ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2013, том 49, № 2, с. 3-18
== ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ =
ПРОБЛЕМЫ
О МОДЕЛЯХ ПРОГНОЗНО-ПЛАНОВОГО ТИПА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ
© 2013 г. Э.Б. Ершов, Е.С. Левитин*
(Москва)
Рассматривается новый подход к исследованию социально-экономических проблем и его формализация (математическая модель) для совместного поиска прогноза экзогенных параметров и оптимального плана. Эта модель, приводящая к поиску неподвижной точки для суперпозиции двух многозначных отображений (м.о.), эквивалентна сложной задаче глобальной оптимизации.
Ключевые слова: экономико-математическое моделирование, прогноз, оптимальный план, параметрическая оптимизация, многозначное отображение, неподвижная точка м.о., задача глобальной оптимизации.
1. ОБСУЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ПРЕДЛАГАЕМЫЙ ПОДХОД К ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ
О работах по оптимальному экономическому планированию в условиях вероятностной неопределенности. Моделирование процессов подготовки и реализации решений и/или планов в условиях неопределенности до сих пор привлекает к себе внимание ученых и практиков многих специальностей, в том числе специалистов в области управляемых процессов, математиков и экономистов. Уже в первой книге по исследованию операций (Морз, Кимбелл, 1956), переведенной на русский язык, рассматривались задачи такого типа. В частности, в задаче обнаружения и уничтожения торговых судов противника подводными лодками было необходимо определить число действующих в составе группы подлодок. От числа подлодок и отношения ширины трассы судов к эффективной дальности их обнаружения зависело среднее число потопляемых судов.
Подход к формализации поиска оптимальных решений в детерминированных и стохастических ситуациях, зародившийся в рамках исследования операций, развивался по многим направлениям. Кратко назовем только те из них, с которыми связаны цели и содержание данной статьи. Детерминированные модели оптимального планирования, в постановках которых случайные факторы и неопределенность исходных данных не считались заслуживающими упоминания, не будут характеризоваться как общеизвестные.
В эконометрическом моделировании стали использоваться модели с дискретным временем, задаваемые системами одновременных соотношений для рассматриваемой последовательности периодов. Модели представляются в виде систем, линейных по эндогенным и экзогенным переменным и аддитивно включаемым случайным ошибкам уравнений и детерминированных тождеств (Greene, 2008). Траектории эндогенных переменных получаются в виде математических ожиданий этих переменных, зависящих от задаваемых значений экзогенных переменных и параметров. Случайные ошибки в исходных уравнениях предполагаются имеющими законы распределений, не зависящие от экзогенных переменных-управлений и эндогенных переменных. Этим же свойством для случайных отклонений эндогенных переменных от их условных математических ожиданий обладают и их законы распределений. При прогнозировании на несколько периодов вперед случайные ошибки в уравнениях для таких периодов могут определять во мно-
* Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках программы президиума РАН (проект 103).
гих моделях недопустимо широкие доверительные области для значений эндогенных переменных. В этих условиях траектории математических ожиданий эндогенных переменных не могут рассматриваться как достаточно адекватно характеризующие будущие состояния моделируемой экономической системы. Но если элементы матриц при эндогенных переменных будут детерминированными функциями экзогенных переменных-управлений, то параметры законов распределений вероятностей для отклонений эндогенных переменных от их условных математических ожиданий оказываются зависящими от управлений. В этом случае задача выбора оптимального управления при задаваемом критерии оптимальности приобретает новые черты, поскольку управление влияет на неопределенность будущих возможных состояний системы. К сожалению, разработка эконометрических моделей с управляемыми законами случайных ошибок в эндогенных переменных осталась по ряду причин на первоначальном уровне.
В теории автоматического управления техническими системами был предложен подход к задачам в стохастических ситуациях (см. например, (Laning, Battin, 1956; Newton, Gould, Kaiser, 1957; Фельдбаум, 1963)). В этих работах для динамической системы переменные состояний были дополнены измеряемыми функциями от них со случайными ошибками. Впоследствии была предложена некоторая классификация стратегий стохастического управления динамическими системами в зависимости от информации, используемой в управлении. В ней выделяются системы управления (регуляторы) с разомкнутым, замкнутым и с размыкаемым обратной связью контурами (Соренсон, 1980; Бар-Шалом, Ци, 1980). В некоторых динамических системах было предложено использовать так называемое достоверно эквивалентное управление, в котором случайные переменные заменяются на их ожидаемые значения (условные средние) и получены достаточные условия для того, чтобы такое управление было оптимальным. Влияние управления на неопределенность будущих состояний системы было названо дуальным эффектом управления. Были изучены примеры нелинейных динамических систем со стохастическим управлением, для которых дуальный эффект существен и может быть использован. Для нас важно то, что в теории стохастического управления динамическими системами было признано необходимым требовать выполнения таких ограничений на управление, которые не усиливают влияние неопределенности на результаты управления. Такие ограничения должны делать управление более осторожным, чтобы попытаться уменьшить неопределенность в описании переменных состояния.
