МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2010
УДК 539.374
© 2010 г. А.Г. ПЕТРОВ, М.М. ШУНДЕРЮК
О НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ТЯЖЕЛОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
НА ПРУЖИНЕ
Приведено полное исследование плоских малых нелинейных колебаний качающейся пружины с нелинейной зависимостью натяжения пружины от ее удлинения. Используется метод гамильтоновой нормальной формы. Га-мильтонова нормальная форма выгодно отличается от общей нормальной формы дифференциальных уравнений тем, что она имеет дополнительный интеграл. Для приведения гамильтониана к нормальной форме используется метод инвариантной нормализации, что существенно сокращает выкладки. Асимптотики нормальной формы получаются путем последовательного вычисления квадратур единым образом как для резонансного, так и нерезонансного случаев. Решения гамильтоновых уравнений нормальной формы показали, что периодическая перестройка колебаний между вертикальной и горизонтальной модами происходит только в случае резо-нансов 1:1 и 2:1. При резонансе 2:1 этот эффект проявляется в квадратичных членах уравнения, а при резонансе 1:1 — с учетом кубических членов. Во всех остальных случаях, как при наличии резонанса, так и при его отсутствии, колебания происходят с двумя постоянными частотами, мало отличающимися от частот линейного приближения. Для резонанса 2:1 найдена максимальная расстройка частоты, при которой эффект перекачки энергии от одной моды колебаний к другой исчезает. Резонанс 1:1 физически возможен лишь для пружины, обладающей отрицательной кубической добавкой в законе деформирования.
Ключевые слова: механика, пружинный маятник, нормальная форма, инвариантная нормализация, резонансные колебания.
1. Введение. Постановка задачи о колебаниях качающейся пружины дана, например, в [1—3], где также приводятся методы ее исследования и результаты этих исследований. Качественный анализ для резонансных колебаний дан в [2] и [4]. В [2] применяется метод Ляпунова—Пуанкаре, а в работе [4] — метод нормальной формы. В последней работе исследованы общие свойства нелинейных условно-периодических движений в малой окрестности положения равновесия гамильтоновой системы как для случая точной соизмеримости частот 2:1, так и при наличии расстройки. Изучены вопросы орбитальной устойчивости короткопериодических и долгопериодических решений. При помощи КАМ-теории показано, что большинство условно-периодических решений сохраняется и для системы с полным гамильтонианом. Задача о качающейся пружине рассматривается как частный пример системы с гамильтонианом, относящимся к исследуемому классу.
В работах [5] и [6] эта задача исследована методом инвариантной нормализации [7—9]. В этих работах для нормализованных уравнений Гамильтона получен дополнительный интеграл. Он позволил построить простое асимптотическое решение, описывающее с высокой точностью периодический процесс перекачки энергии. Для малых амплитуд
колебаний период перекачки и зависимость амплитуды колебаний от времени с высокой точностью согласуются с численными решениями.
Во всех перечисленных выше работах принимался линейный закон ("линейная пружина") зависимости силы натяжения от ее удлинения. В этом случае частота колебаний вертикальной моды всегда выше частоты колебаний горизонтальной моды. Для нелинейной пружины частоты могут быть равными. Это приводит к появлению в этой системе резонанса нового типа 1:1, не исследованного до сих пор. Этот вопрос и является основным предметом обсуждения. Для этого резонанса, так же как и для резонанса 2:1, получено решение, описывающее процесс перекачки энергии от одной моды колебаний к другой. Кроме того, исследован нерезонансный случай. В отличие от резонанса 2:1 здесь недостаточно исследовать гамильтониан с точностью до кубических членов, а требуется также учитывать члены четвертого порядка. Однако получившееся решение отличается от решения линейной системы лишь малым изменением частот колебаний.
Таким образом, показано, что перекачка энергий вертикальной и горизонтальной мод колебаний возможна лишь в малых окрестностях резонансов 1:1 и 2:1. Для резонанса 2:1 частота перекачки энергии пропорциональна первой степени амплитуды колебаний, а для резонанса 1:1 — второй степени амплитуды. В окрестности резонанса 2:1 найден интервал расстройки частоты, в котором происходит перекачка энергии.
2. Гамильтонова нормальная форма. Общее определение нормальной формы было дано в работе [10]. Частными случаями этой нормальной формы являются нормальные формы Биркгофа [11] и Черри—Густавсона [12, 13]. Биркгоф [11] рассмотрел случай, когда корни характеристического уравнения линейных уравнений несоизмеримы (отсутствие резонансов). Черри [12] и Густавсон [13] рассмотрели случай, когда все корни характеристического уравнения произвольны и могут быть резонансы, но матрица правых частей линейных уравнений приводится к комплексной нормальной форме, которая имеет диагональный вид. В данной работе имеют место случаи Бирк-гофа и Черри—Густавсона. Для этих случаев можно применять алгоритм инвариантной нормализации [7—9]. Исходный гамильтониан Н, нормальная форма к и генератор О приводятся к виду
Н(г', г') = Н0(г', г') + Г, Н(г', г') = Н0(г', г') + Г
" _ - " - _ " _ (2.1) Г = V еГк(г', г'), Г = V ек-к(г', г'), в = V гвк(г', г')
к = 1 к = 1 к = 1 Нормализующая замена ищется в виде рядов Ли. Тогда для нормальной формы
к = Н0 + Г получим ряд Ли с генератором Ли О(г', £'). Его можно привести к виду
Г = {Но, в} + м
М = Г(г', г') + {Г, в} + 1 {{(Но + Г), в}, в} + ... (2.2)
{Г, в} = V ¥-вг - Гв
где [Г, О} — скобки Пуассона. Отсюда для коэффициентов рядов по степеням е нормальной формы Гк и генератора Ок получаем гомологические уравнения
Гк(г, г) = {Но(г, г), вк(г, г)} + Мк(г, г)
М1 = Г, М2 = Г2 + 1/2{(Г + >1), в1} .
