ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 532.546
© 2014 г. Э. Н. Береславский
О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, СВЯЗАННЫХ С ЗАДАЧЕЙ ЖУКОВСКОГО ОБ ОБТЕКАНИИ ШПУНТА
Рассматривается фильтрация под шпунтом Жуковского через слой грунта, подстилаемый сильнопроницаемым напорным горизонтом, левая полубесконечная часть кровли которого моделируется непроницаемым основанием. Изучается случай течения, когда скорость на острие шпунта равна бесконечности и на обоих водопроницаемых участках границы области движения расход принимает экстремальные значения. Отмечаются предельные случаи, связанные с отсутствием как подпора, так и непроницаемого включения. В рамках течения с лежащим ниже хорошо проницаемым напорным пластом решается задача о фильтрации из котлована, образованного двумя шпунтами Жуковского. В случае отсутствия инфильтрации на свободную поверхность получено решение известной задачи Ведерникова. Рассматривается смежная схема, возникающая при отсутствии указанных критических точек, которая описывается за рамками ограничений, налагаемых на неизвестные параметры конформного отображения, обеспечивающих реализацию основной математической модели. Даются решения для двух схем движения в полуобратной постановке, предельным случаем одной из них является классическая задача Жуковского. Отмечаются особенности подобных моделей. Для исследования всех указанных течений применяется метод П.Я. Полубариновой-Кочиной, который позволяет получить точные аналитические представления для элементов движения. Приводятся результаты числовых расчетов и анализ влияния всех физических факторов на фильтрационные характеристики.
Рассматривается задача [1], моделирующая проникновение жидкости в неограниченный по протяженности горизонтальный водопроницаемый пласт (фиг. 1). Нижнее основание BD последнего состоит из двух частей, левая из которых BC считается непроницаемой, на правой CD напор поддерживается постоянным. Течение обеспечивается поступлением воды с поверхности земли, ее левая половина AB — полоса затопления с неизменным во времени слоем жидкости, правым краем полосы затопления служит непроницаемый шпунт Жуковского AG, основание которого расположено внутри пласта. На примыкающей к шпунту правой части имеют место осадки постоянной интенсивности с, 0 < с < 1, отнесенной к коэффициенту фильтрации грунта к = const, при этом скорость обтекания в точке основания шпунта G предполагается ограниченной сверху величиной с: 0 < uG < с.
В настоящей работе изучается движение при бесконечной величине скорости фильтрации в точке G. При этом рассматривается наиболее общий случай течения, при котором на обоих водопроницаемых участках границы AB и CD расход принимает экстремальные значения в точках N1 и N2, а граничная точка нулевой скорости Mвыходит на шпунт (фиг. 1). Отмечаются предельные случаи движения, которые соответствуют отсутствию подпора или непроницаемого включения в нижележащем пласте. В условиях, когда водопроницаемый слой грунта на всем своем протяжении подстила-
ется сильнопроницаемым напорным горизонтом, дается решение задачи о фильтрации из котлована, огражденного двумя симметричными шпунтами Жуковского. В предельном случае течения, когда отсутствует инфильтрация на свободную поверхность, получается известное решение В.В. Ведерникова [2]. Исследована смежная схема, возникающая при отсутствии критических точек N и N2, что приводит к двулист-ности соответствующей области комплексной скорости. Наконец, в полуобратной постановке приводятся решения для двух схем, связанных с отсутствием одной из критических точек N на участке границы AB или точки перегиба E на свободной поверхности DF, предельным случаем для последней является задача Жуковского [3].
Решение смешанной краевой многопараметрической задачи теории аналитических функций построено с помощью метода П.Я. Полубариновой-Кочиной [4—8], а также разработанных для областей специального вида [9—11]1 способов конформного отображения [12—14]. На базе полученных точных аналитических решений и посредством числовых расчетов проводится детальный гидродинамический анализ влияния всех физических параметров изучаемой модели на картину явления и отмечаются некоторые особенности разрабатываемых фильтрационных схем.
1См. также: Кочина П.Я., Береславский Э.Н., Кочина Н.Н. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений класса Фукса и некоторые задачи подземной гидромеханики. Ч. 1. Препринт № 567. М.: Ин-т проблем механики РАН, 1996. 122 с.
1. Постановка задачи. Исследование двумерных (в вертикальной плоскости) фильтрационных течений под шпунтом Жуковского начнем с рассмотрения схемы, называемой в дальнейшем основной. Рассматривается установившаяся фильтрация несжимаемой жидкости через слой грунта мощности Т в нижележащий сильнопроницаемый водоносный горизонт CD, содержащий подземные или артезианские воды, напор в котором имеет постоянное значение Н0 (фиг. 1). Шпунт AGF обтекается грунтовой водой под влиянием разности напоров в бьефе и нижнем хорошо проницаемом пласте. За шпунтом вода поднимается на некоторую высоту GF и образует свободную поверхность FED, на которую поступают инфильтрационные воды. Вдали от шпунта (при х ^ да) кривая депрессии горизонтальна и расположена на высоте Н0 над водоносным горизонтом. Предполагается, что граница бьефа горизонтальна, а движение подчиняется закону Дарси.
