ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 9, с. 1506-1511
УДК 519.626
Дается определение особого по компонентам управления, содержащее в себе, в частности, общепринятое. Далее на основе введенного определения выведены новые необходимые условия оптимальности особого по компонентам управления в процессах, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Библ. 7.
Ключевые слова: особые управления по компонентам, необходимые условия оптимальности, задачи оптимального управления.
Известно (см. [1]), что принцип максимума Понтрягина является самым сильным необходимым условием оптимальности первого порядка. Оптимальное управление при этом находится из условия максимума гамильтониана. Известно также (см. [2]-[4]), что управление называется особым, если гамильтониан достигает максимума в нескольких точках или на некотором участке времени он не зависит от параметров управления. Для исследования особых управлений в [3], [4] был предложен метод, основанный на введении матричных импульсов. Этот метод, разработанный для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, получил развитие во многих работах (см., например, [4], [5]).
Во всех известных нам работах рассмотрены случаи, когда гамильтониан не зависит от всех параметров управления или достигает максимума в нескольких точках, т.е. в этих работах не рассмотрены случаи, когда гамильтониан не зависит от нескольких компонентов управления или по некоторым компонентам достигает максимума в нескольких точках.
В данной работе вводится определение особого по компонентам управления и на основе этого определения предлагается новая схема вывода необходимых условий оптимальности особых по компонентам управлений. Эта схема основана на изучении приращения функционала, вызванного игольчатой вариацией. За счет введения серии игольчатых вариаций получены новые многоточечные необходимые условия оптимальности для особых по компонентам управлений в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Основные построения проведены для необходимых условий второго порядка, хотя применяемая схема естественно обобщается на более сложные случаи.
Рассмотрим управляемый процесс, описываемый на отрезке времени Т = t1] системой
Здесь х = (хь ..., хп)', и = (и1, ..., иг)' - векторы состояния и управления соответственно (символ штрих - знак транспонирования),/х, и) - заданная «-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по х до второго порядка включи-
В качестве множества допустимых управлений берем множество кусочно-непрерывных г-мерных функций и(0, t е Т (в точках разрыва и(0 непрерывна справа), принимающих значения
ВВЕДЕНИЕ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
X = /(х, и), t е Т, х () = хо-
(1) (2)
тельно, х0 е К" - заданная точка.
из заданного, непустого, ограниченного множества V:
и(0е V с ^. (3)
Предполагается, что каждому допустимому управлению и(0, t е Т, соответствует единственное абсолютно непрерывное решение х(0, t е Т, системы (1), (2), определенное на Т. Задача заключается в минимизации функционала
5(и) = ф(х(Т1),..., х(Тк)), (4)
определенного на решениях системы (1), (2), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, где ф(^, ...., гк) - заданная, дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных скалярная функция, а Тг е (t0, 1 = 1, к, - заданные точки, причем t0 < Т1 < ... < Тк < t1.
В дальнейшем задачу о минимуме функционала (4) при ограничениях (1)-(3) назовем задачей (1)-(4), решение этой задачи - оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и^), х^)) -оптимальным процессом.
2. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОСОБОГО УПРАВЛЕНИЯ
Известно (см. [1]), что оптимальный процесс в задаче (1)-(4) удовлетворяет принципу максимума Понтрягина
Н(t, х(t), и(t), t)) = шахЯ(t, х(t), и, t)),
ие V (5)
Н( t, х, и, у) = у'/(t, х, и), где у(0 - вектор-функция сопряженных переменных, определяемых соотношением
к
„< t) = - т„ t >э*<х<Т- д;-х(Тк}),
г = 1 1
а матрица-функция Е(^ т) - решение интегрального уравнения
Е(= Е +1Е(t, ^)/х(^)Ж,
Е - единичная (п х п)-матрица, Е(^ т) = 0, t < т.
