ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 3, с. 376-396
УДК 519.626.2
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ИХ РАЗНОСТНЫХ АППРОКСИМАЦИЯХ И РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УПРАВЛЕНИЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ
© 2007 г. Ф. В. Лубышев, А. Р. Манапова
(450074 Уфа, ул. Фрунзе, 32, Башкирский гос. ун-т) e-mail: LubyshevFV@bsu .bashedu .ru Поступила в редакцию 18.07.2006 г.
Рассматриваются и исследуются математические постановки нелинейных задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в переменных коэффициентах уравнения состояния. Рассмотрены как локальные, так и интегральные ограничения на управления. Функционалы цели соответствуют оптимизации по некоторому конечному числу критериев качества. Построены разностные аппроксимации экстремальных задач, и установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу, доказана слабая сходимость по управлению. Проведена регуляризация аппроксимаций по Тихонову. Рассмотрены содержательные примеры некоторых прикладных оптимизационных задач, математические постановки которых естественным образом приводят к поставленным и исследованным в настоящей работе нелинейным задачам оптимального управления. Библ. 23.
Ключевые слова: задача оптимального управления, квазилинейные эллиптические уравнения, разностный метод решения, метод регуляризации.
ВВЕДЕНИЕ
Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления: в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики (УМФ) описываются состояния систем (см. [1]-[5]). В настоящее время наиболее полно исследован случай, когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений, граничных и начальных условий). Менее изучены задачи оптимального управления нелинейного типа, характерной особенностью которых является то, что отображение g —► u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным. Особый интерес представляют задачи оптимального управления, когда нелинейность обусловлена вхождением управлений в коэффициенты уравнений для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных. Такие задачи весьма существенно отличаются от задач, где управление осуществляется путем внешних воздействий на систему и которые наименее изучены, хотя развитие теории и методов их решения вызвано потребностями математического моделирования нелинейных оптимальных процессов, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др., а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке. Задачи оптимального управления с управлениями в коэффициентах и в первую очередь с управляющими параметрами, содержащимися в главной части дифференциального оператора (в старших коэффициентах) являются "сильно нелинейными" оптимизационными задачами. Нелинейность еще более усугубляется, если, кроме того, и состояния процессов описываются нелинейными уравнениями.
Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимации задачами более простой природы - "конечномерными задачами" (см. [1]). Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера об изучаемом процессе. Обзор работ, посвященных основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, в том числе аппроксимаций задач оптимального управления и результатов в данной области, представлен, на-
пример, в [1], [6]-[9]. Одним из наиболее удобных, универсальных и широко распространенных методов конечномерных аппроксимаций задач оптимального управления является метод сеток (см. [10], [11]). Центральными в проблеме аппроксимации являются вопросы "конструирования" аппроксимаций, сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Для систем с распределенными параметрами построения и исследования аппроксимаций задач оптимального управления проводились в основном также для линейных задач оптимального управления. Поэтому особенно актуальным является рассмотрение этих вопросов для нелинейных задач оптимального управления (в том числе для задач, когда нелинейность обусловлена вхождением управлений в переменные коэффициенты уравнений состояния и/или нелинейностью самих уравнений состояния).
В настоящей работе, по тематике примыкающей к [9], [12]-[17], рассмотрены и исследованы математические постановки задач оптимального управления для квазилинейных уравнений эллиптического типа с управлениями в коэффициентах уравнения состояния, отвечающих различным видам "управляющих воздействий": управления в переменных коэффициентах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами критериев оптимальности (функционалов цели). Рассмотрены как локальные, так и интегральные ограничения на управления. Построены разностные аппроксимации исходных экстремальных задач, и установлены оценки скорости сходимости аппроксимаций по состоянию и функционалу, слабая сходимость по управлению. Никакие дополнительные априорные требования на гладкость обобщенных решений для состояния при этом не накладываются. Причем для аппроксимации уравнения состояния предложена некоторая "модифицированная" разностная схема, отличная от традиционных схем другим способом вычисления переменных коэффициентов в главной части сеточного оператора. Проведена регуляризация аппроксимаций. Рассмотренные постановки задач включают в себя в качестве частных вариантов постановок большой круг конкретных прикладных оптимизационных задач теории теплопроводности, конвекции-диффузии-реакции, теории упругости и др. (при соответствующей конкретизации уравнений состояния, управляющих воздействий, ограничений на управления и функционалов цели, соответствующих оптимизации по некоторому конечному числу критериев качества).
