ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 4, с. 638-645
УДК 519.624.2
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕЛИНЕЙНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1)
© 2007 г. А. А. Абрамов*, В. И. Ульянова*, Л. Ф. Юхно**
(*119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; **125047 Москва, Миусская пл., 4а, ИММ РАН) e-mail: alalabr@ccas.ru Поступила в редакцию 10.10.2006 г.
Рассматриваются свойства собственных значений нелинейной самосопряженной спектральной задачи для линейных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказывается, в частности, что при некоторых предположениях каждое собственное значение является изолированным и что существуют собственные значения с любым заданным номером. Библ. 5.
Ключевые слова: гамильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейная спектральная задача, собственное значение.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОМЕРА СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ
Рассмотрим следующую задачу. Дана функция A : [a, b] х (Ль Л2) —► С2" х 2" (не исключается, что Л1 = -га или Л2 = +га), A непрерывна. Даны две комплексные (n х 2п)-матрицы ya и yb такие, что rank ya = rank yb = n. Рассмотрим на отрезке [a, b] систему обыкновенных дифференциальных уравнений
J-У =
A (t,X)y, (1.1)
где y : [a, b] —► С2" при фиксированном X, J=
(здесь и далее I - единичная матрица нуж-
0 -I
1 0
ного размера). Дополним эту систему граничными условиями
УаУ (а) = 0, уъу (Ь) = 0. (1.2)
Далее предполагается, что задача (1.1), (1.2) самосопряженная, т.е. что Л(^ X) = Л*(^ X) для всех t и X и что у^у* = у^у* = 0. Предполагается также, что функция Л не убывает по X, т.е. что для любых t и X < Х2 имеет место соотношение Л(^ Хх) < Л(^ Х2). Здесь и далее для эрмитовых матриц В и С одного размера неравенство В < С (В < С) означает, что эрмитова форма ^*(В - С)г неположительно (отрицательно) определена.
Те значения спектрального параметра X, для которых существуют нетривиальные решения задачи (1.1), (1.2), называются собственными значениями (СЗ) этой задачи; соответствующие им решения называются собственными функциями; число линейно независимых собственных функций, отвечающих какому-либо СЗ, называется кратностью этого СЗ.
Предполагается, что каждое СЗ задачи (1.1), (1.2) изолированное.
В [1] для рассматриваемой задачи (1.1), (1.2) было определено понятие номера СЗ. Приведем здесь это определение.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00257).
Везде в случае надобности будем представлять размер 2п в виде п + п и разбивать матрицы на
соответствующие блоки. Так, y =
, Va = ||V1a, V2a||, Vb = ||V1b, V2b||.
Возьмем какое-либо вещественное число 0. Сделаем в задаче (1.1), (1.2) замену переменных
y = My, где M =
I cos 0 -I sin 0 I sin 0 I cos 0
Получим задачу
4 = A (y,
Vy (a) = 0, \¡/fey (b) = 0,
(1.3)
(1.4)
(1.5)
где A (t, X) = M*A(t, X)M, Va = vM, Vb = vM. Очевидно, задача (1.4), (1.5) удовлетворяет предположениям, сделанным для задачи (1.1), (1.2). Зафиксируем какое-либо значение X.
Выписанное более подробно граничное условие (1.5) в точке a имеет вид
Viayi (a) + V2ay2( a) = 0, (1.6)
где V1a = Via cos 0 + V2a sin 0, V2a = -Via sin 0 + V2a cos 0. Выберем 0 таким, что det V1a ^ 0 (это возможно). Тогда условие (1.6) можно записать в виде
y (a) = 1J2 (a), (1.7)
где |a = -(V1a cos 0 + V2a sin 0)-1(-V1a sin 0 + V2a cos 0). Используя самосопряженность граничного условия в точке a, получаем, что |a = .
Для переноса левого граничного условия (1.7) применим классическую прогонку. Решим задачу Коши
d|
Mi2 + A211 + A22, A = A11 A12
A21 A 22
|( a) = la.
