МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 532.5
© 2014 г. Д. В. МАКЛАКОВ, С. З. СУЛЕЙМАНОВ О НАТЕКАНИИ СТРУИ НА СТЕНКУ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ
В работе исследуется задача о натекании струи на стенку произвольной конфигурации. Криволинейная стенка аппроксимируется полигоном с достаточно большим числом звеньев, а затем для решения задачи струйного обтекания применяется метод, основанный на классическом подходе Н.Е. Жуковского и Дж.Х. Мичелла. Путем последовательного смещения струи установлено, что при определенной конфигурации стенки задача может иметь два решения, одно из которых — неоднолистно. Выявлены предельные режимы течения, характеризующиеся полным исчезновением одной из струй, образующихся после разделения основной натекающей струи. Сделана попытка смоделировать известный опыт об устойчивом положении лежащего на горизонтальном дне шарика при падении на него сверху тонкой струи воды. При моделировании шарик заменяется круговым цилиндром, обтекаемым безотрывно. Численно показано, что любое смещение струи вправо или влево от положения действующей на цилиндр нулевой горизонтальной силы приводит к возникновению неравной нулю силы противоположного направления, что говорит об абсолютной неустойчивости цилиндра в струе при безотрывном обтекании.
Ключевые слова: струйное обтекание, идеальная жидкость, потенциальные течения, аналитическое решение.
Общие методы построения аналитических решений плоских струйных задач обтекания полигональных препятствий были предложены Н.Е. Жуковским [1] и Дж.Х. Мичеллом [2]. В этих двух фундаментальных работах излагается, по сути дела, один и тот же метод, в котором область течения конформно отображается на верхнюю полуплоскость, а основной искомой функцией является функция Жуковского-Ми-челла — логарифм комплексно сопряженной скорости. С.А. Чаплыгиным был разработан метод особых точек [3], который значительно упростил процесс построения аналитических решений. Подробную библиографию работ, посвященных развитию идей Н.Е. Жуковского, Дж.Х. Мичелла и С.А. Чаплыгина, можно найти в монографиях [3—5].
Классический подход Жуковского и Мичелла может быть применен и для исследования струйного обтекания криволинейных препятствий посредством аппроксимации криволинейных стенок полигональными. При этом конформное отображение параметрической области на область течения реализуется с помощью формулы, аналогичной формуле Кристоффеля—Шварца [6] отображения полуплоскости на многоугольник. Однако здесь возникает проблема определения граничных точек параметрической области, являющихся образами угловых точек полигонов. Эти образы необходимо определить из решения сложной системы трансцендентных уравнений. Попытка решения этой проблемы (так называемой проблемы параметров) была сделана в статьях [7, 8]. В первой из них исследуется классическая задача о струйном обтекании полигонального препятствия по схеме Гельмгольца—Кирхгофа. Помимо полигонов достаточно простой конфигурации с небольшим числом звеньев авторы [7] приводят весьма экзотический пример расчета 13-звенного полигона, главная цель которого показать, что проблема параметров может быть ими эффективно разрешена. В работе [8] решается задача об истечении струи из канала с полигональными стенка-
ми. В одном из примеров, рассчитанных в [8], рассматривается истечение струи из воронки, одна из стенок которой заканчивается дугой окружности с прямым центральным углом. Авторы аппроксимируют эту дугу полигоном с пятнадцатью углами, но не рекомендуют применять такой подход, как общую процедуру исследования струйного обтекания криволинейных препятствий, поскольку с их точки зрения она весьма дорогая по затратам времени вычислений.
Методы расчета натекания струи на криволинейную стенку предложены в работах [9, 10]. Следует отметить, что в этих статьях приведены лишь примеры расчетов без подробного параметрического анализа влияния положения струи.
В настоящей работе такой анализ был проведен. Применяется метод, не рекомендуемый авторами работы [8]: криволинейная стенка аппроксимируется полигоном с достаточно большим числом звеньев. При этом разработана эффективная численная процедура решения проблемы параметров: в одном из примеров число звеньев полигона равно ста. Проведенный параметрический анализ позволил обнаружить новые гидродинамические эффекты. Путем последовательного смещения струи установлено, что при определенной конфигурации стенки задача может иметь два решения, одно из которых — неоднолистно. Выявлены предельные режимы течения, характеризующиеся полным исчезновением одной из струй, образующихся после разделения основной натекающей струи. Сделана попытка смоделировать известный опыт об устойчивом положении лежащего на горизонтальном дне шарика при падении на него сверху тонкой струи воды. Предполагается, что натекание плоской струи на круговой цилиндр также должно приводить к его устойчивому положению. Круговой цилиндр заменяется на вписанную в него прямоугольную призму, в основании которой лежит правильный многоугольник с достаточно большим числом сторон. Показано, что при любом угле наклона струи существует ее нейтральное положение, при котором действующая на цилиндр горизонтальная сила будет равна нулю. Однако любое смещение струи вправо или влево от этого положения приводит к возникновению горизонтальной силы, действующей в противоположном направлении, что говорит об абсолютной неустойчивости цилиндра в струе идеальной жидкости при безотрывном обтекании. Данный результат перекликается с результатом, полученным в работах [11, 12], где установлена абсолютная неустойчивость положения равновесия тяжелого шара в стационарном потенциальном неоднородном потоке.
