и М^(Т) > 0 - мобильности температурного и фазового полей. В локально-равновесном пределе (т.е. при тт = 0 и т^ = 0) уравнения (5) сводятся к параболической модели фазового поля и уравнению теплопроводности с источником внутри диффузной границы (см. [9, 16]).
Обозначая штрихом дифференцирование по аргументу функции:
Р'{Ч>) = АС'(Т) = -^ДС(Т),
аср а±
а разности потенциалов Гиббса и внутренних энергий (И = С - ТС'(Т)) как
АС(Т) =
Д£/(Т) =
перепишем правые части уравнений (5) в явном виде:
т^ф + ф =
Т
-гг.
= [Wg'(<p) + AGp>
CVT + V • J = -
Wg'(cp) + AUp'(cp)
(6)
тт-щ J +J = -kVT.
В случае равновесия между фазами (т.е. при ф = 0, Т = 0, Л = 0) из уравнений (6) для температуры получаем
KVT = 0
T = Tm = const
(7)
по всему пространству. Уравнение (6) для фазового поля сведется к выражению
- [Шд'(^) + АС(Тт)р' (<р)] = 0. (8)
С учетом того что при Т = Тт разность потенциалов Гиббса AG(Tm) = const, рассмотрим уравнение (8) в одномерном случае, обозначая координату вдоль направления затвердевания буквой z. Умножая уравнение (8) на <p'(z) и интегрируя на бесконечном интервале с учетом равенства у'(±оо)=0, находим термодинамическое условие равновесия в виде
AG(Tm) = 0
(9)
определяющем температуру Тт.
В условиях равновесия от выражения (8) остается уравнение
V = \¥д'(<р),
имеющее решение в виде кинка : 1,
(р(х)
■[1-th (z/S)],
где параметр
(5 =
(10)
(П)
(12)
задает характерную ширину диффузной границы.
Интегрирование градиентного вклада в потенциале (2) для равновесного решения (11) дает поверхностную энергию
оо
a J W{z)fdz
6(5
(13)
где х — коэффициент поверхностного натяжения межфазной границы. Коэффициенты а и \¥ определяются через 3 их как
а = &Х& и W
12х 6 '
(14)
При отсутствии равновесия между фазами, С^^Т) ^ С^Ь\Т), для динамики фазового поля в уравнениях (6) появляется движущая сила фазового перехода р'(ср)АС(Т)Тт/Т, отличная от нуля только внутри диффузной границы и определяющая скорость движения фронта затвердевания.
Покажем, что из полученной системы уравнений (6) в пределе резкой границы [9, 15] следует гиперболическая задача Стефана [14]. Для простоты ограничимся одномерной задачей направленной кристаллизации, чтобы избежать влияния кривизны границы.
Предел резкой границы основан на предположении о существовании малого параметра 3 = 6/Ь, где Ь - характерный размер области, в которой происходит фазовый переход. Используем безразмерную координату г = г/Ь и время, обезразмеренное на характерное время теплового процесса, I = ¿А¿/Ь2, где
выбрано \г = Кг/Сг, К» = к(Т») И С; = Ср(Т¿), Т» -начальная температура расплава. Тогда уравнения модели (6) могут быть переписаны в виде
т^ф + ф = а< -
Т
-171
2 д'(ср)6-2 + АСр'(ср)6-
(15)
СрТ + Ъ-¡ = -Р(<р,Т)ф, д
ттт^Л Н-Л = -кVI1. Функция ^(у, Т) определена как
Р(<р,Т) = вд'(<р)+-Ш7р'(<р).
(16)
Безразмерные комбинации в уравнениях (15) и (16) равны
Т2"
Му(Г)а А» '
12х - _ ттХ
' с«г тт
ЬДС(Т)
ь2
съ
6х
Ср —
СМТ)
31?
К;
С*2
Поскольку безразмерные коэффициенты при изменении масштаба не меняются, рассмотрим предельный переход в решениях уравнений (15) по параметру 6 ->• 0.
Внешняя относительно диффузной границы область. Умножим уравнение фазового поля в (15) на б2 и устремим (5—^0. Тогда уравнение фазового поля сводится к выражению
<?'(¥>) =0.
Это соотношение автоматически выполняется вне диффузной границы, поскольку внутри фаз ср = 0 и (р = 1. Из-за постоянства (р внутри объемов фаз имеем ф = 0. В результате оставшиеся уравнения (15) запишутся как
срт + ч- Л = о,
д .
Ттд1У
(17)
Полученные уравнения (17) эквивалентны нестационарному уравнению теплопроводности при тт = 0, или его сингулярному расширению при тт ф 0 [12].
Внутренняя область диффузной границы. Переходя в систему отсчета границы х = г — у(Р), движущейся с безразмерными скоростью V = у и ускорением а = у, будем считать, что начало отсчета по
координате соответствует значению <р = 1/2. Тогда система уравнений (15) примет вид
Т
Л. гг
Т
2д>(<р) + АСр'(<р)6
(18)
«еИО + №6 =
где ае = а — т^о2, ке = к — Ттго2Ср и проведена замена координат х = £6, в которых удобнее выполнять асимптотический анализ. Действительно, в пределе <5 —> 0 ширина диффузной границы становится бесконечной (—оо < £ < оо) и перестает зависеть от значения 6. Кроме того, в уравнениях (18) учтено, что при такой замене производные по пространству приобретают множитель После координатных преобразований и масштабирования переменных уравнения (18) умножены на б2. Здесь и далее предполагается положительная определенность коэффициентов ке> 0 и ае > 0.
Будем искать решение системы (18) для функций у(0; ^(0; КО в виДе асимптотических рядов
№ = М€) + Ш)б+..., (19)
по степеням малого безразмерного параметра 3.
Порядок 6°. Имеем систему уравнений
^оТт .. . 9 (Ы,
а^т) -То(0
К0еШ)=ттУ2Р0<р>0(О,
КОеЗо(€) = ^«0-Ро¥>о(0>
(20)
где коэффициенты вычислены на решениях (ро и То, в том числе аое = ао — т^и2, кое = ко — ттго2Ср, а0 = а(Т0), ко = к(сро,То), С° = Ср((р0,Т0), Ро = = То).
При £ —> ±оо предельные условия для фазового поля и температуры в нулевом порядке должны быть согласованы с внешними функциями:
Ит у>0(£,г) = 1,
— оо
Ит 9го(0 = Ит <£>о(0 =
Ит Ш)=0,
Ит То(0=Т(х)
0±0'
(21)
(22)
(23)
(24)
146
В. Г. Лебедев, А. А. Лебедева, П. К. Галенко
где Т(а
Ю±о
температуры, взятые из внешних об-
ластей, справа (+0) и слева (—0) от диффузной границы (находящейся при х = 0).
Для локально-неравновесной релаксации {тт > 0) на межфазной границе появляется скачок температуры. Разность температур справа и слева от диффузной границы равна
Т\ - Т\
1 + 0 1-0
ttv
1
«0е
Предполагая малость тт'о1 <1 и слабо меняющиеся теплофизические свойства, этот скачок температуры можно оценить как
Т|+0 - Т\-0 ~ ~ТтУ'2 К*е Аи* >
где коэффициенты вычислены при температуре Т* в некоторой внутренней точке диффузной границы. Аналогично выглядит выражение для скачка потока:
1+о 3
-о
— Fof'oiO « —vR,*K~eAU*.
«Ое
Профили фазового поля и температуры внутри диффузной границы в локально-неравновесном случае при заданной скорости движения фронта v могут
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.