(1.8) (1.9)
Отметим, что ц(0 = Ц*(0.
Задачу Коши (1.8), (1.9) решаем на некотором отрезке [а, Далее, если это необходимо, делаем замену (1.3), взяв другое значение 0. Затем на некотором отрезке t2\ решаем задачу, аналогичную задаче (1.8), (1.9), используя для получения начального значения вычисленное значение ц(^), и т.д.
Аналогично можно переносить правое граничное условие.
Если выбрать какую-либо точку t, перенести левое и правое условия (1.2) в эту точку и взять в ней левое и правое значения 0 равными (это возможно), то получится условие нетривиальной совместности перенесенных таким образом условий в виде
[м(t) - Мг(t)] = 0,
где соответствует переносу левого граничного условия, а |Мт - правого. При этом число п - гапк(|м - м) равно числу линейно независимых решений задачи (1.1), (1.2) при выбранном значении X.
Пусть X не является СЗ задачи (1.1), (1.2). Тогда в любой точке t после переноса в нее левого и правого граничных условий при равных значениях 0 для и Мт имеет место условие
dett) - |(t)]* 0.
(1.10)
Введем для каждого из отрезков, иа котором при переносе какого-либо граничного условия значение 0 фиксировано, функцию
с( t) = [|( t) cos 0 -1 sin 0] cos 0.
Будем считать cos 0 Ф 0, что не является ограничением. Составим функцию
ю(t) = Cl(t)[C¡(t) - cr(t)]~4(t).
Так как
Cl(t) - Cr(t) = [|¡(t) - |аД t)] cos20,
то матрица C¡(t) - Cr(t) обратима в силу (1.10). Нетрудно показать, что rn(t) = ro*(t).
Возьмем какое-либо значение t0, a < t0 < b. Выберем значения 0 при решении уравнений вида (1.8) от a к t0 и от b к t0 так, чтобы в точке t0 значения 0 для | и |r совпадали. Вычислим следующие целые числа:
k¡ - сумма приращений signcl при переходе от a к t0, взятая по всем отрезкам, на которых 0 не меняется;
kr - сумма приращений signcr при переходе от b к t0, взятая по всем отрезкам, на которых 0 не меняется; k) = sign ю (t0).
Здесь и далее sign (сигнатура) эрмитовой матрицы - это разность между ее положительным и отрицательным индексами инерции.
В [1] доказано, что число k¡ - kr + k0 не зависит от выбора точки t0, от разбиения отрезков [a, t0] и [t0, b] на части, в каждой из которых значение 0 постоянно, и от выбора самих этих значений 0. Таким образом, для всех значений X, не являющихся СЗ задачи, определена функция
N(X) = kl - kr + k0. (1.11)
В [1] доказано, что если интервал (X', X'') не содержит СЗ задачи, то функция N(X) постоянна на (X', X''), а если X* - СЗ задачи кратности к, то
N(X* + 0) - N(X* - 0) = 2к. (1.12)
(Как обычно, N(X* ± 0) обозначают предельные значения функции N(X) в точке X* справа или слева соответственно).
Согласно [1], будем называть номером СЗ любое целое число k, удовлетворяющее условию
N(X* - 0) +1 < 2k < N(X* + 0). (1.13)
(Отметим, что в работе [1] в этой формуле опечатка: вместо 2k напечатано k.) Перечислим свойства определенного таким образом понятия номера СЗ: каждое СЗ задачи имеет столько номеров, какова его кратность; неравные СЗ имеют неравные номера;
при переходе к соседнему СЗ номера меняются без пропусков в последовательности целых чисел;
при переходе к соседнему справа СЗ номер возрастает.
Особо подчеркнем, что номер СЗ определяется некоторой конструкцией для этого СЗ, а не его местом при перечислении слева направо, начиная с некоторого СЗ.
Формулы (1.11)—(1.13) являются основой для численного метода определения количества СЗ с учетом их кратности, лежащих на заданном интервале изменения спектрального параметра, с указанием их номеров и метода вычисления СЗ с заданным номером.
2. СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ Исследуем некоторые свойства рассматриваемой спектральной задачи. 2.1. Пусть выполнены все предположения разд. 1. Имеет место
Теорема 1. Пусть Xx и X2 - собственные значения задачи (1.1), (1.2), a y1 и y2 - какие-либо соответствующие собственные функции. Пусть Xx Ф X2. Тогда y1 Ф y2.
Доказательство. Введем обозначение
ад у = - а (а)у,
где у удовлетворяет граничным условиям (1.2). Предположим, что у1 = у2. Тогда
ад )у1 = ад )у1 = о.
Пусть, для определенности, Хх < Х2. Возьмем любое значение X так, чтобы Хх < X < Х2. Тогда получаем следующие соотношения:
ь ь ь
о = | у* (оад )у1 (<|у*( 0О(Х)у1 (<|у* (Оад )у1 (= 0.
а а а
Отсюда следует, что
ь
I у* (t )аду^ t) Л = 0.
а
По предположению из разд. 1, число XX - изолированное СЗ. Поэтому значения X, достаточно близкие к XX, не являются СЗ задачи. Следовательно, для таких X имеет место неравенство
ВД^ = г Ф 0.
Возьмем на [а, Ь] какую-либо гладкую функцию п, удовлетворяющую условиям (1.2) и такую, что
ь
Iп* (t)г(t)^ > 0.
а
Рассмотрим функции у вида у = у1 - еп, где £ - вещественное число. Вычислим интеграл
ь
Ф = I у *( t )[ад - 1)] у (t) Л. (2.1)
а
Для функций у указанного вида имеем
ь ь ь ь
Ф = Iу* (t)^)у1 (t)Л -1у* (t)ад)уД t)Л - е|у* (t)адп(t)Л - е|п*(t)ад )у1 (t)Л +
а а а а
ь ь ь
+ е| у* (t 1) п (t) Л + е| п *( t ^^ )у1( t) Л + е21 п * (t Нй^) - )] п (t) Л.
а а а
Так как
ь ь ь
ад )у1 = 0, I у*( ) п (о Л = 1 )у1 (t)) *п (t) Л и I у* (t )ВД)у1 (t) Л = 0,
а а а
то
ь ь ь
Ф = -е Iг*(0п(+1п*(0г(ОЛ + е21п*(О^^)-)]п(.
а а а
Отсюда для достаточно малых положительных значений е следует Ф < 0. В то же время из формулы (2.1) следует Ф > 0. Это противоречие и доказывает теорему.
2.2. Пусть выполнены предположения разд. 1, за исключением предположения об изолированности каждого СЗ. Имеет место
Теорема 2. Пусть A(t, X) при каждом t строго монотонна по X, т.е. из Xx < X2 следует A(t, Xx) < A(t, X2). Тогда каждое собственное значение задачи (1.1), (1.2) изолированное.
Доказательство. Возьмем число X* - какое-либо СЗ задачи (1.1), (1.2). Возьмем число X', достаточно близкое к X*, так что при X = X' вспомогательные задачи Коши вида (1.8), (1.9) решаются на тех же отрезках и при тех же значениях 0, что и для X = X*. Пусть для определенности X' > X*. Воспользуемся теоремой сравнения для матричных уравнений типа уравнения Риккати
(см. [2]). Так как A(t, X') > A(t, X*), то A (t, X') > A (t, X*). Поскольку, кроме того, |(a, X') = |(a, X*), то для любого t, a < t < t1, имеет место |(t, X') > |(t, X*). Поэтому |(tb X') > |(tb X*). В точке t1 мы
меняем значение 0 на 0, а вместо | берем значение |, пользуясь формулой
| = |cos(0-0)-Isin(0-0) = I ctg (0 - 0) - [| cos2 (0 - 0) +1 sin (0 - 0) cos (0 - 0 )]. | sin (0 - 0) +1 cos (0 - 0)
Поэтому | (tj, X') > | (tj, X*) для X', близких к X* и таких, что X' > X*. А так ка
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.