МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. А.Г. ПЕТРОВ, А.В. ФОМИЧЕВ
О НЕЛИНЕЙНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ТЯЖЕЛОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ПРУЖИНЕ ПРИ РЕЗОНАНСЕ
Рассматривается задача о пространственных нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки, подвешенной на невесомой пружине при резонансе частот 1:1:2. Для построения асимптотического решения применяется метод гамильтоновой нормальной формы. Построено асимптотическое решение, описывающее так же как и в плоской задаче периодический процесс перекачки энергии колебаний по вертикали в энергию колебаний по горизонтали. При сколь угодно малом ненулевом кинетическом моменте относительно вертикальной оси появляется эффект, присущий только трехмерной системе. Проекция траектории точки на горизонтальную плоскость (xy) является эллипсом постоянной площади с изменяющимися по времени осями. При определенных начальных условиях эллипс почти вырождается в отрезке прямых. Направление прямой не меняется за период, когда энергия колебаний находится в горизонтальной моде и почти скачком изменяется за время, когда энергия колебаний переходит в вертикальную моду. Аналитические результаты хорошо согласуются с численными решениями уравнений движения системы.
1. Постановка задачи. Плоские нелинейные колебания на пружине рассматривались во многих работах (например, [1-4]). В [1] изучаются колебания вблизи резонанса 1:2. С учетом квадратичной нелинейности методом уравнений в вариациях задача сведена к уравнению для амплитуды колебаний. Исследование заканчивается констатацией того, что полученное уравнение может быть проинтегрировано в эллиптических функциях Якоби. В [2] найдено периодическое решение при резонансе частот. Показано, что колебания по вертикали неустойчивы по отношению к малому начальному отклонению груза по горизонтали. Получена главная асимптотика для периода, в течение которого происходит перестройка вертикальных колебаний в горизонтальные. В [3] в случае резонанса получен результат, аналогичный [1]. Более детальное исследование нелинейных колебаний при резонансе приведено в [4]. Методом инвариантной нормализации [5, 6] найдена нормальная форма гамильтониана. Построено периодическое решение и асимптотическое решение вблизи него. Найдена зависимость периода изменения амплитуд колебаний от произвольных начальных данных. Получен закон изменения амплитуд колебаний в виде повторяющихся через период соли-тонов. Настоящая работа посвящена исследованию трехмерных колебаний маятника на пружине.
Материальная точка массы m подвешена на невесомой пружине жесткости k в поле тяготения g (фиг. 1). Поместим начало системы координат в положение равновесия маятника, направив ось г вниз, и введем параметры l (длина маятника в положении
равновесия), частоту линейных колебаний ю = JgTl и отношение ц = + k/mg частоты колебаний груза при неотклоненной пружине к ю.
Фиг. 1
Если выбрать в качестве координат точки величины /х, 1у и /г, то длина деформированной пружины будет равна Ш, где Ш = л/х2 + у2 + (1 + г)2; х, у, г - безразмерные координаты.
Кинетическая и потенциальная энергии системы имеют вид
Е„
- тмг + ^ (1Ш - /о )2 (/ -/о )2
21
о
с т Е =2
ЩЛ2 íйу йг') +1 Л'
о
2п = тм! = 2
йХ) 2+í $
йг) \йг
2
где г' - размерное время, г = юг' - безразмерное время, /0 - длина пружины в недефор-мированном состоянии. Введем безразмерные импульсы и = Х, и = у, ы = г (точка -дифференцирование по безразмерному времени) и составим функцию Гамильтона
Н =
Е„ + Е„
2
тМ1~ = 2 (и2 + и2 + ^) + 2" (Ш2-1) - (^-1)(Ш -1) - г
Константа в гамильтониане выбрана так, чтобы при нулевых значениях всех координат и импульсов он обращался в ноль.
