МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2010
УДК 539.4/621
© 2010 г. Р.В. ГОЛЬДШТЕЙН, Н.М. ОСИПЕНКО
О МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ СТРУКТУРИРОВАННОЙ СРЕДЫ В УСЛОВИЯХ СЖАТИЯ
Для инициирования хрупкого разрушения в структурированной среде необходимо наличие растяжения. Одним из возможных вариантов сценария разрушения в условиях сжатия является развитие растяжения в окрестности локальных концентраторов. Размеры таких областей зависят от уровня всестороннего сжатия (давления). По мере его возрастания они уменьшаются, приближаясь к размерам отдельных структурных элементов среды (зерен, пор). В этих условиях механизмы хрупкого разрушения среды отличаются от распространенных в обычных конструкционных материалах.
Рассмотрены механизмы хрупкого разрушения при сжатии. Считается, что в качестве источников локального растяжения, необходимого для развития разрывов, выступает такая реакция элементов гетерогенной структуры среды (пор), при которой внешние сжимающие напряжения способны трансформироваться в локальное растяжение, достаточное для развития трещин. Характерной ячейкой, представляющей масштаб ведущего процесса локального разрушения, в этом случае является объем, содержащий две поры. Их слияние воспроизводит элементарный процесс разрушения.
Повышение уровня давления приводит к повышению роли таких процессов разрушения и развитию упорядоченных структур разрушения. На примерах сценариев разрушения при нагрузках, представляющих комбинацию однородного сжатия и сосредоточенного воздействия, показаны условия развития разрывов, в концевых областях которых реализуется элементарный акт слияния пор, а также появление линейных структур, таких как кулисы или эшелоны микротрещин.
Ключевые слова: эшелон трещин, разрушение, структура, сжатие.
1. Хрупкое разрушение при сжатии. Модель разрушения пористой среды. Согласно предложенной ранее модели квазихрупкого разрушения гетерогенной среды при сжатии [1] при инициировании нормального разрыва требуется, чтобы в некоторой области материал был подвержен локальному растяжению внутренними напряжениями, возникающими в окрестности неоднородностей или локальных концентраторов напряжений, каковыми могут быть, в частности, элементы структуры. Таким механизмам разрушения посвящен ряд работ [2—7]. Здесь остановимся на варианте развития нарушений в условиях неоднородного поля напряжений с преобладанием сжатия. Внешние напряжения представим в виде комбинации однородного объемного сжатия и локализованного силового воздействия. Сценарии разрушения под действием комбинации сжатия и локализованной нагрузки характерны, например, для массивных керамических конструкций или горных пород.
Если в масштабе отдельного нарушения условия предельного равновесия соответствуют условиям равновесия микротрещины нормального разрыва, критерий инициирования разрушения сводится к достижению критического уровня коэффициента
Т1 | 1 | 1 1
м-?—* R А/ "
2L
Фиг. 1
а
а
2
2
а
интенсивности напряжении для микротрещин у типичных элементов структуры, имеющих длину порядка расстояния между такими типичными элементами [1, 2]:
К1(а1) + ) = К** (1.1)
где К** — трещиностойкость в масштабе микроразрушения, К](а1) — коэффициент
интенсивности напряжений в вершине дефекта от действия напряжений внешнего сжатия вдоль направления микротрещины, К/а2) — коэффициент интенсивности напряжений от действия внешнего поля напряжений по нормали к этому направлению.
Для слабо взаимодействующих дефектов упомянутые функции К/ст,) (, = 1, 2) можно считать линейными функциями соответствующих напряжений. Это следует из решений задач механики разрушения для тел с трещинами [8]. Здесь, следуя [2, 6], ограничимся моделью инициирования хрупкого разрушения пористой среды.
В плоской модели представим среду как упругую плоскость, содержащую круговые отверстия радиуса Я, расположенные на среднем расстоянии 2Ь друг от друга. Примем для пористого тела, содержащего одинаковые поры, соотношение между размерами пор и пористостью п в виде
п ~(Я/Ь)3 (1.2)
где Я — характерный размер (радиус поры), Ь — полудлина расстояния между порами.
Напряжения ст2, ориентированные поперек оси сжатия, могут быть как растягивающими, так и сжимающими. Очевидно, что в первом случае они увеличивают интенсивность напряжений в вершинах микроразрывов у отдельных пор, а во втором уменьшают. В связи с этим отметим существование двух характерных режимов развития магистральных разрывов, образующихся при слиянии микротрещин соседних пор. Если напряжения ст2 растягивающие (или ст2 = 0), магистральная трещина развивается вдоль оси сжатия неустойчиво, т.е. рассекает весь нагружаемый объем. В случае сжимающих напряжений рост магистральной трещины прекращается при некоторой ее длине, зависящей от величины ст2. В качестве зародышевого очага разрушения в структуре пористого тела каждый раз выступает процесс слияния трещин от двух соседних пор вдоль оси сжатия (фиг. 1). Очевидно, что при инициировании магистрального разрыва необходимо объединение, по крайней мере, двух микротрещин. Поэтому для условий инициирования длина разрыва соотносится с полурасстоянием между активными элементами структуры Ь.
