ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ - : П'.-эд; n.a'iy'.-vi^ ä
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА stutbj"- •»&-«$.< * *•
Том 144, Л* 2 август, 2005
^ „ . I ¥ ¡ . f (
- > J ' ' ■ ' r '- v„ ,v ! 1: - ili' тУ -vi'.-'IT.- ,: í :;: -
!>J -i- . и ».Ц1, • H
t - ?
© 2005 r. B.C. Герцжиков*, Г.Г. Граховски*, Н. A. KocToet
О МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ УРАВНЕНИЯХ V ТИПА НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ & í ШРЕДИНГЕРА НА СИММЕТРИЧНЫХ ^ ; 5 ПРОСТРАНСТВАХ И ИХ РЕДУКЦИЯХ
Исследуются фундаментальные свойства многокомпонентных моделей типа нели- : нейного уравнения Шредингера, связанных с симметричными пространствами. Построены новые типы редукций таких систем. Кратко описаны спектральные свойства операторов Лакса, которые, в свою очередь, определяют соответствующий рекурси-онный оператор и основные свойства соответствующего класса нелинейных эволюционных уравнений. Результаты проиллюстрированы на конкретных примерах систем типа нелинейного уравнения Шредингера, связанных с симметричным пространством типа D. III алгебры so(8).
Ключевые слова: многокомпонентные нелинейные уравнения Шредингера, группа редукций, симметричные пространства, гамильтоновы свойства.
чаг.«1; т />~ к № лл-atqcss ec.j-jRaar- ..,г -<.-;•..> ■• , . '
1. ВВЕДЕНИЕ ..ц .•» í ц ж-:'-' ■. .>
Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (скалярное) [1] f* '*'
iut + ихх + 2|ы|2и = 0, и — u(x,t), t V - ; • (1)
имеет целый ряд приложений в широком круге физических задач [2], [3]. Полная интегрируемость этого уравнения была доказана на самом раннем этапе развития метода обратной задачи (МОЗ). Действительно, уравнение (1) допускает представление Лакса, в котором в качестве оператора Лакса используется оператор (2 х 2)-системы Захаро-ва-Шабата, связанной с алгеброй sl( 2):
ЦХ)гр(х, í, А) = (гдх + g(x, t) - Х(т3Жх, t, А) = 0, '! 1/1 :
/0 u(x,t)\ Л 0\ (2)
q{x't)={-u*(x,t) 0 J' аз=(о -l)' ? ' ■
'Institute for Nuclear Research and Nuclear Energy, Bulgarian Academy of Sciences, 72 Tsari-gradsko chaussee, 1784 Sofia, Bulgaria. E-mail: gerjikov@inrne.bas.bg; grah@inme.bas.bg
^ Institute of Electronics, Bulgarian Academy of Sciences, 72 Tsarigradsko chaussee, 1784 Sofia, Bulgaria. E-mail: naiostov@ie.bas.bg
314 b.c. гбрджиков, г.г. граховски, h.a. костов jîii- п
•"îi.'VAÏSliïïh
и является гамильтоновой системой, олисьшаемой гамильтонианом /
, ; ; Т н= Г <ь(-ы2 + м4). - ' (з)
J — ос
Первая многокомпонентная модель типа НУШ с приложениями в физике - это так называемое векторное НУШ (модель Манакова) [4]:
i'vt + \хх + 2||v||2v = 0, (4)
Эта модель допускает очевидное обобщение на случай n-компонентных векторов.
Применение методов дифференциальной геометрии и теории алгебр Ли к уравнениям солитонного типа привело к открытию тесной взаимосвязи между многокомпонентными (матричными) нелинейными уравнениями Шредингера (МНУШ) и однородными и симметричными пространствами [5]. Было показано, что интегрируемые системы МНУШ обладают представлением Лакса. В качестве оператора Лакса использована обобщенная система Захарова-Шабата:
t X) si + (Q(x, t) - A J)#t, t, A) = О, , (5)
ах
где J - фиксированный элемент подалгебры Картана f) С g простой алгебры Ли g и Q{x,t) = [J, Q(x, i)] g g/(). Другими словами, потенциал Q(x,t) принадлежит копри-соединенной орбите M. j алгебры g, проходящей через J.
