< 3
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 621.311.016.35.001.24
© 2008 г. УШАКОВ Е.И.
О МОДЕЛЯХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЭС С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЙ ЧАСТОТЫ*
Дан сравнительный анализ методов учета изменений частоты в уравнениях ста-торной цепи при пренебрежении быстрыми электромагнитными процессами в этой цепи. Показано, что использование понятия индивидуальных частот напряжений узлов при составлении уравнений статорной цепи нецелесообразно. Учет изменений частоты следует осуществлять по методу единой частоты в виде средневзвешенной частоты вращения синхронных машин системы.
Введение. Расчеты переходных процессов и устойчивости сложных электроэнергетических систем (ЭЭС) во всем мире проводятся без учета переходных электромагнитных процессов в статорной цепи. Это предполагает представление статорной цепи электрических машин уравнениями установившихся режимов, которые в этом случае часто называют уравнениями квазиустановившихся режимов, из-за зависимости их от переменных, определяемых дифференциальными уравнениями роторов. Принципиальная возможность замены части дифференциальных уравнений алгебраическими (разделение движений на быстрые и медленные) обоснована в математической теории сингулярных возмущений. Эта теория неоднократно привлекалась для обоснования допущения о пренебрежении переходными процессами в статорной цепи. Для многомашинных ЭЭС результаты приведены в работах [1, 2]. В частности, показано, что в общем случае в уравнениях статорной цепи следует учитывать изменения частоты в виде единой для всех элементов статорной цепи средневзвешенной угловой скорости синхронных машин системы.
Вместе с тем, до настоящего времени более распространен другой подход к учету изменений частоты, предложенный в работе [3]. В основе этого подхода лежат интуитивные представления о том, что в переходном процессе напряжения узлов характеризуются своими собственными индивидуальными частотами. Уравнения статорной цепи получают при этом по принципу наложения синусоидальных э.д.с. различных частот, в качестве которых рассматриваются э.д.с. синхронных машин (СМ) с частотами, равными их угловым скоростям, и напряжения в узлах сети в виде фиктивных э.д.с. с неизменными, но разными частотами. В литературе этот подход иногда называют методом фиктивных э.д.с., лучшим представляется название "метод индивидуальных узловых частот". Этот метод принят в работах по статической устойчивости [4-6]. Уравнения переходных процессов, использующие для описания статорной цепи понятие индивидуальных частот напряжений, рассматриваются в [7-10 и др.], они применяются в известных отечественных программах расчета переходных электромеханических процессов ЭЭС "КУ-ВНИИЭ" [7], "МУСТАНГ" [11] и зарубежных программах [12].
Цель настоящей статьи - сравнительный теоретический анализ метода индивидуальных узловых частот и метода единой средневзвешенной частоты с проверкой полученных результатов на численном примере.
* Работа поддержана грантом Президента РФ для ведущих научных школ РФ НШ-6468.2006.8
Следует отметить, что одним из первых иа принципиальное значение изменений частоты в уравнениях переходных процессов обратил внимание П.С. Жданов [13]. Однако предложенная им методика, основанная на принципе наложения э.д.с. СМ, не нашла применения в силу своей громоздкости и малой наглядности. Кроме того, предлагаемая им модель не учитывала переходные процессы в роторных обмотках синхронных и асинхронных машин (АМ). В работе автора [14] подход П.С. Жданова был усовершенствован и распространен на случай учета переходных процессов в обмотках возбуждения СМ. Однако расчеты ряда примеров показали, что при наличии в схеме АМ результаты, в сравнении с полной моделью, неудовлетворительны. Возможные причины этого обсуждаются в [1].
Ниже рассматривается ЭЭС, схема замещения которой содержит п синхронных машин (СМ), т асинхронных машин (АМ) и N узлов сети, связывающей СМ и АМ. Все СМ имеют по одному демпферному контуру в продольной и поперечной осях. Схема сети и статорные обмотки машин симметричны. Предполагается, что в узлах сети могут быть нагрузки, заданные постоянными (при неизменной частоте) сопротивлениями. Рассматриваются полная модель и две модели с упрощенным описанием статорной цепи без учета электромагнитных процессов. В одной из упрощенных моделей уравнения статорной цепи записываются в предположении единой для всех токов и напряжений частоты в виде средневзвешенной угловой скорости синхронных машин. Эта модель обоснована в [1, 2]. В другой модели для описания статорной цепи используется метод узловых частот. Исходные уравнения для всех трех моделей приведены в Приложении 1, они отличаются уравнениями статорной цепи. Для всех уравнений ниже используется общепринятая система относительных единиц, в которой за единицу базисного времени принята величина, обратная номинальной угловой частоте электрической сети юбаз = юном = ю0 = 100п. Все постоянные времени в уравнениях переходных процессов выражаются в радианах и представляют собой большие величины из-за наличия множителя в виде ю0. Постоянные механической инерции роторов машин умножаются еще и на относительное значение номинальной мощности.
