БИОФИЗИКА, 2009, том 54, вып.2, с.267-273
БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 577.35
О МОДЕЛИР ОВАНИИ РЕАКЦИИ РЕЗИ СТИВНОГО СО СУДА
НА ДАВЛЕНИЕ
© 2009 г. Н.Х. Шадрина, В.А. Бучин*
Институт физиологии им. И.П. Павлова РАН, 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова, 6; *Институт мех аники Московского государственного университета им. М .В. Ломоносова, 119192, Москва,
Мичуринский пр., 1 Поступила в p едакцию 28.11.08 г.
Pеакция pезистивныx cоcудов на изменения тpанcмуp ального давления, т.е. pазноcти давлений на внутpенней и внешней повеpxноcти стенки со cуда, является одним из cущеcтвенныx фактоp ов локальной регуляции кровотока в сосудистом рус^е. Основная роль в осуществлении этой р еакции пр инадлежит свободным ионам кальция (Са ) в цитоплазме гладкомышечных клеток: от их концентр ации зависит ур овень сокр атимости клеток и, как следствие, просвет со суда. Предложена новая математическая модель течения крови в малом артериальном сосуде, обладающем реакцией на давление. Предполагается, что радиус управляется единственным пар аметром, характер изующим ур овень сократимости гладкомышечных клеток. Статические соотношения между параметрами модели получены аппроксимацией данных, зарегистриро-ванных в опытах на мозговых сосудах крыс, однако, способ построения модели позволяет использовать ее для сосудов любой о р ганной пр инадлежности. Модель не только описывает регуляцию про света сосуда давлением2+ но и позволяет воспроизвести реальную динамику изменений радиуса и концентрации С а пр и разной скорости изменения внутрисо судистого давления. Одномерная постановка задачи позволяет проследить изменения параметров вдоль со суда.
Ключевые слова: кровеносный сосуд, регуляция, реакция Остроумова-Бейлисса, модель.
К резистивным сосудам относят малые артерии и артериолы, на долю которых приходится основное падение давления в кровеносном русле. Радиус резистивного со суда может изменяться за счет пассивных растяжений и вследствие сократительной активности гладкомышечных клеток в стенке сосуда, ор иентирован-ных преимущественно в окружном направлении. Сократимость гладких мышц регулируется центральными (нервными) механизмами и местными (локальными) реакциями. В работе рассматривается одна из местных реакций, а именно, участие трансмурального давления (разности внутр исо судистого и внешнего давлений) в регуляции сократительной активности сосудистых гладких мышц, или сосудистого тонуса. В основе реакции сосуда на изменение транс-мурального давления, известной как реакция Остроумова-Бейлисса, лежит чувствительность гладких мышц к растяжению и/или натяжению [1]. Повышение внутр исо судистого давления, растягивающего стенку, стимулирует сократительную активность гладких мышц, что приводит к уменьшению просвета сосуда, понижение - уменьшает степень растяжения стенки и сократительную активность [2], в результате чего сосуд расширяется. Реакция на давление
сопровождается увеличением концентрации свободных ионов кальция в цитоплазме глад-комышечных клеток ([С а2+]1), что опоср едуется в значительной степени поступлением ионов кальция (Са2+) через упр авляемые мембранным потенциалом кальциевые каналы. Рост [Са2+] инициирует последовательность внутриклеточных реакций, приводящую к сократительному ответу. Кальций может оказывать не только пр ямое действие на сократимость путем активации фосфорилирования легких цепей миозина, но и опосредованное, влияя на межклеточные контакты, степень участия мембранных ионных каналов, выброс Са2+ из клеточных депо, чувствительность сократительного аппарата к Са2+ [1]. Степень проявления реакции, диапазон параметров, при котором реакция наиболее выражена, зависят не только от калибра сосуда, но имеют и о рганную специфичность.
Существует много работ, посвященных описанию реакции Остроумова-Бейлисса [3-7] (см. обзоры [8,9]), различающихся уровнем сложности и количеством вводимых параметров. В более простых моделях не учитываются механизмы, лежащие в о снове сосудистой реакции;
в моделях, вводящих в рассмотрение внутриклеточные процессы, возникают трудности в оценке значений многочисленных коэффициентов. Впер вые модель, сочетающая простоту и рассмотрение внутриклеточных параметров, была сформулирована в работе [10]. За редким исключением, в имеющихся моделях не принимаются во внимание органные особенности проявления сосудистой реакции. Задача данной работы состояла в построении наиболее простой модели течения крови в резистивном сосуде с учетом его органной принадлежности и механизма осуществления реакции Остроумова-Бейлисса. Данные, включающие результаты измерений макро- и микроскопических параметров (внутреннего радиуса сосуда и [Са на одном объекте исследования в достаточно шир оком диапазоне давлений, удало сь обнар у-жить лишь для мозговых сосудов кр ыс [11,12]. П редлагаемая модель строится с использованием результатов этих экспериментов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается квазиодномерное течение вязкой ньютоновской жидкости в податливом сосуде, внутренняя поверхность которого слабо отличается от кругового цилиндра. Предполагается, что радиальная составляющая скорости мала по сравнению с продольной, инерционными членами можно пренебречь по сравнению с вязкими. Последнее справедливо, когда число Рейнольдса (Ие) и параметр Уомерсли малы, а радиус сосуда мал в сравнении с его длиной. Как показывают оценки, в рассматриваемых сосудах Ие и пар аметр Уомерсли меньше единицы. Внешнее давление считается постоянным, положим его равным нулю. Ур авнения со хр а-нения массы и количества движения для крови при отсутствии оттока в боковые ветви сводятся [10] к
бй бпЯ2 „
а + = 0, дх дг
,бЯ
й =
пЯ4 Эр 8п бх'
(1)
где й - расход, Я — внутренний радиус со суда, П - вязкость крови, р — внутр исо судистое давление, х — продольная координата, г — время.
