ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, < 4, с. 651-659
УДК 519.633
О НЕКОТОРЫХ ПОГРАНСЛОЙНЫХ РЕШЕНИЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТИПА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ1)
© 2008 г. А. Б. Васильева
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. фак-т) e-mail: abvas@mathabv.phys.msu.su Поступила в редакцию 11.07.2006 г.
Изучается решение сингулярно возмущенной параболической задачи специального вида с правой частью, не зависящей от пространственной переменной. Проводится числено-анали-тическое исследование. Библ. 3. Фиг. 8.
Ключевые слова: параболическое уравнение, малый параметр, сингулярное возмущение, по-гранслойные решения переменного типа.
1. ЧИСТО ПОГРАНСЛОЙНОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим сингулярно возмущенное параболическое уравнение
2 2
£ (uxx - ut) = (u -1)(u - Ф(t)), 0 < x < 1, -~< t < + ^, (1)
с краевыми условиями
u(0, t,£) = u°, u( 1, t,£) = u1, |u0|, lu1] < 1. (2)
Предполагается, что функция |Ф(0| < 1 и является периодической с периодом 2п, а множитель £ > 0 - малый параметр.
Наложим на решение условия 2п-периодичности
u(x, t, £) = u(x, t + 2п, £). (3)
Известно, что при определенных условиях возникают периодические решения чисто погран-слойного типа, существование которых доказано ранее (см., например, [1]). Но могут быть решения другого рода, которые в определенные моменты времени резко меняют свою форму. Такие решения называются погранслойными решениями переменного типа (ПРПТ), и о них речь пойдет ниже. Строгого доказательства существования таких решений пока не найдено, но имеются многочисленные численные расчеты, а также вспомогательные аналитические рассуждения, основанные на ряде строгих теорем.
Пусть вырожденное уравнение F(u, t) = 0, отвечающее уравнению (1), имеет корни ф-1 = -1 < < ф0 = Ф(0 < ф1 = 1 и при этом Fu lu = -1, u = 1 > 0, Fu lu = ф < 0. Введем в рассмотрение уравнения
d 2~
'd-u2 = (u2-1)(u-Ф( t)), To = x, (4)
d To £
Щ = (u2-1)(u-Ф( t)), T1 = x£1. (5)
dT2 £
Для уравнения (4) поставим краевые задачи, задав следующие краевые условия:
u( 0) = u°, u (~) = ф1 = 1, (6)
u( 0) = u0, u (~) = ф-1 = -1. (7)
1)Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 05-01-00465, 04-01-00710).
651
8*
г
Л
Фиг. 1.
Точно так же для уравнения (5) поставим краевые задачи, задав условия
и (0) = и1, и (--) = 1, (8)
и (0) = и1, И (-~) = -1. (9)
Существование или отсутствие решений у каждой из четырех задач можно осмыслить из соответствующего фазового портрета. Рассмотрим, например, уравнение (4), в котором момент времени г зафиксирован. Будем исследовать существование решений задач (4), (6) и (4), (7). На фазовой плоскости (И, йи /йт0 = г) имеют место три случая (см. фиг. 1а, 16, 1в).
Рассмотрим случай (а). На фазовой картине точки А(-1, 0) и С(1, 0) являются седлами, а точка 5(Ф, 0) - центром. Стрелки указывают направление движения при т0 —» Изобразим два возможных положения вертикали и = и0: положение 1 и положение 2. В положении 2 вертикаль и = и0 пересекает как сепаратрису, входящую в С, так и сепаратрису, входящую в А при т0 —► Отсюда следует, что существуют решения как задачи (4), (6), так и задачи (4), (7). Если же имеет место положение 1 вертикали и = и0, то такая вертикаль пересекает только сепаратрису, входящую в А, и, следовательно, существует решение задачи (4), (6), а задача (4), (7) решения не имеет.