В [2] для случая одномерного управления построен пример, показывающий, что существуют точки отрезка Ь0, tl\, для которых исключить управление и(0 при помощи условия максимума невозможно, поскольку в этих точках функция Н от и не зависит. Такие управления в [2] названы особыми.
В [3], [4] введено следующее определение особого управления.
Определение 1 (см. [3], [4]). Управление и(0 называется особым в смысле принципа максимума Понтрягина, если при каждом t е Т существует подмножество О({) множества V такое, что выполняется условие
Н(^ х(t), V, у(t)) - Н(^ х(t), и(t), у(t)) = АГН(^ х(t), и(t), у(t)) = 0 (6)
тождественно по всем элементам V множества П(0, t е Т, где О(0\{и(0} Ф 0, t е Т.
В этом определении подразумевается, что тождество имеет место по всем компонентам управления. Приведем пример, в котором тождество (6) имеет место не по всем компонентам управления, а по некоторым из них.
Пример 1. Пусть минимизируется функционал
^ (и) = х2 (1)
при следующих ограничениях:
х,= „ь х2 = „^иь х,(0) = х2(0) = 0 tе Т = [0, 1], (7)
V = {(и1; и2): 0 < и1 < 1, 0 < и2 < 1}.
Легко показать, что управление их(1) = 0, и2(0 = 0 вместе с решением хх(0 = 0, х2(0 = 0 системы (7) и соответствующим решением сопряженной системы ^(0 = 0, у2(0 = -1 удовлетворяет условию максимума, т.е.
А,Н = -V2 < 0,
и, следовательно, получить дополнительную информацию об оптимальности этого управления с помощью известных методов невозможно.
Теперь рассмотрим приращения Н, соответствующие приращениям их(0, и2(0 по отдельности. Легко показать, что
АГ1Н = Н(^ х(t), V1, и2(t),ц(t)) - Н(^ х(t), щ(t), и2(t),ц(t)) = 0, АV2H = Н(^ х(t), иг(t), V2,y(t)) - Н(^ х(t), иг(t), и2(tt)) = V2.
Отсюда видно, что по компоненту их(0 принцип максимума вырождается, а по компоненту и2(0 выполняется.
На основе этого примера дадим новое определение особого управления. Для этого представим управление и(0 в виде и(0 = ^(0, ^(0)', где v(t) есть г0-мерная, w(t) есть ггмерная вектор-функции, причем 1 < г0 < г, г0 + г1 = г. Тогда процесс (и(0, x(t)) также напишем в виде ^(0, w(t), x(t)).
Определение 2. Допустимое управление ^(0, ^(0)' назовем особым по компонентам v(t) в смысле принципа максимума Понтрягина управлением, если при каждом t е Т существует подмножество О(Г) множества V такое, что выполняется условие
Н(^ х(t), V, w(t),ц( t)) - Н(^ х( t), V(t), w (t),ц(t)) = 0 (8)
тождественно по всем элементам (V, w(t))' множества t е Т, где О(0\{(^ w(t))'} Ф 0, t е Т.
Ясно, что управление особое в смысле определения 1 является особым и в смысле определения 2, а обратное, вообще говоря, неверно. Поэтому определение 2 позволяет получить дополнительную информацию об оптимальности рассматриваемого управления, удовлетворяющего условию максимума Понтрягина.
В дальнейшем для простоты изложения будем предполагать, что О.^) является кусочно-постоянным многозначным отображением.
