ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 1, 2014
УДК 531.36
© 2014 г. Б. Я. Локшин, Ю. М. Окунев, В. А. Самсонов
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТОРМОЖЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО ШАРА
В ВОЗДУШНОЙ СРЕДЕ
Обсуждается модель процесса торможения неоднородного шара под действием сил сопротивления со стороны окружающего воздуха с учетом взаимосвязи поступательного и вращательного движений. Задача сводится к анализу нелинейной динамической системы второго порядка. Найдены установившиеся режимы движения шара, в том числе автоколебательные и авторотационные. Определены бифуркационные значения параметров, определяющих эти режимы. Построены соответствующие фазовые портреты и дана их содержательная интерпретация.
Моделирование полета болидов в полном объеме требует учета многих факторов (процессы тепломассобмена, унос массы, изменение формы тела, формирование нестационарного аэродинамического воздействия и т.д.). Естественно, возникает вопрос: какую информацию о свойствах движения такого тела можно получить методами классической механики в рамках "простых" постановок задачи?
Задача о движении с большой скоростью твердого недеформируемого тела в однородной неподвижной среде под действием сил со стороны среды в отсутствии сил другой природы (задача о торможении) уже обсуждалась [1—3]. При описании аэродинамического воздействия на тело учитывались лишь основные качественные особенности его формирования. Было показано, что для тела, имеющего форму "общего положения" режим поступательного прямолинейного торможения невозможен. Ниже рассматривается плоскопараллельное движение шара (тело с формой не общего положения) с неоднородным распределением массы, у которого указанный режим движения существует, но вместе с тем возможны и другие режимы движения.
1. Постановка задачи и уравнения движения. Рассмотрим задачу о торможении неоднородного шара в покоящейся однородной среде под действием сил со стороны среды в отсутствие сил иной природы. Будем трактовать ее как типовую задачу теоретической механики о взаимовлиянии поступательного и вращательного движений тела.
Пусть центр С масс шара не совпадает с его геометрическим центром С (фиг. 1), причем расстояние между ними больше некоторой величины. Предположим дополнительно, что одна из главных центральных осей инерции шара ортогональна линии СС. В этом случае существует множество начальных условий движения, при которых шар совершает плоскопараллельное движение, точки С и С перемещаются в одной и той же плоскости. Будем считать, что в процессе этого движения масса, ее распределение в теле и размеры тела не изменяются. Ограничимся изучением семейства фазовых траекторий динамической модели такого плоскопараллельного движения.
Для описания воздействия среды на шар примем квазистатическую модель [4, 5]: линия действия аэродинамической силы R проходит через центр С шара. Величина этой силы пропорциональна квадрату скорости Ус точки С, а направление противоположно направлению скорости Ус этой точки. Эта сила, очевидно, диссипативна, так как ее работа на любом перемещении точки С отрицательна. Однако сила R формально не обеспечивает полной диссипации, поскольку при повороте тела вокруг неподвижной точки С она не совершает работы.
В качестве фазовых координат математической модели движения выберем величину V скорости центра С масс, величину О угловой скорости тела и угол ф (будем условно называть его углом атаки), определяющий ориентацию вектора V относительно связанной с шаром системы координат (линии СС). Эти величины представлены на фиг. 1. Координаты точки С в плоскости движения, очевидно, циклические, их изменение здесь не обсуждается.
Введем следующие обозначения: т — масса шара и / — его центральный момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости движения (постоянные величины), г — расстояние между центром шара и центром масс (г = |С^| > гт > 0),
2
V — скорость центра масс шара, Ус — скорость центра шара, Я = зУс — величина результирующей аэродинамической силы, где 5 — некоторая постоянная, ф — угол между вектором V скорости центра масс и линией СС, О — угловая скорость вращения тела вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения. Точкой сверху обозначается производная по времени ^ .
Уравнения плоскопараллельного движения тела можно представить в виде замкнутой системы взаимно связанных нелинейных дифференциальных уравнений
mV = -sVc(V - rQsin9)
mV((p + Q) = srVcQcos9 (1.1)
JQ = srVc(Vsin9 - rQ)
В таком виде система не вполне удобна для параметрического анализа, даже численного, не говоря уже об аналитическом. Поэтому преобразуем эту систему уравнений, переходя известным образом [1—3] к безразмерным переменным и безразмерным параметрам. В качестве нового "времени" т будем использовать длину дуги пройденного центром масс пути, выраженную в единицах r, так что dт = Vdt/г. Введем новые безразмерные переменные и параметры
ra = r Q/V, u = V /V, a = sr/m, b = mr2/J (1.2)
где V — некоторая характерная скорость, например, скорость звука. Отметим, что в практически интересных случаях плотность тела во много раз превышает плотность среды, поэтому безразмерный параметр a принимает положительные значения и a « 1. Параметр b, также положительный, может принимать значения порядка единицы, если центр масс шара отстоит от геометрического центра шара на расстоянии, превышающем центральный радиус инерции шара.