На фиг. 1а также видно следующее. С изменением г картина на фазовой плоскости меняется и может случиться, что петля сепаратрисы уменьшится, так что положение 2 вертикали и = и0 превратится в положение типа 1. Измененная петля изображена на этом же рисунке штриховой линией. В возникшей ситуации решение задачи (4), (6) существовать не будет, а будет существовать только решение задачи (4), (7). При этом наибольшее возможное значение и0, при котором существуют решения обеих задач (4), (6) и (4), (7), - это значение и0 = и*, где и* - вершина сепаратрисы.
Подобно исследованию решения задачи (1)-(3), в те моменты времени г, когда имеет место фиг. 1а, можно исследовать решение этой же задачи в моменты времени г, когда имеет место фиг. 16.
На фиг. 1в изображены две сепаратрисы, соединяющие точки А и С (так называемая ячейка). В этом случае при любом начальном значении и0 существуют решения, как задачи (4), (6), так и задачи (4), (7).
Для уравнения (5) картина на фазовой плоскости выглядит точно так же, как для уравнения (4), но только стрелки теперь указывают направление Т —► а и0 надо заменить на и1. Исследование существования решений задач (5), (8) и (5), (9) проводится совершенно аналогично тому, что и для задач, связанных с уравнением (4).
Введем левые пограничные функции П(1)(т0, г) и П(-1)(т0, г):
П(1)(То, г) =
и(1}(То, г) - 1,
П(-1)(То, г) =
и( 1}(То, г) + 1,
(10)
где и(1) - решение задачи (4), (6), а и( 1) - решение задачи (4), (7). Левые пограничные функции
удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям
П( 1}( 0, г) = и0-1,
п
(1)
0 при Т0
и
и
и* и°
оо
П(-1)(0, t) = u° + 1, П(-1) — 0 при т0 —-
Введем также правые пограничные функции
R(1)(T1, t) = u( 1)(t1, t) -1, R(_1)(T1, t) = u(-1)(T1, t) + 1, (11)
удовлетворяющие уравнению (5) и граничным условиям
R(1)(0, t) = и-1, R( 1} — 0 при t1 —-
R(~r>(0, t) = u0 + 1, R(_1) —- 0 при T1 —
Существование пограничных функций напрямую связано с существованием решений задач (4) и (5) c краевыми условиями (6)-(9), т.е. П(1) (соответственно, R(1)) существует, если существует решение задачи (4), (6) (соответственно, (5), (6)), а П(-1) (соответственно, R(-1)) существует, если существует решение задачи (4), (6) (соответственно, (5), (9)).
Теорема 1. Если существуют пограничные функции П(1)(т0, t) и R(1)(t1, t), то существует решение u(1)(x, t, £) задачи (1)-(3) и справедлива следующая асимптотическая формула:
u{r>(x, t,£) = 1 + П(1)^£, tj + R(^^^^Д tj + O(£), 0 < x < 1, -~< t <~. (12)
Решение u(-1)(x, t, £) задачи (1)-(3) существует, если существуют пограничные функции П(-1)(т0, t) и R(-1)(t1, t). При выполнениии этих условий справедлива асимптотическая формула
u{_1)(x, t, £) = -1 + П(-1)^x, t^ + R(t^ + O(£), 0 < x < 1, < t < (13)
Решения u(1) и u(-1) называются чисто погранслойными решениями. Пограничные функции играют роль на соответствующих границах, обеспечивая выполнение граничных условий, а при удалении от границ быстро убывают. Чисто погранслойные решения изображены на фиг. 2 и соответствуют некоторому фиксированному моменту t. С изменением t горизонтальная линия u = Ф(0 движется то вверх, то вниз. Меняются со временем также и пограничные функции.