Выбор элемента J определяет размерность орбиты Mj, которая может рассматриваться как фазовое пространство соответствующих нелинейных эволюционных уравнений (НЭУ). Размерность орбиты равна числу корней алгебры g таких, что а( J) ф 0. Принимая во внимание, что если а является корнем, то и —а также является корнем алгебры g, заключаем, что размерность dim M. j всегда четная.
Мы сконцентрируем внимание на отвечающих наибольшему вырождению способах выбора J, для которых adj имеет только два ненулевых собственных значения ±2а; в этом случае J2 = а21. Такие способы выбора J согласованы с несколькими типами симметричных пространств: А.III ~ SU(p + q)/S(U(p) ® U(q)), C.I ~ Sp(2p)/U(p) и D.III ~ SO(2p)/U(p) [5], [6].
Интерпретация МОЗ как обобщенных преобразований Фурье и его распространение на так называемые "квадраты" решений (см. работы [7] для случая регулярных и работу [8] для случая нерегулярных элементов J) позволяют исследовать все основные свойства соответствующих НЭУ. Такое исследование включает: 1) описание класса НЭУ, которые отвечают данному оператору Лакса L{А) и могут быть решены посредством МОЗ; 2) построение бесконечного семейства интегралов движения; 3) построение иерархии их гамильтоновых структур. ~ ,, „ j --s î •>.;-,>
Вырожденность J означает, что подалгебра gj С g элементов, коммутирующих с J (т.е. ядро оператора adj), является некоммутативной, что усложняет вывод фундаментальных аналитических решений (ФАР) оператора Лакса (5) и построение соответствующего (порождающего) рекурсионного оператора Л. В данной работе, используя кали-бровочно-ковариантный подход [7], [8], мы опишем в общих чертах явную конструкцию
/-• '
/
эстов tft-■ллчо.тг ^ТЛГЛ-ДТМ^ и ханом ¿ í">ч.Ti'»-
s.ífi: j
(3)
ми в физике - это так на-
(4)
гонентных векторов, и алгебр Ли к уравнениям жду многокомпонентными III) и однородными и сим-1ируемые системы МНУШ :са использована обобщен-
А) = 0,
оН 1
> (5)
1 простой алгебры Ли д и '(х,<) принадлежит копри-
которая может рассматри-йных эволюционных урав-|бры д таких, что а(7) ф 0. -а также является корнем пая.
ему вырождению способах бственных значения ±2о; в [ с несколькими типами сим-;,)), С. I ~ Бр(2р)/и(р) и
урье и его распространение ш случая регулярных и ра-г исследовать все основные ючает: 1) описание класса могут быть решены посрея-юв движения; 3) построение
1ентов, коммутирующих с J усложняет вывод фундамен-}) и построение соответству-ной работе, используя кали-чертах явную конструкцию
о многокомпонентных уравнениях
315
рекурсионного оператора, связанного с оператором (5). Далее мы выведем алгебраические Х4-редукции МНУШ на симметричном пространстве типа D. III, связанные с алгеброй Ли D4. Насколько нам известно, полученные редуцированные МНУШ явля-
ются новыми.