При использовании метода узловых частот принято представлять АМ дифференциальным уравнением механического движения, без учета электромагнитных процессов в роторных обмотках. Но в [1, 2] показано, АМ лучше моделировать с учетом электромагнитных процессов в роторных цепях, поэтому для сравниваемых методов применяется модель АМ с учетом переходных электромагнитных процессов в обмотках ротора и его механического движения.
Теоретический анализ. Уравнения статорной цепи можно записывать в любой системе й, ^-координат, вращающейся с произвольной угловой скоростью. Последняя должна быть определена из дополнительных условий. Для удобства сравнения всех рассматриваемых моделей применяется одна и та же угловая скорость системы координат статорной цепи, определяемая в виде
п п
®св = 0 < 1; = 1. (1)
1 1
При этом матрица индуктивностей каждой СМ зависит от угла ее ротора относительно принятой системы координат. Указанные углы подчиняются соотношению [1, 2]
0. (2)
В (1), (2) 5; - угловая скорость и угол ротора 1-й СМ, отсчитанный от оси, вращающейся с угловой скоростью юсв.
Угловая скорость системы координат статорной цепи далее принимается в качестве единой для всех элементов статорной цепи угловой частоты при записи уравнений ста-
п
торной цепи по методу единой частоты. Сравнение корней полного и упрощенного характеристического уравнения конкретных примеров показало, что результаты слабо зависят от выбора весовых коэффициентов в (1). Но все же несколько лучшие результаты дает взвешивание по постоянным механической инерции СМ. Поэтому в приво-
п
димом ниже примере расчета принималось ^ = ^ Т^.
п = 1
Соотношение (2) можно исключить из рассмотрения, если выразить один из углов через оставшиеся углы. Более удобным и наглядным представляется переход к взаимным углам и угловым скоростям СМ с помощью следующих соотношений
е; = 5Ш = 5,- - 5п, (I = 1,..., п -1);
П^1 (3)
5,- = е,- - ХцД, (, = 1,., п), еп = 0.
= 1
Как показано в [2], уравнения роторных цепей СМ и АМ и уравнения их механического движения можно преобразовать к такому виду, что в интересующей области изменения переменных максимальные по модулю элементы строк матрицы Якоби правых частей соответствующих дифференциальных уравнений будут порядка единицы. В таком случае коэффициенты при производных преобразованных уравнений позволяют судить об относительной скорости изменения соответствующих переменных состояния. Для нерегулируемых систем в итоге выделяются три группы переменных, характеризуемых различной скоростью изменения. К первой относятся самые медленные переменные, это потокосцепления (переходные э.д.с.) обмоток возбуждения СМ и средневзвешенное механическое движение их роторов. К более быстрым относятся изменения сверхпереходных э.д.с. СМ, переходных э.д.с. АМ и движение роторов СМ и АМ по отношению к оси, вращающейся со средневзвешенной скоростью. Переходные процессы в статорной цепи оказываются самыми быстрыми, и ими можно пренебречь. Удобно каждую группу переменных, отличающихся по темпу изменения, характеризовать одной эквивалентной постоянной времени. Для группы медленных переменных выберем, с запасом, наименьшую из постоянных времени медленных переменных. Согласно оценкам [2], такой постоянной (для машин с демпферными обмотками) может быть величина Т = 0.5 Тл (о.е.). Введем малую величину е ! 1, определенную соотношением е2 = 1/Т.
В качестве характеристики более быстрых переменных примем (с запасом) наименьшую из постоянных времени данной группы переменных. В типичных случаях это будет переходная постоянная времени роторной обмотки АМ, которую можно выразить через критическое скольжение в виде ТБ = Т'а = 1/^кр (о.е.). Примем, что ТБ = = еТ. Указанное соотношение между эквивалентными постоянными подтверждается оценками параметров. Так, принимая типичное значение переходной постоянной СМ ~1 с и значение критического скольжения АМ ~0.08, получим
е = 1/Т1/2 = [ 1/(0,5 • 1 • 314)]1/2 = «0,08; ТБ/Т = (0,08)2/0,08 = 0,08«е.
Рассмотренные выше оценки темпа изменения относительного механического движения роторов СМ и АМ касаются преобразованных скоростей роторов в относительном движении, определяемых из соотношений:
«е = еые; Ы = {Юе;}; Юе,- = Ю - Юп = Юп (- = 1 •••. п -1); (4)
^щ = ^ и = 1 •••> т),
где Ьщ = Ющ - Юсв - скольжение ротора ]-й АМ относительно средневзвешенной оси; Ьфр - критическое скольжение ]-й АМ.
3 Энергетика, № 3
65
(2) = ®св + е
Ю ;п - Х Цу Ю]п
С учетом этого угловые скорости СМ можно записать
п-1 \
, (I = 1,..., п), Юпп = 0. (5)
У = 1 /
Выразив токи статорных обмоток СМ и АМ через напряжения на их зажимах и э.д.с., уравнения системы по методу средневзвешенной частоты можно представить в виде
Тйх/й = Их(е;, осв, у, 8и, и); еТйу/Л = (Е;, юсв, у, 5М, и);
(6)
0с(е;, осв, у, 8И, и) = 0,
где x = { е; , юсв) - (п + 1)-вектор медленных координат; у = {Е^м , Е^м , ёа, 0, сое
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.