Так, например, в теории упругости возникает множество задач, которые естественно формируются как проблемы оптимального управления. При этом роль управляющих факторов в этих задачах могут выполнять, например, функции, входящие в главную часть основного дифференциального оператора, задающие внутреннюю структуру конструкций, т.е. описывающие распределение упругих характеристик материала. Рассмотрим, например, следующий содержательный частный вариант постановок экстремальных задач А(а), а = 0, 1, 2 (см. разд. 1), когда в уравнении состояния (1.1) Ьа(х) = 0, а = 1, 2, ё(х) = 0, ^х) = 20, а коэффициент к(х) - управление;
множества допустимых управлений для g(x) = к(х) имеют вид либо и0, либо и0, либо и0 (р),р > 1, а
функционал цели Л^) = ^3 = 0 аkJk(g), соответствующий оптимизации по заданному конечному
числу критериев качества, имеет вид (1.3), где р(х) = 2/0. Подобная модель для функции состояния и(х), х е О, возникает, например, при математическом моделировании важной в теории упругости задачи о кручении упругого изотропного неоднородного призматического стержня с заданным односвязным поперечным сечением О с К (см. [4]). Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений и стержень нагружен только при помощи закручивающего момента Мх = 0/0(?), приложенного на его торцах и направленного по оси стержня х3. Здесь 0 - угол закручивания, приходящийся на единицу длины стержня, вызванный крутящим моментом М . Этим углом характеризуется деформированное состояние стержня. Напряженное состояние в стержне, деформированном при помощи закручивающего момента М относительно оси х3, определяется только двумя компонентами напряжения о13(х) и с23(х)
(так как возникает только два касательных напряжения). В приложениях большой интерес представляет не только определение функции напряжений Прандтля и(х) = и(хъ х2), х е О, удовлетворяющей прямой задаче для состояния, но и такие важные характеристики, как касательные напряжения с13(х), с23(х), а также жесткость стержня на кручение /0(£) = /0(к). Для данного частного варианта экстремальные задачи А(а) можно трактовать как оптимальные задачи теории упругости об экстремуме функционала, соответствующего оптимизации по конечному числу
критериев качества J(g) = ^jj = 0 akJk(g). Здесь J0(g) = J0(k) - один из основных функционалов решения задачи о кручении. Этот функционал характеризует жесткость кручения неоднородного упругого изотропного призматического стержня. Второй функционал J1(k) характеризует меру отклонения в L2(О)-норме функции напряжений Прандтля u(x), характеризующей состояние системы, от заданного (желаемого) распределения u0(x). Третий и четвертый функционалы J2(k) и J3(k) характеризуют среднеквадратичное отклонение действующих в стержне касательных (сдвиговых) напряжений du/dx1 = c23(x) и du/dx2 = c13(x) от заданных (желаемых) касательных напряжений ^1(x) и y2(x) соответственно. Роль "управляющего" фактора в этих экстремальных задачах A(a), a = 0, 1, 2, выполняет функция g(x) = k(x) - упругая податливость материала призматического стержня (величина, обратная ^(x) - модулю упругого сдвига материала, из которого состоит стержень), описывающая распределение упругих характеристик материала. Локальные ограничения на управление g(x) = k(x) характеризуют границы допустимого изменения упругой податливости материала стержня, а также учитывают недопустимость резких перепадов в изменении упругих характеристик материала (ограничение на градиент функции - управления k(x)). Интегральные соотношения в ограничениях на управление k(x) можно трактовать как условные
оценки стоимости применяемого материала (см. [4]). Величина функционала J(g) = = 0 akJk(g) зависит от распределения податливости k(x) по сечению О призматического стержня. Целью в каждой из задач
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.