2. Уравнения движения. Запишем первую группу уравнений Гамильтона Х = дН/ди = и, ... и исключим переменные и, и, ы из второй группы. Тогда получим следующую систему уравнений для координат маятника:
х = - ц2х + (ц2- 1)х/Ш, у = - ц2у + (ц2- 1)у/Ш, г = 1- ц2( 1 + г) + (ц2 - 1)г/Ш, Ш = 7х2 + у2 + (1 + г)2
(2.1)
Уравнения (2.1) удобны для численного моделирования движения маятника.
3. Первое приближение нормальной формы при резонансе. Ниже будет изучаться движение в окрестности положения равновесия методом нормальной формы. Наибольший интерес представляет резонанс 1:1:2, возникающий при ц2 = 4. В этом случае первые члены разложения гамильтониана в окрестности положения равновесия имеют вид
Н0 = 1/2 (и + и + ы + х + у + 4г ), Н1 = 3/2г (х + у )
Приведем гамильтониан H1 к нормальной форме Биркгофа, используя алгоритм инвариантной нормализации [5, 6]. Для построения нормальной формы первого приближения нужно подставить решение линейной системы, определяемой гамильтонианом H0, в H1 и вычислить интеграл от последней функции по времени:
t
J H ! [ X (T), y (т), z(x)] dx = Hit + G + f ( t )
0
Величина H1 представляет собой первое приближение нормальной формы гамильтониана возмущения, а G - генератор Ли канонического преобразования, осуществляющего переход к новым координатам, в которых гамильтониан имеет нормальную форму.
Решение линейной системы имеет вид X = X cos t + U sin t, y = Y cos t + V sin t
(3.1)
z = Z cos2t + ( W/2) sin 21
Здесь X, Y, Z - начальные значения для соответствующих координат, U, V, W - импульсов; выражения для обобщенных импульсов u(t), u(t) и w(t) далее нигде не используются и поэтому не приведены. Вычисление величины
T
JHi[x(t), y(t), z(t)]dt
0
выделение множителя при t и члена, не зависящего от t, приводит к результату H1 = 3/8[Z(X2 + Y2) - Z( U2 + V2) + W(XU + YV)]
(3.2)
G = 3/64 [4 Z( XU + YV) + 3 W( U2 + V2 ) + 5W( X2 + Y2 )] Замена переменных, приводящая гамильтониан к нормальной форме, такова x = X - GU, u = U + GX, y = Y - GV v = V + Gy, z = Z - GW, w = W + GZ
При y = u = 0 формулы нормальной формы (3.2) совпадают с полученными ранее для плоского маятника [4].
Для анализа системы, порождаемой H1, удобно использовать переменные Биркгофа [6], переход к которым задается каноническим преобразованием
z1 = U + iX, z2 = V + iY, z3 = 1/V2w +V2iZ (3.3)
валентности 2i. Уравнения Гамильтона в этих переменных имеют вид ¿¡ = d H/dz¡, H = #о + Hi, Яо = i ( z1z1 + z2 z2 + 2 z3z3 ) Hi = 3J2[z3(z2 + z2) - z3(zl + z2)]/16
Чтобы избежать излишне громоздких обозначений, ниже волну писать не будем.
Основным свойством нормальной формы гамильтониана является равенство скобки Пуассона нулю {H0, H1 } = 0. Отсюда следует [5, 6], что система с гамильтонианом H = H0 + H1 может быть решена следующим образом: уравнения, определяемые
функциями H0 и H1, решаются независимо друг от друга, после чего решение исходной системы строится как композиция ранее найденных. Вместо начальных значений в решение системы с гамильтонианом H0 следует подставить функции, которые получаются для соответствующих переменных из решения системы с гамильтонианом H1.
Таким образом, чтобы получить асимптотическое решение задачи о нелинейных колебаниях с малой амплитудой, нужно взять решение невозмущенной системы zi = dH0/d zi:
z1 = Z1eit, z2 = Z 2 e't, z3 = Z3 e2lt (3.4)
и подставить вместо начальных условий Z1, Z2 и Z3 те функции, которые получаются из решения системы уравнений Гамильтона с функцией H1. Уравнения, определяемые этой функцией, имеют вид
Z = -3V2Z1 z3/8, ¿2 = -372Z2z3/8, ¿з = 3J2(z1 + z2)/16 (3.5)
где точкой обозначено дифференцирование по t. После этого нужно вернуться к исходным переменным, разрешая соотношения (3.3) относительно X, Yи Z.
