Автоматика и телемеханика, № 5, 2015
© 2015 г. М.М. ЛИПКОВИЧ (lipkovich.mikhail@gmail.com) (Санкт-Петербургский государственный университет),
А.Л. ФРАДКОВ, д-р техн. наук (fradkov@mail.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Университет ИТМО, Санкт-Петербург)
О НЕОБХОДИМОСТИ КРИТЕРИЯ ПОПОВА ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА У СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ1
Рассматривается задача определения необходимых и достаточных условий существования функции Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности» у систем, состоящих из нескольких нелинейных блоков. При этом предполагается, что графики нелинейностей лежат в бесконечном секторе, т.е. в первом и третьем квадрантах. Доказательство существенно опирается на теорему о неущербности ¿"-процедуры для функций соответствующего класса.
1. Введение
Теория абсолютной устойчивости нелинейных систем занимает важное место в развитии теории автоматического управления. Существенный вклад внесли классики как отечественной науки (А.М. Летов [1], А.И. Лурье [2], И.Г. Малкин [3], Е.Н. Розенвассер [4], В.А. Якубович [5]), так и зарубежной науки (Р. Брокетт [6], Р. Калман [7], В.М. Попов [8]).
Внес свой вклад в развитие этого направления и Борис Теодорович Поляк (критерии робастной устойчивости Цыпкина-Поляка). Известна широта научных интересов Бориса Теодоровича и его неравнодушие к задачам управления и оптимизации, в частности, к ¿-теореме, имеющей множество применений в задачах управления и оптимизации. Поэтому авторы надеются, что появление в данном юбилейном выпуске журнала статьи, описывающей новое применение ¿-теоремы к задаче абсолютной устойчивости и существования функции Ляпунова специального класса будет уместно. Возможно, это даже станет толчком к появлению "ляпуновских" версий критериев Цыпкина-Поляка.
На рубеже 1950-60-х гг. важным событием стало открытие частотного критерия абсолютной устойчивости румынским математиком В.М. Поповым [8]. Хотя первоначальное доказательство Попова не опиралось на функции Ляпунова, сразу стало ясно, что выполнения критерия Попова достаточно для существования у нелинейной системы функции Ляпунова вида «квадратич-
1 Работа выполнена в ИПМаш РАН и поддержана Российским научным фондом (проект № 14-29-00142).
ная форма переменных состояния плюс интеграл от нелинейности системы»
впервые использованной в основополагающей работе Лурье и Постникова в 1944 г. [2].
В 1964 г. В.А. Якубович доказал [9], что частотное условие В.М. Попова в случае одной нелинейности является необходимым и достаточным для существования функции Ляпунова вида (1). Тем самым была доказана эквивалентность трех основных подходов в теории абсолютной устойчивости: метода функций Ляпунова, метода разрешающих уравнений Лурье и частотного подхода В.М. Попова. Частотный критерий был распространен на случай нескольких нелинейностей независимо В.М. Поповым [10] и В.А. Якубовичем [11]. Однако полученные частотные условия были лишь достаточными для существования функции Ляпунова вида (1).
Существенную роль в доказательстве необходимости частотных условий играло использование специального приема, названного в [12] ^-процедурой. Впервые он был использован Лурье и Постниковым [2], а затем получил более общую формулировку в [11]. В общем случае использование процедуры приводит лишь к достаточным условиям существования функции Ляпунова. ^-процедура состоит в замене одних неравенств на другие более простые, но, вообще говоря, не эквивалентные исходным. Когда эта замена эквивалентна, принято говорить о неущербности 5-процедуры, в противном случае процедура ущербна. Подробный исторический обзор частотных условий и теорем о неущербности 5-процедуры дан в [13]. Неущербность 5-процедуры зависит от класса рассматриваемых функций и количества связей. В [14] доказано, что для случая одной квадратичной вещественной или эрмитовой связи 5-про-цедура неущербна. Для двух вещественных связей она ущербна, однако для случая двух эрмитовых связей 5-процедура неущербна [15]. Известны и другие случаи неущербности 5-процедуры с двумя связями [16].
Ущербность 5-процедуры для общего случая не позволяла доказать необходимость частотного условия. Более 20 лет проблема нахождения необходимых и достаточных условий была открыта. В 1989 г. была опубликована работа В.А. Каменецкого [17], где были получены необходимые и достаточные условия существования функции Ляпунова для нелинейностей из конечного сектора. Из полученного условия следовало, что критерий Попова не эквивалентен существованию функции Ляпунова вида (1) для конечного сектора в случае нескольких нелинейностей. Аналогичный результат в другой форме был получен также Л.Б. Рапопортом [18]. В 1991 г. появилась статья [19], в которой показано, что в общем случае и для бесконечного сектора критерий, вообще говоря, является лишь достаточным для существования функции Ляпунова вида (1). Тем не менее оставался открытым вопрос о равносильности частотного условия для частных классов систем.
В настоящей работе показано, что критерий Попова является необходимым и достаточным для существования функции Ляпунова вида (1) в клас-
(1)
се систем, линеиная часть которых удовлетворяет дополнительным условиям, означающим, что относительная степень передаточной матрицы больше единицы. Для доказательства результата используется факт о неущербности S-процедуры для произвольного количества функционалов, имеющих специальный вид [20], который включает рассматриваемые нелинейности. Также, для полноты изложения, приведены условия абсолютной устойчивости, полученные на основе этого критерия.