'ЛХНшх.*'; ".«ЯКЭвГЭ«?- VS <Г?л> .WT^tb'i А)
Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 приведены некоторые предварительные сведения относительно простых алгебр Ли. В разделе 3 описываются модели МНУШ общего вида и соответствующие рекурсионные операторы. В разделе 4 обсуждаются особенности гамильтоновых свойств рассматриваемых систем. В разделе 5 с помощью действия группы редукций [9] получены два 4-компонентных НУШ.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Установим обозначения и нормировочные условия для генераторов Картана-Вейля {hk,Ea} алгебры g (г = rankg) с системой корней Д. Введем Л* € f), к = 1,... ,г, как элементы Картана, дуальные к ортонормированному базису {е^ } в корневом пространстве 17", и генераторы Вейля Еа, а € Д. Их коммутационные соотношения имеют вид
-^¿(а.еОЛ*,'00^' Na,ßEa+ß, а + /? € Д, ллЯЯж Н ifc
[hk,Ea] = (a,ek)Ea, [£а,£.а| = Г N
(6)
а + U {0}. 4 - * 1
Здесь а = а^е^ - г-мерный вектор, дуальный кУ € (],и(-, •) - скалярное произ-
ведение в Ег. Нормировка базиса определяется формулами ■ !V
Е-а — Е^,
{Е-а,Еа) =
(а, а)'
N-a,-ß = -Na,ß, ;
где Naj3 = ±(р -I-1), целоер 0 такое, что а -I- s/З € Д для всех s = 1,... ,р, а -I- (р + 1)0 $ Д, и {•, •) - форма Киллинга алгебры g (см. [6]). Система корней Д алгебры g инвариантна относительно группы Wg вейлевских отражений Sa:
„ 2
Say = y - 7-г-а,
(а, а)
oía
а € Д. (8)
■mxim-í :
С каждым отражением Sa можно связать внутренний автоморфизм алгебры АсЦа € Auto 0, который действует на базис Картана-Вейля естественным образом, а именно:
Sa(Hß) = AaHßA~l = Hß>, ß' = Saß, Sa(Eß) = AaEßA-1 = Tla,ßEß,, na,ß = ±1.
(9)
Поскольку Б а = 1, то должно выполняться А2а = ±1.
Как уже отмечалось во введении, МНУШ соответствуют оператору Лакса (5) с нерегулярными (фиксированными) элементами Картана J е Ь- Если J - регулярный элемент подалгебры Картана алгебры д, то ас^ имеет столько различных собственных значений, столько корней у алгебры, и эти собственные значения имеют вид а^ = (■/),
а^ € А. Такие элементы 3 могут быть использованы для введения упорядочения в системе корней, если принять, что а > О при а(7) > 0. В дальнейшем мы будем полагать, что все корни, для которых а(7) > 0, положительны.
Очевидно, что собственные подпространства оператора ас1 у могут рассматриваться как градуировка алгебры д. Ниже рассматриваются симметричные пространства, связанные с максимально вырожденными 7, т.е. такими, для которых ас!у имеет только два ненулевых собственных значения ±2 а. В таком с л уча« алгебра д представляется в виде прямой суммы подалгебры до и линейных подпространств д±: ИЗ ^ ?лг>-ип ■.•■'..4 ."I
9 = 9о® 0+ $0-, 9± =\.с.{х±] I = ±2аХ±}.
Т^-"" г
Подалгебра до содержит подалгебру Картана!), а также все корневые векторы Е± а € д, соответствующие корням а таким, что (а, а) = 0. Система корней Д расщепляется на подмножества Д = во и 0+ и (—#+), где
т. в0 = {а € Д | а(7) =0}, в+ = {а € Д | а(7) =а> 0}с - , (10)
Для того чтобы упростить потенциал <5, можно использовать коммутирующее с 3 калибровочное преобразование; в частности, можно устранить все компоненты д, принадлежащие до. В действительности это означает, что наш потенциал д(:г, £) = д+ (х, Ь) + <5_ (х, € 0+ и д_ может рассматриваться как локальная координата на коприсоещи-ненной орбите Мз — д\до: 5
Я+(х,1)= ]Г Ча(х,1)Еа, Я-(х,1) = ра(х, (И)
У* ••'» '.-«
Очевидно, что <5± € д± и " * " "
ас!уд = [7,д]=2 а(0+-0_)';-'>(аЙ7)-10=^-(0+-д_); (12)
■■ ¿а
кроме того, [Еа, Е@\ = 0 для любой пары корней а, (3 € 0+. Это упрощает решение рекуррентных соотношений и явное вычисление рекурсионного оператора Л.
3. МОДЕЛИ ТИПА МНУШ
3.1. Представление Лакса и общий вид НЭУ. Оператор (5) вместе с соответствующим оператором М(А): — - - ,.».*<•,
М(Х)ф = ^ ^ - [<Э, ас17х д] + 2гас171 дх + 2Ад - 2А2А) = о,
(13)
где д = Я(х, £), дают представление Лакса для систем типа МНУШ. Условие совместности [¿(А), М(А)] = 0 уравнений (5) и (13) дает общий вид МНУШ на симметричном пространств
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.