Введем комплексный потенциал ю = ф + гу, где ф — потенциал скорости, у — функция тока, и комплексную координату I = х + гу, отнесенные соответственно к кТ и Т. При таких допущениях, традиционных для рассматриваемого класса течений, моделирование изучаемого фильтрационного процесса сводится к нахождению комплексного потенциала ю(г) при следующих краевых условиях:
АВ: у = 0, ф = -И; ВС: у = -Т, у = 0; СБ: у =-Т, ф = -И0
БГ: ф = -у - Т, у = ех + 2; АГ: у = £), х = 0
где Q — фильтрационный расход. Нахождение положения свободной поверхности FD, а стало быть, высоты GFподнятия воды за шпунтом, т.е. величины — с1, представляет существенный практический интерес.
2. Построение решения. Прежде всего заметим, что краевые условия задачи (1.1) совпадают с таковыми для случая 0 < < б [1]. Однако здесь коренным образом меняется структура и вид области комплексной скорости м, соответствующей краевым условиям (1.1) (фиг. 2). Наличие на водопроницаемых участках границы течения АВ и CD точек N и N2, в которых функция тока принимает свои наименьшее и наибольшее значения, а также точки М нулевой скорости на участке АД приводит к тому, что в отличие от ранее рассматриваемого случая [1], где область м — круговой пятиугольник с одним разрезом, теперь она, оставаясь по-прежнему принадлежащей классу областей в полярных сетках [15], трансформируется в круговой семиугольник с тремя разрезами с вершинами в точках N и Е (фиг. 2).
Учитывая специфические свойства областей в полярных сетках, характеризующихся обилием прямых углов и разрезов, удобно, как и ранее [12], в качестве вспомогательной канонической области принять прямоугольник плоскости т:
здесь К(к) — полный эллиптический интеграл первого рода при модуле к [16] при соответствии вершин:
тв = 0, тр = 1/2, тд = 1/2 + ig, тА = 1/2 + га, тВ = (1 + гр)/2, тс = гр/2 где 0 < g < а < р/2.
Используя методику построения отображающих функций для многоугольников в полярных сетках [12—14], найдем для функции, реализующей конформное отображение вспомогательной области т на область комплексной скорости м, следующее выражение:
0 < Яе т< 1/2, 0 < 1т т<р/2, р(к) = К'/К, К' = К(к'), к' = V1 - к2,
= ¡Л ЯЦ+(т) + ц (т)
Яц+(т) -ц (т)
(2.1)
Я = , ц ±(т) = Э1(т ± г у)$2(т ± ;а)Э2(т + г'в) ехр(±г'пт)
Фиг. 2
где 912 — тета-функции с параметром q = ехр(—пр), который однозначно связан с модулем k [16]. В выражении (2.1) а, в и у — неизвестные постоянные конформного отображения, которые связаны соотношением
Л п(р/2 + в - а - у) = 41 и условиями
0 < а < g <Р< т < а < р/2, 0 < у < р/2
(2.2)
(2.3)
регламентирующими положение на границе области течения точки нулевой скорости M и точек N и N минимума и максимума расхода на участках AB и СД; m, g и a — неизвестные ординаты соответственно точек M, G и A в области т.
Для решения краевой задачи с условиями (1.1) используем метод П.Я. Полубарино-вой-Кочиной [4—8], который основан на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса [17]. Вводится верхняя полуплоскость £ и функции: z(0, конформно отображающая полуплоскость £ на область z при соответствии точек:
-да < < = 0 < С,е< ^ = 1 < Са < Сш < £в = < ^ = » комплексная скорость м = dю/dz, а также
П =
Z = ^ й С,
(2.4)
Определяя показатели функций ^ и Z около регулярных особых точек [4—8], найдем, что в данном случае они являются линейными комбинациями двух ветвей следующей функции Римана [4, 8, 17]:
Р
-2
N2 0 с, Р 1 с, ^ с, N к ™
0 -10 -1/2 -1/2 0 -1 3/2 С
2 -1/2 2 0 -1/2 2 -1/2 2
-2
7
«с- к-2д То-схсТ-о
7 = Р
N 2 0 2
0 С £ 0 0 0 1/2 2 1/2
1 С N1 к
0 - 3/2 С 1/2 -1
(2.5)
Поскольку ^ = С А — обыкновенная точка для функций 7, то последнему символу Римана соответствует линейное дифференциальное уравнение класса Фукса с семью регулярными особыми точками [11, 15]
У +
1
.+ ± _.
1
1
1
1
с + сN2 2С с£ 2(С-1) сN 2(С-к~2)]
У +
3С3 2с2 + х 0
(С + с ^Ж _ С е )(С _ 1)(С _ С *)(£ _ к ~2)
у = 0
(2.6)
где Х0, Х2 — дополнительные (акцессорные) параметры, которые заранее неизвестны. Замена переменных
С = 2(2К т, к)
(2.7)
переводит верхнюю полуплоскость С в прямоугольник плоскости т, а интегралы 7урав-нение (2.6), которые соответствуют символу Римана (2.5) и построены ранее [13, 14], преобразует к виду
712(т) = 903(т)91(т ± ;у)92(т ± ;а)92(т + ф)ехр(±тт)
(2.8)
Здесь зп(и, к) — эллиптическая функция Якоби (синус) при модуле к [16].
Принимая во внимание соотношения (2.5), (2.7) и (2.8) и учитывая что м = йю/йт^, придем к зависимости
й 0> ./^^(т) + 72(т) , йг = й т А(т) ' й т А(т)
А(т) = яп{2Кт, к)ёп(2Кт, к)^1 - (1 - к'2а'2>п2(2Кт, к), а' = 8п(2Ка, к')
(2.9)
где Ж — масштабная постоянная моделирования, ёп(и, к) — э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.