2. Постановка задачи
Рассмотрим линейную систему2:
(2) ^ = Рх + а = г*х,
где вектор-функции x(t), £(t), o(t) и постоянные вещественные матрицы P, q, r имеют порядки n,m,m,n х n, n х m, n х m соответственно.
Передаточная функция системы имеет вид х(А) = r*(P — AI)-1q = = ||Xjh(A)||, где I — единичная матрица порядка n.
Пусть система (2) замкнута непрерывными локально липшицевыми функциями, не зависящими явно от времени
(3) j = <Pj (oj), j = l,...,m-
При этом требуем, чтобы ^>(0) = 0, что влечет существование тривиального решения x = 0. Предполагаем, что для нелинейностей выполнены следующие соотношения:
(4) <Pj (oj) <j > 0, j = 1,...,m,
означающие, что графики функций (3) должны лежать в бесконечном секторе, который составляют первый и третий квадранты. Также предполагаем, что связи точны [21] в смысле
(5) inf fi^—li = о, sup = оо, j 1.....п,
aj=0 <j aj =о <j
причем достижение inf и sup для = 0 понимается как существование предела этих величин равных 0, в случае inf или то в случае sup.
Примерами подобных функций являются, например, <pj = oj3, ipj = oj5.
Задача состоит в нахождении для класса систем (2), (3), для которых выполнено (4), (5), необходимых и достаточных условий существования функции Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности»
(6) V(х) = х*Нх + ^ 63 I 3 (т) (т, 0з € Я1,
з=1 о
такой что для всех х = 0 ее производная в силу системы отрицательна:
(7) (IV/(И < 0 при а33 ^ 0, з = 1,..., т.
2 Звездочка означает транспонирование для вещественных матриц и эрмитово сопря-
жение для комплексных матриц.
a
3. Вспомогательные утверждения
В этом разделе будет сформулировано несколько определений и теорем, которые будут использоваться в дальнейшем.
Пару матриц (Р, д) будем называть стабилизирумой, если существует такая постоянная матрица в, что Р+дв гурвицева, т. е. все ее собственные числа лежат в левой полуплоскости.
Тривиальное решение системы (2), (3) будем называть асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчиво по Ляпунову и любое другое решение стремится к нулю. Систему (2), (3) будем называть абсолютно устойчивой в классе функций (4), если ее тривиальное решение асимптотически устойчиво в целом для любой обратной связи, удовлетворяющей (4). Сформулируем теорему [21]:
Теорем а 1. Пусть пара (Р, д) стабилизируема, ранг (п х т) -матрицы д равен т и матрица Р не имеет собственных значений на мнимой оси. Для существования эрмитовой матрицы Н (вещественной при вещественных Р, д, д), удовлетворяющей соотношениям
(8) НР + Р*Н < 0, Нд + д = 0, необходимо и достаточно, чтобы3
Ив{д*(Р — гш1)-1 д} > 0 при ш € (-те,
(9) 11ш ш2Ив {д*(Р — гш1 )-1д} > 0.
Также понадобится следующая лемма Ляпунова
Лемма 1. Пусть (пхп)-матрица Р и симметричная (пхп)-матрица H удовлетворяют матричному неравенству
Р*H + НР < 0.
Тогда для гурвицевости матрицы Р необходимо и достаточно, чтобы H> 0.
Следующим шагом будет формулировка теоремы об ¿-процедуре. Предварительно введем определение неущербности 5-процедуры. Этот прием был впервые использован в [2], однако здесь будет приведено более общее определение [11].
Пусть Z - линейное пространство и ^(г),С1(г), ..., Ст(г) - вещественные функции на Z, зависящие от некоторых "конструктивных" параметров. Требуется найти в каком-либо "явном" виде область А в пространстве конструктивных параметров, для которых выполнено
(10) ^(г) < 0 при С1(г) ^ 0, ..., Ст(г) ^ 0, |г| = 0.
Наличие ограничений С1(г) ^ 0, ...,От(г) ^ 0 в (10) обычно сильно осложняет задачу. Поэтому используется следующий прием, который и называется ¿-процедурой. Составляется функция
5 (г) = ^ (г) — А^Сг) — ... — АтСт(г),
Ив {А} = (А + А*)/2.
3
зависящая от "дополнительных" параметров Ai ^ 0,..., Am ^ 0, и рассматривается задача определения области B в пространстве конструктивных параметров, для которых выполнено
(11) 3Aj ^ 0 : S(z) < 0 при z = 0.
Очевидно, что область B, доставляемая S-процедурой, и искомая область связаны соотношением B С A. Обратное, вообще говоря, неверно. Будем говорить, что S-процедура неущербна, если B = A, и ущербна в противном случае.
Перейдем к формулировке теоремы, полученной в [20].
Теорема 2. Пусть X — вещественное линейное пространство. Образуем линейное пространство Z = X х Rm.
Пусть F, G1,..., Gm — квадратичные функционалы на Z, имеющие вид
m
F (z) = Fo(x) + £ fj (x) Cj, Gj (z) = gj (x) Cj, j=i
где F0 — квадра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.