Функция Mk известна по результатам вычислений предыдущих шагов. Поэтому в
каждом k-м приближении получаются уравнения относительно Fk и Gk. Существуют два метода решения гомологического уравнения.
1. Чисто алгебраический метод. Уравнение (2.3) решается как система линейных
уравнений на коэффициенты мономов степени k + 2 форм Fk и Gk. Это метод Хори (1966) и Депри (1969).
2. В работах [7—9] предложено решать гомологическое уравнение (3.2) с помощью интегрирования. Тем самым существенно упрощена процедура вычисления нормальной формы. Используя свойство нормальной формы {H0, Fk} = d Fk /dt = 0 и равенство
{H0, Gk} = dGJdt, где производная берется в силу системы z = dH0/dz , z = —3H0/3z, гомологические уравнения (2.3) можно представить в виде
Mk(z, z) = Fk(z, z) - dGk(z, z)/dt, dFk(z, z)/dt = 0
Пусть z(t, Z, Z), z (t, Z, Z) — решение системы с гамильтонианом H0 при начальных
условиях z(0) = Z, z (0) = Z. Тогда, подставив его в гомологическое уравнение и проинтегрировав первое уравнение с учетом второго, получим t
|Mk(Z, Z)dt = tFk(Z, Z) + Gk(Z, Z) - G(t) (2.4)
0
Отсюда видно как из квадратуры (2.4) можно найти коэффициенты нормальной формы Fk и генератора Gk: нормальная форма Fk равна коэффициенту при t, а Gk — свободное не зависящее от времени слагаемое. В данном методе не обязательно применять переменные Биркгофа и нормализовать квадратичную часть. Этот метод в [8] назван алгоритмом инвариантной нормализации. Следует отметить, что в нем с помощью квадратуры (2.4) можно определять нормальную форму в любых канонических
2 2 2 2
переменных, например, в переменных x, y, в которых H0 = 1/2[ю:(х1 + уг) + ю2(x2 + y2)]. Выбор переменных Биркгофа zi = xl + iyb z2 = x2 + iy2 не обязателен, хотя в этих переменных наиболее просто интегрировать уравнения нормальной формы.
Для поиска нормализующей замены в произвольном случае в системе Wolfram Mathematica авторами была написана программа, результатом работы которой является искомая замена и вид гамильтониана после применения замены. Программа пригодна как в нерезонансном, так и в резонансном случае, и для любого числа степеней свободы.
3. Постановка задачи. Рассматривается маятник с двумя степенями свободы: тяжелая точка, качающаяся в вертикальной плоскости на пружине, пружина невесома.
Введем следующие обозначения: k — жесткость пружины, l — ее длина в положении покоя груза, m — масса груза, lx, ly — координаты груза, lR — длина пружины, где
R = л/( 1 + х)2 + у2.
Декартова система координат имеет начало в точке O — положении покоя груза. Оси x и y направлены по вертикали и горизонтали соответственно (фиг. 1).
Натяжение пружины меняется по следующему нелинейному закону: т = ке(¡я - /о) 3 + к(¡я - 1о)
/
¡о
(3.1)
где /0 — длина ненагруженной пружины.
Потенциальная Ер и кинетическая Ек энергии системы имеют вид
Д = к Е(¡Я - ¡о) 4 + к ( Ш - ¡о ) 2 - т81х
Д =
т
4П
йх
2 ¡п
Л йР-
+
йу
2-п
йР _
mg¡
йх йР
+
йу йР
Здесь { и t = Ш' — размерное и безразмерное времена.
Введем безразмерные импульсы и = х, и = у и запишем через них функцию Гамильтона Н = (Ек + Ep)/(mgl):
„ 1 ( 2 2) ке(¡Я - ¡о)4 к(¡Я - ¡о)2 Н = -(и + и ) -х + —--— + —-—
2 4 mg¡¡0 2 ^¡¡о
Уравнения движения гамильтоновой системы имеют вид
йх = дн йи = дН йу = дН йи = дН
йР ди' йР дх' йР ди' й ду
Будем изучать движение вблизи положения покоя на больших временах Л Разложим гамильтониан в окрестности положения равновесия Н = Н: + Н2 + / + /2, где Нь Н2, /1, — полиномы первой, второй, третьей и четвертой степеней соответственно
Н1 = х(К(еА3 + А) - 1)
Н2 = 1/2 (и2 + и2 + х2 ДА. + 1)( Зеа2 + 1) + у2Деа3 + А)) Н3 = Кх ((у2 е( 2А + 3 )А2 + 1) + 2х2еА(А + 1 )2)
Н4 = К(2Х4Е(А + 1 )3 + 4у2х2(ЕА(А2 + 3А + 3) - 1)) + К(у4(Е(2А + 3)А2 + 1)) 8 8
К = к / (mg), А = ¡/ ¡о - 1
(3.2)
В положении равновесия линейная часть гамильтониана равна нулю, откуда получаем
K(еX3 + X) = 1 (3.3)
Из этого следует, что в положении равновесия коэффициент при у2 в гамильтониане равен 1/2. Это означает, что частота колебаний по горизонтали равна 1.
Зафиксируем некоторую произвольную частоту колебаний по вертикали ю, т.е.
(X + 1)(3б^2 + 1) = (еА.3 + X)®2 (3.4)
Разрешим систему (3.3) и (3.4) относительно K и е:
- А®2 + X + 1 г 3 ю® ,, ,ч
е = -, к =------(3.5)
X2(А(®2 - 3) - 3) 2А 2(А + 1)
Можно также представить X
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.