3. ФОРМУЛА ПРИРАЩЕНИЯ КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА
Пусть ^(0, w(t), х(0) - фиксированный допустимый процесс в задаче (1)-(4). Наряду с этим процессом рассмотрим другой допустимый процесс: (V (0 = V (0 + Аv(t), w(t), х (0 = х(0 + Ах(0). По традиционной схеме (см., например, [4]) приращение функционала можно представить в виде
V, w) = -¡А^Н(t)Л - Цд^(0Ах(t) + 2Ах'(0Нхх(t)Ах(^ +
+ 1 Ах' (t )АН( t )Ах (t) + 02 (|| А х (t )||2)
+
к
1 % Ах' (Тг)
Э2 х (Т1),..., х (Тк))
д гг д2}
Ах (Т1) + о 1
к
%1|Ах (Тг]
2
1 = 1
где Ах(0 - решение задачи
А х( t) = /х( t )Ах (t) + Аv / (t) + Аvfx (t )Ах (t) + 03 (||Ах (t )||),
Ах (^) = 0,
Нхх( t) = Нхх( ^ х (t), V (t), w (t t)),
АvHx(t) = Нх(^ х(t), V(t), w(t),у(t)) - Нх(^ х(t), V(t), w(t),ц(t)) и т.д., о (а)/а —- 0 при а —► 0.
(9)
(10)
0
0
На основе формулы Коши об интегральном представлении решения линейного неоднородного уравнения имеем
t
Ах (t) = | Е( t,т)А-v/(т) йт + п( t), (11)
где
П(t) = |Е(t, т)[АV/х(т)Ах(т) + о(||Ах(т)|)]йт.
t0
При помощи формулы (11), приращение (9) можно записать в виде
AS(v, w) = -jAvH(t)dt - J JavHX(t)F(t, t)dT
to t0 t
t111
2-JJa/(t)M(t, S)Avf (^)dTds + ц,
Av f (t) dt -
(12)
2
t0 t0
где
^ t'
x-i Э ®(x(T,), ..., x(Tk)) r
M(t, s) = - £ F(T,t) y V V ^ d z ' - k ' 'F(Tj, s) + JF'(t, t)H;x(t)F(t, s)dt,
'■> j =1 ^ ^ to
а ц - остаточный член, содержащий более высокие степени приращений управления и траектории, чем главный член в (12).
4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Для получения новых необходимых условий оптимальности вариацию управления (v(t), w(t))' определим в специальном виде, полагая
m
AvE(t) = £5v(t, e; t, l, v,). (13)
i = 1
Здесь m - произвольное натуральное число, e > 0 - достаточно малое число, l i > 0, i = 1, m -
произвольные числа, (vi, w(t))' e Q(t) с F, t e T, Ti e [t0, tj), i = 1, m (t0 < tx < ... < Tm < tj), - точки непрерывности функций (v(t), w(t))', а 5v(t, e; Ti, li, vi) - игольчатая вариация управления:
s , . , [vi- v(t), t e[Ti,Ti + he)
Sv (t,e; T, lu vi) = i (14)
[0, t e T\[Ti, Ti +1ie).
Суммирование игольчатых вариаций (14) понимается в смысле [1].
Через Axe(t) обозначим приращение решения x(t), соответствующее приращению (13) управления (v (t), w(t))'.
По обычной схеме (см., например, [4], [6]) можно доказать справедливость оценки
||AxE(t)||< Ce, t e T, (15)
где C = const > 0.
0
tt
Используя (15), из (12), в силу оптимальности особого по компонентам v(t) в смысле принципа максимума Понтрягина управления ^(0)' и ц = о(е2), получаем, что
2 Г т Г ' - 1
А5( V, w) = ]£ !а^н'х(т,) /гА^/(тг) + 2 £ //Хтг,т;)Аг/(х}.)
2
Ч=1 Ь у=1
т
+ £ '¿А/(Т,)М(Т,,Т])А^/(Ту) | + о(е2)> 0.
и у = 1
(16)
> 1 =
Из этого разложения следует
Теорема 1. Для оптимальности особого по компонентам v(t) в смысле принципа максимума Понтрягина управления ^(0, w(t))' в задаче (1)-(4) необходимо, чтобы для любого натурального числа т неравенство
т г I -1
£/,АГН'Х(Т) /,А^/(тг) + 2£ /^(тг, Ту.)А./(Ту) 1 = 11 у =1
(17)
т
+
£ ц^/(т,)М(т,, Ту)АV/(Ту) < 0
I, у = 1
выполнялось для всех
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.