1. Постановка задачи. Сила и момент, действующие на стенку. В предлагаемом подходе криволинейная стенка аппроксимируется полигональной. Способы такой аппроксимации очевидны, поэтому пусть плоская струя идеальной несжимаемой жидкости, наклоненная под углом а0 к оси х, натекает на полигональную стенку ЬАхАтАпК, где п — число угловых точек. Контур стенки P состоит из ломаной А1АтА„ и продолжающих ее лучей А\Ь и А„Я. Не теряя общности, считаем, что луч А„Я направлен по оси х. Струя разделяется в точке торможения C и растекается по стенке. Область течения содержит три бесконечно удаленных точки: I, L и R (фиг. 1,а). На свободных линиях тока LI и Ж скорость постоянна и равна и0. Ширина струи на бесконечности I является заданной величиной, равной h. Положение струи по отношению к стенке определяется углом наклона струи а0 и параметром sh, равным расстоянию от оси струи до начала координат. Это расстояние считаем положительным, если вектор скорости
VI = -и0еЮ|), направленный по оси струи и рассматриваемый как сила, стремится повернуть стенку по отношению к началу координат против часовой стрелки. Отсюда следует, что знак sh совпадает со знаком алгебраического момента вектора ^ по отношению к началу координат O. Так, на фиг. 1,а параметр sh < 0. Таким образом, форма стенки и параметры и0, а0, h и sh заданы, все остальные характеристики, включая форму свободных линий тока LIи Ш, подлежат определению.
64 2 о /а1^> А1
I' ш / ДОо
^'''^ОтЛс I
Ат \"\апП Я'
Ап
\
Я х
Р
Я' " с \ б
© \
\
сь А2 с Ап - 1 Ап Я
Ь'
Ь
в п I 8 + иг/2
ь П1 Я'
© 2 /Р и
/ 2
/
Ь А! А2 с А Ат Ап Я
0 « «2 1 ап - 1 ап ^
^ РЛ/и
^2
^ п ^ т ^
Фиг. 1. Схема натекания струи на стенку (а); параметрические плоскости ^ (б) и t (в); иллюстрация к вычислению расстояния sh от оси струи (1) до начала координат (г)
г
ь
а
ь
0
Пусть и Нк — ширины струй в бесконечно удаленных точках Ь и Я, соответственно, аь — угол наклона луча ЬА1, — расстояние от ЬА1 до начала координат. Знак определяется так же, как и знак sh, т.е. совпадает со знаком алгебраического момента
вектора скорости уь =-и0е1ах, направленного по лучу А\Ь (на фиг. 1,а параметр < 0). Гидродинамическая сила R и момент М, действующие на стенку, определяются формулами
^ = |(Р - Ро)пИ, М =|то[(р - Ро)п]й!
где Р — контур стенки, р и р0 — давления в жидкости и окружающей среде соответственно, п — единичный вектор нормали, внешней по отношению к области, занятой жидкостью, d I — элемент длины контура Р, т0 — алгебраический момент вектора относительно начала координат.
Проведем в области течения удаленные сечения ЬЬ', II, ЯЯ' и выделим в жидкости контрольный объем, ограниченный этими сечениями (фиг. 1,а). Применение теорем об изменении количества движений и момента количества движений [13] приводит к равенствам
И = Ях + 1ЯУ = ри20не^ -^-е1ао) (1.1)
М = ри02к2
Ч + _к1 - кь(2*1 + кь) к 2И2 2Н2
(1.2)
где р — плотность жидкости. Отметим, что формулы (1.1), (1.2) справедливы и в случае, когда стенка представляет собой любую кривую, имеющую горизонтальную асимптоту справа и асимптоту, наклоненную под углом а£, слева. Следует также указать, что в формулах (1.1), (1.2) величины и кК неизвестны и должны определиться в ходе решения задачи.
2. Параметризация. Область течения в физической плоскости г = х + [у конформно отобразим на верхний правый квадрант параметрической плоскости ^ = Сх + ^у так, чтобы полигональная стенка перешла в действительную ось этой плоскости, свободная поверхность во мнимую ось, критическая точка C в единицу действительной оси, бесконечно удаленная точка Iв точку di (фиг. 1,5). Через аь а2,..., ап обозначим образы вершин полигональной стенки и пусть ^ = ф + [ у — комплексный потенциал течения.
Методом особых точек [3] найдем производную комплексного потенциала
d^ т С2 -1 /о 1\
(2Л)
где ф0 > 0 — постоянная, имеющая размерность потенциала скорости. Обозначим через д = Ни о, = кьи0 и = кЯи0 расходы жидкости в бесконечно удаленных сечениях II', И' и ЯЯ' соответственно. Ясно, что = дь + дК и к = + кК. Выразим толщины струй к, и Ня через параметры ф0 и d. Для этого проинтегрируем функцию dу>/d£ по полуокружности С1 бесконечно малого радиуса, четверти окружности Сц бесконечно большого радиуса и четверти окружности Сь бесконечно малого радиуса. Направление интегрирования — против часовой стрелки (фиг. 1,б). С помощью (2.1) и те
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.