Р. Беллман (Беллман, 1964; Беллман, Дрейфус, 1965; Беллман, Калаба, 1969) предложил принцип оптимальности для многошаговых, в том числе стохастических, процессов, состоящий в том, что "в любой заданный момент времени, при любых текущем состоянии и предыдущих решениях последующие решения должны определять оптимальную стратегию относительно текущего состояния" (Бар-Шалом, Цы, 1980, с. 87). При реализации такой стратегии в дискретной стохастической задаче до текущего момента включительно известны значения наблюдаемых (измеряемых) величин, являющихся функциями случайных шумов. Следовательно, такая стратегия реализуема в реальном времени, но не может быть описана как детерминированный план действий, корректируемый в процессе его выполнения, если для моделируемой системы предложенное стратегией управление не является достоверно эквивалентным.
Для экономических моделируемых систем переменные в моменты дискретного времени интерпретируются как характеристики последовательных периодов, и сама возможность определения значений наблюдаемых случайных величин до выработки текущего решения должна рассматриваться как удобное, но не вполне правдоподобное допущение. По этой причине при моделировании экономических процессов реализация достижений в теории управляемых стохастических процессов, по крайней мере, в том ее изложении, о котором говорилось выше, вызывала большие трудности и фактически позволяла получать некоторые результаты только теоретического характера. И это в то время, как теория автоматического управления динамическими системами предлагалась и развивалась с явной ориентацией на важные практические приложения.
В прикладном экономическом моделировании неопределенность будущего, и в частности значений экзогенно задаваемых параметров моделей, всегда осознавалась (Вальтер, 1976; Раяц-кас, Суткайтис, 1978). Если такие параметры рассматривались как случайные величины, имеющие законы распределения вероятностей, параметры которых экзогенны и не зависят от искомых решений, то в таких моделях находились условные математические ожидания эндогенных
переменных. Выполнявшиеся расчеты оценок ковариационных матриц для соответствующих случайных величин оставались в рабочих материалах и не применялись для пересмотра модели, в которой использовались прогнозы ее экзогенных переменных и параметров. Известны многочисленные модели, в которых фактически без специального обоснования был задействован принцип достоверно эквивалентного управления. В частности, такими были модели, описанные в (Яременко, Ершов, Смышляев, 1975; Ершов, 2008). Однако в этих моделях использовались экзогенные прогнозы части переменных и параметров моделей, и при характеристике получаемых решений обращалось внимание на их качественную несогласованность с такими прогнозами и необходимость корректировки последних.
В почти явном виде эта же проблема возникала и обсуждалась в (Биргер, Уринсон, Чарный, 1978; Кольцов, 1980). Однако прогнозы рассматривались как детерминированные величины. При этом безусловные математические ожидания некоторых случайных величин и вполне возможные отклонения от них, реализующиеся при более детально моделируемых взаимодействиях, т.е. при учете дополнительной информации, не рассматривались и не применялись. Таким образом, проблема согласованности прогнозов разного уровня, учета их взаимного влияния осознавалась, но не формализовалась и не решалась.
В теоретических модельных исследованиях экономических систем, которые разрабатывались с различными целями, многие ученые уделяли внимание неопределенности будущего и случайности прогнозируемых показателей и параметров. Среди работ отечественных исследователей отметим статьи (Петраков, Ротарь, 1978; Аркин, 1979; Евстигнеев, Катышев, 1979; Аркин, Евстигнеев, 1979), выполненные сотрудниками ЦЭМИ АН СССР. В них при весьма общих предположениях о происходящих в экономике взаимодействиях и процессах, моделируемых посредством аппарата случайных величин, функций и процессов, законы распределения для которых постоянны и, в принципе, могли бы быть оценены, доказано существование оптимальных или квазиоптимальных решений для моделей из некоторых классов. В таких классах понятие решения определялось, исходя из их особенностей и целей моделирования. Исходные предположения моделей, возможности их наполнения реальными данными и интерпретации получаемых решений
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.