После указанного перехода имеем Vc = V-\¡ 1 - 2ю sin ф + ю2, и первое уравнение системы (1.1) — уравнение продольного движения — примет вид
u = -au-\¡ 1 - 2ш sinф + ш2(1 - ra sinф) (1.3)
где штрихом обозначена производная по новому времени т.
Два других уравнения системы (1) представим в форме
ф' = -ra[1 - ayl 1 - 2rasinф + ra2cosф] (14)
I •2 2
ra' = щ 1 - 2rasinф + ra [ra - ra sinф + ¿(sinф - ra)]
Таким образом, в результате произведенной замены из исходной системы выделилась автономная подсистема (1.4), которая не содержит переменной u и может быть исследована отдельно от уравнения (1.3).
Нетрудно видеть, что решения подсистемы (1.4) обладают свойством симметрии: наряду с решением га(т), ф(т) существует и решение -га(т), -ф(т). Вследствие этого и автономности системы (1.4) достаточно рассматривать поведение фазовых траекторий только в полуплоскости га(т) > 0. Более того, принимая во внимание, что угол ф входит в уравнения только под знаком тригонометрических функций, можно рассматривать фазовый портрет в области Q, определяемой условием -п < ф < п и представляющей собой "развертку фазового цилиндра".
2. Точки покоя подсистемы (1.4). Определим, прежде всего, точки покоя подсистемы (1.4) в области Q. Ясно, что им отвечают движения тела с постоянным углом атаки и постоянным соотношением между угловой скоростью тела и скоростью его центра масс.
Очевидно, что в области Q эта система имеет три точки покоя:
О (ю = 0, ф = 0), N (ю = 0, ф = я), N2 (ю = 0, ф =-П) (2.1)
Точки N и N2 — это как бы "разрезанная" одна точка N на фазовом цилиндре. Точкам (2.1) отвечают вышеупомянутые режимы прямолинейного поступательного торможения: точке О — режим, в котором центр масс находится впереди центра шара, а точкам N и N2 — позади. При этом в обоих случаях скорость движения, как это видно из уравнения (1.3), убывает и стремится к нулю.
Наряду с очевидными простыми решениями (2.1) подсистема (1.4) имеет и другие решения. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Приравняем нулю правую часть первого уравнения (1.4), тогда в указанной области получим уравнение кривой Г (точнее, двух симметричных относительно начала координат ветвей ю = ю^ф) и ю = -ю^-ф)), разделяющей на фазовой плоскости области возрастания и убывания угла атаки ф. Обе ветви расположены в полосе |ф| < п/2, и при |ф| ^ п/2 уходят в бесконечность. Можно показать, что функция ю^ф) знакопостоянна для всех |ф| < п/2. Пусть для определенности ю^ф) > 0; эта функция имеет единственный минимум, расположенный в окрестности точки ф = 0, причем ее минимальное значение существенно больше единицы, min ю^ф) »1.
Аналогично, приравнивая нулю правую часть второго уравнения (1.4), получим уравнения кривых, разделяющих область Q на подобласти возрастания и убывания приведенной угловой скорости. Одна из этих кривых (пусть это будет Г2) непрерывна для всех ф е [-п, п], проходит через точки (0, 0) и (±п, 0). Соответствующая функция ю2(ф) нечетна, имеет единственный максимум, причем максимальное значение равно maxю2(ф) = min{b,1}. Следовательно, кривая Г2 не имеет общих точек с кривой Г:. Другая кривая (обозначим ее через Г3) непрерывна для ф е (-п, 0) и (0, п), а при ф ^ 0 и ф ^ п уходит в бесконечность. Соответствующая функция ю3(ф) также нечетна, имеет единственный минимум, причем минимальное значение min ю3(ф) = max{b, 1}. Следовательно, кривая Г3 имеет ровно две точки А( ф*, ю*) и В(-ф*, -ю*) пересечения с кривой Г:. Координаты ф*, ю* этой точки определяются как решение системы трансцендентных уравнений, соответствующих равенству нулю выражений в квадратных скобках в подсистеме (1.4). Их приближенное решение имеет вид
ю* « 1/a, ф* « a(1 - b) (.2)
Ему отвечает движение шара с постоянным углом атаки и постоянным соотношением между угловой скоростью тела и скоростью его центра масс, причем, как видно из уравнения (1.3), скорость центра масс и в этом режиме постоянно убывает и стремится к нулю, т.е. имеет место режим торможения с вращением.
Итак, уравнения (1.4) имеют четыре точки покоя: 0(0, 0), N (0, п), А(ф*, ю*) и В(-ф*, -ю*).
3. Устойчивость точек покоя. Рассмотрим вопрос об устойчивости в первом приближении последовательно каждой из найденных точек. Отклонения от стационарных значений угла атаки и угловой скорости в каждом случае будем обозначать через x и y соответственно.
Начнем с анализа устойчивости точки О(0, 0), которой отвечает режим прямолинейного поступательного торможения, когда центр масс находится впереди центра шара. Уравнения (1.4) в первом приближении имеют вид
x = -y(1 - a), y = a((1 - b)y + bx) Первое из условий асимптотической устойчивости исследуемого режима
a < 1, b > 1 (3.1)
как уже упоминалось, в рассматриваемой зад
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.