Будем считать, что радиус сосуда регулируется параметром Ст, имеющим смысл концентрации свободных ионов кальция в цитоплазме гладкомышечных клеток. Уравнение для радиуса постулируется в следующем виде:
ЛЯ(Ст)^ + Я = Лр(Ст)др + ^(Р) - Расг(Ст)- (2)
Для пассивного сосуда Ст = 0, Faci= 0, и уравнение (2) сводится к уравнению для трубки из нелинейного вязкоупругого материала. Далее полагается, что коэффициенты Лк, Лр — постоянные величины, остальные функции в (2) задаются аппроксимацией соответствующих экспериментальных данных из работы [11]. Статическую зависимость радиуса пассивного сосуда от давления представляли функцией:
Я тах - Я (°)
^(Р) = ЯI
-, а = сопз1, Ят
р + а
максимальное значение радиуса, Я (0) — значение радиуса при р = 0. Изменения статических значений радиуса (Ст) = Fpas - Я, вызванные сокращением гладкомышечных клеток, аппроксимировали полиномами (сплайн-аппроксимация). Зависимость ^ас1(Ст) после превышения величиной Ст определенного уровня имеет тенденцию к насыщению, что может свидетельствовать об уменьшении чувствительности сокр а-тительного аппар ата к [Са2+] после достижения ср едним окружным напряжением в сосудистой стенке некоторой пороговой величины (см. ниже).
Как следует из экспериментов [13] на артериальных сегментах мозговых сосудов диаметром от 50 до 200 мкм и выше, при регуляции сосудистого тонуса поддер живается постоянство ср еднего (по толщине) окружного напряжения в средней оболочке (медии) сосудистой стенки, содержащей сократительные элементы. В мозговых артериолах средняя оболочка занимает около 70% площади поперечного сечения стенки [14]. Если полагать, что такое же соотношение имеет место и в стенке мелких мозговых артерий, то оценки показывают, что даже при полном расслаблении гладкомышеч-ных волокон отношение толщины гладкомы-шечного слоя к толщине всей стенки составляет 0,7, при сокращении гладкомышечных клеток это отношение может только возрастать. Поскольку толщина внутренней оболочки стенки почти на пор ядок меньше, можно считать, что статическая концентрация Ст определяется ср едним окружным напряжением в сосудистой стенке: с = рЯ /Н, где Н — ее толщина. И сходя из этих рассуждений, уравнение для Ст записывали следующим образом:
дС
а-
эт="С-++
(3)
а
Пpисутствие производной от давления в пр авой части уравнения обусловлено зависимостью динамики изменения [Са2+] от скорости роста величины механического стимула [15]. Функцию ^(ст) задавали как сплайн-аппроксимацию соответствующей статической зависимости, полученной пер есчетом данных работы [11]. Коэффициенты а и в в уравнении (3) считали постоянными величинами. Система уравнений (1)—(3) замыкается уравнением сохранения массы для материала стенки, которое в случае отсутствия продольных деформаций сводится к
Sw = n[(R + h)2 - R2] = oonst . (4)
Краевые условия для системы уравнений
(I)-(4) со стояли в задании давлений на концах сосуда. Вследствие малости числа Уомерсли пульсации давления не рассматривали. Начальные условия либо брали из статических экспериментальных кривых, либо вычисляли решением задачи на установление при переходе от некоторого статического состояния к тому, которое являлось исходным для рассматриваемого случая.
ЧИСЛЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Как уже указывало сь, при расчетах использовали экспер иментальные данные работы [11]. Полагали, что Rтах = 116,4 мкм, R (0) = 48,92 мкм, а = 25,21 мм рт.ст., п = 4 мПас, длина сосуда l = 20 Rтах. Сплайн-аппроксимацию функций ^ай(Ст) и у(ст) производили полиномами третьей степени с помощью пакета Мар1е. Для коэффициентов при производных использовали следующие значения: ЛR = 40 с, Лр = 1,510-3 м2-н-1-с, а = 50 с и в = 2,25-10-10 М-м2-с-н-1. Эти параметры подбирали таким образом, чтобы расчетные кр ивые R (t) и Cm(t) после ступенчатого повышения внутрисосуди-стого давления от 10 до 60 мм рт.ст. минимально отклонялись от соответствующих экспер иментальных точек, полученных в работе
[II]. Постоянную S w вычисляли, исходя из того, что отношение толщины стенки пассивного сосуда к внутреннему радиусу при р = 100 мм рт. ст. равно 0,15 [16].
После перехода к безразмерным переменным для решения системы уравнений (1)-(3) использовали конечно-разностную аппроксимацию. Для нелинейного уравнения в ч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.