Замечание 1. Теорема 1 представляет собой ранее известный результат. Остаточный член имеет порядок O(£). Можно написать асимптотические формулы с остаточным членом порядка O(£k) (см., например, [2]). Итак, существование решения u(1), обеспечивающееся теоремой 1, ставится в зависимость от суще- ~(1) 1) V г- ~(1) -(1)
ствования решений u и u . Как было сказано выше, решения u или u могут перестать существовать и, как следствие этого, решение u(1) может перейти в u(-1). Процесс перехода достаточно сложен и до сих пор окончательно не изучен. Изображенные на фиг. 2 решения u(1) и u(-1) изменяются, но достаточно медленно: со скоростью изменения корня ф0(0 = Ф(0. Поэтому решения u(1) и u(-1) называют остановками (или состояниями) halt(1) и halt(2). Переход от одного из состояний halt к другому происходит достаточно быстро - со скоростью порядка 1/£ и называется пробегом (run). Решение уравнения (1) с переходом от со-
Фиг. 2.
u
стояния halt(1) к состоянию halt(2) и обратно через состояние run называется ПРПТ. Такие решения наблюдаются при многочисленных расчетах на компьютере, но в отличие от чисто погранслойных решений, строгого доказательства существования ПРПТ пока нет.
Учитывая, что в (1) правая часть не зависит от x, можно получить ряд строго доказанных фактов и на их основе попытаться представить достаточно детально поведение ПРПТ. Аналитические факты создают некую канву для исследования ПРПТ, и выводы подтверждаются численно. Такого рода исследование мы называем численно-аналитическим.
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ (1), НА КОТОРЫХ ОСНОВЫВАЕТСЯ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРПТ
Теорема 2. В уравнениях (4) и (5) можно понизить порядок. Для задач (4), (6) и (4), (7) имеем, соответственно,
^ = -72 (u-1)
d То
du
d То
= -72 (u + 1)
1 (u+1) 2-3 ф( t)(U + 2) 1 (u-1) 2-3 ф( t)(u - 2)
1/2
1/2
(14)
а для задач (5), (8) и (5), (9) - соответственно,
dT = 72 (u-1)
d То
^ = 72 (u+1)
d То
4 (u+1) 2-1 Ф( t)(u + 2) 4 (u-1) ^ - 1 Ф( t)(u - 2)
1/2
1/2
(15)
Замечание 2. Понижение порядка проводится стандартным образом, поскольку правая часть уравнения (1) не содержит х. Используя (14) и (15), можно выписать явно формулы для Ф(г), когда разрушаются
(см. комментарии к фиг. 1).
решения u
и u
Теорема 3. Справедивы следующие формулы для значений Ф^ к, при которых разрушаются
~(1) ~(-1) л( 1) л(-1) решения u , u и u , u :
Фо, 1 =
Ф1,1 =
3 (u 0 + 1- ) 2
4 (u0 + 2) '
3 ( u1 + 1 ) 2
4 (u1 + 2) '
Ф
о, -1
Ф1, -1 =
3 ( u - 1) 2
4 (u°-2) '
3 (u° - 1 )2
4 (u°-2) '
(16)
Первый индекс у функции к принимает значение 0 или 1 и обозначает границу х = 0 или х = 1, к которой относится и или и . Второй индекс к принимает значения 1 или -1 и означает номер функции и (к) или и (к), которая в этот момент времени перестает существовать.
Для получения формул (16) (например, Ф0, 1) надо в уравнении (14) приравнять левую часть, т.е. производную к нулю, а в правой части положить и = и0, что означает попадание и0 в вершину сепаратрисы седла (1, 0) (см. комментарии к фиг. 1). Аналогично получаются и остальные формулы (16).
Для описания быстрой стадии введем функции, которые назовем фронтами. Они имеют вид ступеньки с переходом от 1 к -1 или наоборот. Обозначим через г(г, е) точку пересечения фронта с осью и = 0. Функция г(г, е) удовлетворяет уравнению
еf=72ф( t).
(17)
Теорема 4. Функция
U+)(t, x,£) =
1 - exp
\¡2
(r - x)
1 + exp
Л
(18
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.