Модель разрушения в окрестности поры содержит два параметра: характерный радиус поры Я и эффективную трещиностойкость в масштабе одиночной поры К** . Их
удобно представить в виде комплекса. Тогда уравнение предельного равновесия приобретает вид
К**/4ЛЯ * - + ^ (1.3)
Функции ^ и ^ определяются решением плоской задачи теории упругости о плоскости с отверстием и симметрично расположенными трещинами, выходящими на его контур. Численные решения этой задачи при нагружении плоскости однородными напряжениями и ст2 (см., например, [2, 5, 9, 10]) неудобны для наглядного параметрического анализа. Поэтому при практическом использовании они могут быть заменены приближенными аналитическими функциями. Далее используется вариант приближенной записи /¡, отвечающей описанным условиям:
^ * О-1 1 А//Я 0 2 ГДЛ 1.5
(А //Я )2 + 0.045 4 Я 7 (1.4)
Я + А / = Ь; Я/Ь = п/3
где А/ — длина микротрещин.
Практическая точность аппроксимации с учетом некоторого разночтения результатов численного счета, полученных различными авторами [2, 8, 10], в диапазоне значений 0.2 < (А//К) < 1 составляет около 5%.
Указанный диапазон значений А//К связан со сценарием инициирования трещин на контуре отверстия (естественная шероховатость контура пор (А//К)0 ~ 0.2+0.3 задает размер начального дефекта) и слияния трещин при пористости порядка п ~ 0.1+0.2, когда ((А//Я)тах < 1).
Функция /2(А//К) с точностью до 10% описывается простым соотношением
/2(А//Я) * V1 + (А//Я) (1.5)
Комплекс К** / VпЯ для реальных пористых материалов может быть найден по результатам экспериментов по их разрушению при одноосном сжатии.
Значения функций ^ и ^ выбираются с учетом характера процесса разрушения. В частности, при одноосном сжатии значение отношения (А//К) должно соответствовать условиям слияния соседних пор, так как предполагается в основном устойчивый рост трещин до момента слияния, в то время как при растяжении (А//К) отвечает начальной шероховатости контура пор из-за неустойчивости развития разрыва. В случае неравномерного всестороннего сжатия также возможен устойчивый рост малых трещин. Эффективное соотношение между относительной длиной трещины при слиянии пор и инициировании трещины (т.е. уровень эффективной шероховатости пор) можно оценить по величине отношения прочности материала при одноосном растяжении и сжатии.
В некоторых вариантах системы внешних нагрузок в среде, где реализуется упомянутый механизм развития малых трещин в окрестностях отдельных элементов структуры, возможно развитие магистральных дефектов, предельное равновесие которых определяется условиями локального разрушения в окрестностях элементов структуры в его вершине. Описанный вариант распространения магистрального дефекта, морфологически напоминающего разрыв, будем называть комбинированным разрывом.
2. Условия разрушения в концевой области комбинированного разрыва. Рассмотрим плоскую модельную задачу о магистральном разрыве, предельное равновесие которого обеспечивается условиями слияния пор в малой области на продолжении разрыва в упругой плоскости, нагруженной по двум осям однородными сжимающими напряже-
р
р
Фиг. 2
ниями стх и сту, и сосредоточенными силами Р, действующими поперек разрыва в его средней части (фиг. 2).
Напряжения а* и а* в уравнении предельного равновесия микротрещин (1.3)
представим в виде суммы напряжений от перечисленных источников. В модельной задаче будем также учитывать напряжения в малой окрестности вершины разрыва. В рассматриваемом приближении ограничимся асимптотикой упругих напряжений в вершине эквивалентной разрыву трещины на ее продолжении.
Будем рассматривать предельное равновесие микротрещин, ориентированных вдоль радиального направления к вершине разрыва на его продолжении
а, 2(К1) = К/41Лт
(2.1)
Р г~ КI = — + а у*] п I
л/п/
(2.2)
где г — малое расстояние от вершины разрыва. Для выполняемых оценок соотнесем его с полурасстоянием Ь между порами.
Учтем также, что действие всестороннего сжатия не изменяет ориентацию главных напряжений и, следовательно, ориентацию разрыва, который в данных условиях остается прямолинейным. Суммируя сказанное, получим оценку коэффициента интенсивности напряжений в вершине микротрещин при выполнении условий слияния пор на продолжении разрыва и совокупном действии всех компонент напряжений в окрестности макроразрыва
К1 = ахЛ/яЯ( -
/г
(/2 -/1 )Г Р
+ ТЛЯ) -/1-- + /2
0.11 А/ / Я
= 0 . 1 1 (п ~ 1 /3 - 1)
1/3
(А//Я)2 + 0.045 (п1р - 1 )2 + 0.045
/2
(2.3)
, , А / -1/6 1 + — = п Я
Функция (2.3) немонотонна. Ее минимум достигается, если напряжения и ст2 разного знака:
а
X
а
у
X
У
III
Фиг.3
'АЛ * . 0.66 + 0 ; ^ < 0 (2 4)
Напомним, что в механике разрушения предельное равновесие в вершине прямолинейного магистрального разрыва не зависит от напряжений, действующих вдоль него. Для оценки значимости этих напряжений рассмотрим вспомогательную схему, в которой эффективная трещиностойкость пористого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.