4. Интегралы нормальной формы. Выпишем первые интегралы системы (3.5):
|Z^2 + |Z2|2 + 2| Z3|2 = = const (Z2 + Z2) Z3 - (Z2 + Z2) Z3 = h = const Z1Z2- Z1Z2 = io = const, oe R
Первые два интеграла выражают сохранение величин H0 и H1, третий - закон сохранения проекции кинетического момента на вертикальную ось (для плоских колебаний о = 0).
Четвертый интеграл системы можно найти по аналогии со случаем плоских колебаний [1]. Составим уравнение для величины |Z112 + |Z2|2. Ее дифференцирование в силу (3.5) приводит к выражению
|(| Z i|2 + |z 2I2) = [( Z 1 + z2 ) Z3 + ( Z 1 + z2 ) Z3 ]
После повторного дифференцирования получим
^ (| Z i|2 + |z22 ) = 9 (| zi2 + |z22 )| Z312-32 (| zi4 + zl Z 2 + Z2 z2 + Z2I4)
dt2Ч 2 1 2 ' 11 1 2 " 3 32
Использование первых интегралов системы (3.5) позволяет преобразовать правую часть этого уравнения к функции, зависящей только от ^|2 + ^2|2:
+ ^2|2 + 2|Z3\2 = С2 ^ ^3|2 = (С2- ^2\2 — ^22)/2
Zl Z 2 — Z1Z2 = iо ^ Z2 Z 2 — 2| Z Z2|2 + Z1Z2 = —о2 ^ Z2 Z2 + Z1 z2 = — о2 + 2| Z Z2|2
Подстановка этих соотношений в правую часть уравнения приводит к результату
2
^ ,2 ,2Ч 9 .2 |2Ч 27^ ,2 ,2 2 9 2
dt
2 (I Zi|2 + |Z22) = ^ c2 (I Z12 +IZ2I2) -32 (| Z12 + |Z22) о2
Фиг. 2
Обозначив £ = |ZJ2 + |Z2|2, перепишем уравнение в виде £ = 9/16c2£ - 27/32£2 + 9/32о2
Данное уравнение удобно интерпретировать как закон движения материальной точки единичной массы в потенциале
П(£) = 9 (£3- c2£2- о2£)/32
Закон сохранения энергии для такого движения и является четвертым законом сохранения системы (3.5)
£/2 + П(£) = E = const (4.1)
График потенциальной функции П(£) изображен на фиг. 2. Закон сохранения энергии дает уравнение для £, решаемое методом разделения переменных. Используя обозначение P(£)/2 = E - П(£), получим
£2 = P(£)^ t = ±J d£ /VP(£)
Полином P(£) имеет три корня £1; £2 и £3 и представляется в виде
P(£) = 9/16(£ - £1 )(£ - £2 )(£з- £)
откуда следует, что решение £(t), соответствующее значению энергии E, изменяется в пределах [£2, £3] (фиг. 2). Это обстоятельство позволяет найти период T колебаний величины £:
£з
T = 2 f d£
¿VP(£)
Замена переменной £ = £3 + (£2 - £3)sin2« преобразует соотношение, выражающее период, к эллиптическому интегралу
п/2
T =--=K(k). K(k) = í -/====• k = Jr-T -1 (4-2)
0 Vi - к sin2 м ^
В случае плоских колебаний период аналогичным образом приводится к эллиптическому интегралу [1]. Соответствующая формула получается из данной при о ^ 0.
В работе [4] для плоской задачи приводилось выражение периода через начальные условия и рассматривалось частное решение, соответствующее максимальному значению энергии (¿щах = 0). Также было показано, ч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.